一種新型并聯(lián)XYY微定位平臺動(dòng)力學(xué)建模及控制仿真

舒 強(qiáng)，施寧平，饒學(xué)軍，郭友明

（1.中國科學(xué)院 光電技術(shù)研究所，成都 610209 2.中科院研究生院，北京 100049）

國內(nèi)外學(xué)者對基于壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的微定位平臺作了廣泛研究。從結(jié)構(gòu)上，主要分為串聯(lián)和并聯(lián)兩種類型。由于加工和裝配誤差產(chǎn)生的不對稱性，串聯(lián)結(jié)構(gòu)的微定位平臺運(yùn)動(dòng)并不能保證嚴(yán)格的直線性。在光纖焊接，光刻掩膜對準(zhǔn)等應(yīng)用中，對運(yùn)動(dòng)直線度的要求非常高，采用串聯(lián)結(jié)構(gòu)的微定位平臺難以保證運(yùn)動(dòng)的直線性［1］。而并聯(lián)結(jié)構(gòu)的微定位平臺，所有的驅(qū)動(dòng)器同時(shí)作用在動(dòng)平臺上，因而能夠校正運(yùn)動(dòng)偏差，有效提高運(yùn)動(dòng)精度。然而，并聯(lián)結(jié)構(gòu)的微定位平臺的各自由度上存在運(yùn)動(dòng)耦合，其控制要比串聯(lián)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，采用單一的PI控制技術(shù)難以奏效。LQG控制是現(xiàn)代控制理論和最優(yōu)控制技術(shù)發(fā)展過程中的重要成果，尤其適合多輸入多輸出的控制對象，在航空航天領(lǐng)域，飛行器控制，過程控制和社會學(xué)等領(lǐng)域都有很多成功的應(yīng)用案例［2-3］。

在很多應(yīng)用場合，外界振動(dòng)降低了微定位平臺的定位精度。在激光長距通信技術(shù)中，地基極其輕微的振動(dòng)都有可能導(dǎo)致激光束產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)［4］。為了減小地基振動(dòng)的影響，通常采用的方法是隔離振源，提高結(jié)構(gòu)的固有頻率，或者采用更昂貴復(fù)雜的主動(dòng)控制技術(shù)。這些方法通常需要提高部件的強(qiáng)度導(dǎo)致質(zhì)量變大或者額外的設(shè)備，在某些應(yīng)用場合受到限制。本文在LQG控制基礎(chǔ)上引入噪聲模型，通過仿真發(fā)現(xiàn)能夠很好的抑制確定頻率分布的窄帶隨機(jī)擾動(dòng)。首先介紹了新型XYY并聯(lián)微動(dòng)臺，推導(dǎo)了平臺的動(dòng)力學(xué)方程。然后通過仿真分析確定出LQG控制權(quán)矩陣，分析了過程噪聲協(xié)方差對擾動(dòng)抑制能力的影響規(guī)律。仿真結(jié)果表明，采用噪聲模型增廣的LQG控制要比直接使用LQG控制具有更好的噪聲抑制能力。

1 機(jī)械結(jié)構(gòu)介紹

圖1為平行多桿機(jī)構(gòu)，X向壓電驅(qū)動(dòng)器3和Y向壓電驅(qū)動(dòng)器1，2共同作用在動(dòng)平臺上，X向安裝了一個(gè)電容傳感器，位于X向驅(qū)動(dòng)器的軸線上，Y向的兩個(gè)電容傳感器分別與兩個(gè)驅(qū)動(dòng)器對齊。X向驅(qū)動(dòng)器在電壓作用下產(chǎn)生伸長通過柔性連接作用在動(dòng)平臺上，使動(dòng)平臺產(chǎn)生位移。Y向的兩個(gè)壓電驅(qū)動(dòng)器同時(shí)伸長可以使動(dòng)平臺產(chǎn)生Y向位移和轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)Y向的兩個(gè)驅(qū)動(dòng)器伸長量不同時(shí)，動(dòng)平臺將同時(shí)產(chǎn)生Y向和XY平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)動(dòng)平臺產(chǎn)生平動(dòng)時(shí)，Y向分布的兩個(gè)傳感器可以實(shí)時(shí)檢測動(dòng)平臺因不對稱產(chǎn)生的偏角，并由Y向兩個(gè)壓電驅(qū)動(dòng)器實(shí)時(shí)校正運(yùn)動(dòng)偏差，因此這種結(jié)構(gòu)可以校正轉(zhuǎn)動(dòng)偏差，實(shí)現(xiàn)理想的平動(dòng)。

圖1 XYY微定位平臺結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of XYY micro positioning stage

定位臺結(jié)構(gòu)可以等效為圖2的多桿機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)的自由度為：f=3×（10-1）-12 ×2=3。在三個(gè)驅(qū)動(dòng)器的作用下該機(jī)構(gòu)的屬于靜定結(jié)構(gòu)。

圖2 微動(dòng)臺的機(jī)構(gòu)簡圖Fig.2 Mechanism sketch of XYY micro positioning stage

2 動(dòng)力學(xué)建模

為了為控制提供精確的模型，首先必須建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。本文利用拉格郎日方程建立微動(dòng)臺機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程。設(shè)定廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)為動(dòng)平臺平衡位置的對稱中心，沿兩個(gè)驅(qū)動(dòng)器的方向?yàn)閅向，沿一個(gè)驅(qū)動(dòng)器方向?yàn)閄向，通過原點(diǎn)垂直于紙面的方向?yàn)棣龋鐖D2所示。將微定位系統(tǒng)分為4個(gè)子系統(tǒng)，分別為帶有柔性鉸鏈的動(dòng)平臺和3個(gè)帶有柔性頭的壓電驅(qū)動(dòng)器。設(shè)動(dòng)平臺發(fā)生了微小位移量為（x0，y0，θ），如圖3所示。設(shè)連桿O1E和連桿BE產(chǎn)生的角位移分別為γ1，β1，連桿O2F，AF的角位移分別為γ2，β2，連桿O3G，GC的角位移分別為 γ3，β3，連桿O4H，DH的角位移分別為 γ4，β4。發(fā)生移動(dòng)后，B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B'（xB'，yB'）：

同理可得：

以上角位移規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?/p>

連桿BE、FA、GC、HD質(zhì)心G1、G2、G3、G4的速度矢量分別為：

圖3 微動(dòng)臺運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.3 Sketch of small displacement of micro positioning stage from origin O to O’

系統(tǒng)動(dòng)能：

彈性勢能：

其中m1，m2分別為動(dòng)平臺和連桿BE的質(zhì)量，J1，J2分別為動(dòng)平臺、連桿BE對其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J3為連桿EO1對O1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。k1為柔性鉸鏈的旋轉(zhuǎn)剛度。

式中：右邊第一項(xiàng)為驅(qū)動(dòng)器3作用在動(dòng)平臺上的驅(qū)動(dòng)力，第二項(xiàng)考慮系統(tǒng)在X向的結(jié)構(gòu)阻尼作用，第三項(xiàng)為外界干擾以及系統(tǒng)未建模特性的等效擾動(dòng)。

式中：右邊前兩項(xiàng)為壓電驅(qū)動(dòng)器2、3通過彈性連接作用在動(dòng)平臺上的驅(qū)動(dòng)力，第三項(xiàng)考慮系統(tǒng)在Y向的結(jié)構(gòu)阻尼作用。最后一項(xiàng)為外界干擾以及系統(tǒng)未建模特性的等效擾動(dòng)。

式中：右邊第一項(xiàng)為壓電驅(qū)動(dòng)器2、3通過彈性連接作用在動(dòng)平臺上的驅(qū)動(dòng)力對O點(diǎn)的等效力矩，第二項(xiàng)考慮系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的結(jié)構(gòu)阻尼作用，最后一項(xiàng)為外界干擾以及系統(tǒng)未建模特性的等效力矩。

與動(dòng)平臺相比，壓電驅(qū)動(dòng)器及連接元件的質(zhì)量很小，為簡化問題的建模，可認(rèn)為其為無質(zhì)量的彈簧，其動(dòng)力學(xué)模型如圖4所示。圖中y1，y2，x為連接元件與動(dòng)平臺連接處的位移，xp，yp1，yp2為x向，y向兩個(gè)壓電驅(qū)動(dòng)器在施加電壓下的自然伸長量。Kc，Kp分別為連接元件和壓電驅(qū)動(dòng)器軸向剛度。易得：

其中Ke=KcKp/（Kc+Kp）。

圖4 壓電驅(qū)動(dòng)器1 2 3的力學(xué)模型Fig.4 Simplified dynamic model of piezo-electric actuaors

由微小變形下的幾何關(guān)系易得：

綜合式（8）、（9）、（10）得：

為了減小壓電驅(qū)動(dòng)器遲滯非線性對控制性能的影響，應(yīng)盡量使驅(qū)動(dòng)器工作在線性度較好的電壓區(qū)間，同時(shí)在滿足微動(dòng)臺行程條件下使工作電壓區(qū)間盡可能小，因此驅(qū)動(dòng)器遲滯非線性的影響基本可以忽略，而由地基傳入微定位平臺的外界擾動(dòng)成為需要關(guān)注的焦點(diǎn)。此時(shí)，ε1和ε2分別為X和Y方向地基加速度擾動(dòng)。而在XY平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度上，考慮到加工和安裝誤差引起的非對稱性，可以用階越擾動(dòng)來代替外界干擾ε3。可見，設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的難點(diǎn)之一在于克服上述各種干擾的影響。

3 控制對象數(shù)學(xué)模型

由平臺動(dòng)力學(xué)模型（12）、（13）、（14）可以看出微定位平臺的X向不存在耦合，可以單獨(dú)設(shè)計(jì)控制器。選擇X向、Y向、θ向位移，和對應(yīng)方向的一階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量。X方向微定位平臺的狀態(tài)空間描述為：

其中X=［xvx］T，Y=x，u=xp，

d、v分別為地基振動(dòng)和傳感器測量噪聲。Y和θ向動(dòng)平臺輸入輸出的狀態(tài)空間描述為：

其中X=［y vyθ ω］T，Y=［yθ］T，u=［yp1yp2］T，ω 為平臺轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

d，v分別為地基振動(dòng)和傳感器測量噪聲。其中：

相關(guān)數(shù)據(jù)見附錄。

圖5 帶有積分器的LQG控制器g.5 Block diagram of LQG controller augmented by integrators

4 控制器設(shè)計(jì)

4.1 LQR控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)分離原理，首先設(shè)計(jì)LQR控制器。為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，需在每一個(gè)控制通道上加入積分器。此時(shí)控制系統(tǒng)的框圖變?yōu)閳D（5）。為了消除輸出穩(wěn)態(tài)誤差，引入誤差的積分ei作為狀態(tài)變量對原控制對象狀態(tài)方程增廣［8］。設(shè)增廣后的狀態(tài)方程表示為：

A+PAa+Q-PBaR-1B=0的解。下邊以微定位平臺X方向?yàn)槔ㄟ^仿真確定出合適的Q，ρ。

為實(shí)現(xiàn)跟蹤，應(yīng)盡可能提高積分誤差權(quán)重系數(shù)，初選Q=diag［100 0 1］，然后改變 ρ，仿真得到圖（6）。從圖可看出，隨著ρ沿箭頭方向增大，系統(tǒng)閉環(huán)帶寬逐漸變小，諧振峰逐漸增大，這表明能量權(quán)重越小，控制能量越大，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，諧振峰抑制效果也越好。對于壓電驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的微定位平臺可以采用廉價(jià)控制方案，在驅(qū)動(dòng)電源功率許可情況下盡可能降低能量權(quán)重ρ，以獲得較快的響應(yīng)速度。

圖6 不同ρ下的X向閉環(huán)傳遞函數(shù)（箭頭方向代表 ρ增大的方向，ρ依次取值 10-6，10-4，10-2，1）Fig.6 Closed loop transfer function of the control system under different energy weight ρ.（Along direction of the arrow，ρ equals 10-6，10-4，10-2，1，respectively）

上邊權(quán)重Q中對速度狀態(tài)變量施加了限制作用，通過仿真發(fā)現(xiàn)在其他條件不變，只改變速度狀態(tài)變量的權(quán)重下系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬明顯不同。由圖（7）看出，當(dāng)速度狀態(tài)變量權(quán)重沿箭頭方向提高，閉環(huán)帶寬變小。為了獲得合適的閉環(huán)帶寬，最后選擇Q=diag［100 0 1 ×10-8］。

圖7 速度狀態(tài)變量權(quán)重變化對閉環(huán)帶寬系統(tǒng)的影響（箭頭方向代表權(quán)重增大，依次為 10-8，10-6，10-4，10-2）Fig.7 Influence of the weight of positioning stage’s velocity on bandwidth of closed transfer function.（Along direction of the arrow，ρ equals 10-8，10-6，10-4，10-2，respectively）

綜合以上分析，最終確定Q=diag［100 0 1×10-8］，ρ=1 ×10-6，微定位平臺X向的 0.1 單位階躍響應(yīng)圖如圖（8）所示。

圖8 X向LQR控制0.1單位階躍響應(yīng)Fig.8 Response of 0.1 unit step input along X

為了使每個(gè)自由度具有相近的響應(yīng)速度，Y和θ向LQR控制器權(quán)重的選擇與X向類似，Q=diag［100 100 0 1 ×10-80 1 ×10-8］，ρ=1 ×10-6，圖（9）為Y和θ參考輸入分別為0.1和0.05單位時(shí)的階躍響應(yīng)曲線，可見，在每個(gè)通道加入積分器的LQR控制器具有很好的解耦和跟蹤能力。

圖9 Y和θ向LQR控制階躍響應(yīng)Fig.9 Response of step input along Y and θ

4.2 噪聲成型濾波器設(shè)計(jì)

在微定位平臺工作過程中，不可避免的受到各種自然和人為因素引起的擾動(dòng)，比如樓層的振動(dòng)，地震，冷卻空調(diào)的轉(zhuǎn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)電機(jī)的擾動(dòng)等。這些擾動(dòng)的功率譜往往在某一頻率范圍內(nèi)高度集中，可以近似的看作窄帶隨機(jī)噪聲。本文中，假定地基振動(dòng)主要來自驅(qū)動(dòng)電機(jī)的周期性擾動(dòng)，這種情況下可以預(yù)先設(shè)定成型濾波器的結(jié)構(gòu)為：

驅(qū)動(dòng)電機(jī)因轉(zhuǎn)子偏心產(chǎn)生的擾動(dòng)可近似視為窄帶隨機(jī)噪聲，電機(jī)的頻率為100 Hz左右。通過仿真確定：

成型濾波器輸入白噪聲的方差為1×10-7。圖（10）為噪聲成型濾波器的輸出曲線。最大峰值加速度可達(dá) 0.07 m/s2。

圖10 噪聲成型濾波器的輸出曲線Fig.10 Output of noise shaping filter

4.3 引入噪聲模型的Kalman濾波器設(shè)計(jì)

LQG控制器要求過程噪聲和傳感器測量噪聲為零均值的高斯白噪聲，在現(xiàn)實(shí)世界中多為有色噪聲。如果將有色噪聲當(dāng)作白噪聲處理，Kalman濾波器對狀態(tài)的估計(jì)不是最優(yōu)，設(shè)計(jì)出的控制器是次優(yōu)的。根據(jù)內(nèi)模原理，為了抑制擾動(dòng)，控制系統(tǒng)必須引入擾動(dòng)模型［9］。因此，通過引入擾動(dòng)數(shù)學(xué)模型，將擾動(dòng)的狀態(tài)增廣到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程不僅可以獲得狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)，還能夠起到抑制擾動(dòng)的作用。

將擾動(dòng)傳遞函數(shù)（18）寫成狀態(tài)空間形式：

式中，Xn為d維的列向量。w為高斯白噪聲，輸出為擾動(dòng)。由式（15）和式（20）可得對噪聲模型增廣后的狀態(tài)空間方程

以X向?yàn)槔捎趙，v的協(xié)方差矩陣實(shí)際上很難準(zhǔn)確獲得，假定電容傳感器測量噪聲v的方差Θ為1×104，使擾動(dòng)模型（19）輸入白噪聲w的協(xié)方差Ξ取不同值，通過仿真可以得到不同Ξ下的噪聲傳遞函數(shù)，圖（11）顯示當(dāng)Ξ沿箭頭方向逐漸增大的過程中，過程噪聲從輸入到輸出的傳遞函數(shù)。可見，當(dāng)Ξ增大，系統(tǒng)對噪聲的抑制能力越強(qiáng)，噪聲傳遞函數(shù)的諧振峰也得到大大削弱，當(dāng)Ξ增大到一定程度，Kalman濾波器不僅對100Hz左右的窄帶噪聲得到了很好的抑制而且對100 Hz以上的高頻噪聲也具有相當(dāng)?shù)囊种颇芰Α８鶕?jù)以上分析，最終確定Ξ=1×108，Θ=1×10-4。

求得X方向最優(yōu)濾波增益為：

Y和θ自由度LQG控制器的設(shè)計(jì)與X方向類似，最優(yōu)濾波增益：

圖11 噪聲輸入到微定位臺輸出X的傳遞曲線隨Ξ的變化趨勢（沿箭頭方向 Ξ 分別等于1×102，1 ×104，1 ×106，1×108，1×1010）Fig.11 Transfer functions from noise input to positioning stage’s output x under different Ξs.（Along the arrow，Ξ equals 1 × 102，1×104，1 ×106，1 ×108，1 ×1010respectively）

圖（12）為從噪聲輸入到輸出Y和θ的傳遞函數(shù)曲線。從圖中看出，當(dāng)過程噪聲的協(xié)方差沿著箭頭方向逐漸增大，系統(tǒng)對噪聲的抑制能力也逐漸增強(qiáng)。

圖12 噪聲到輸出Y傳遞函數(shù)曲線（上圖）噪聲輸入到輸出θ的傳遞函數(shù)曲線（下圖），（沿箭頭方向Ξ分別等于1×104，1 ×106，1 ×108，1 ×1010）Fig.12 Transfer functions from noise input to positioning stage’s output Y and θ under different Ξs.（Along the arrow，Ξ equals 1×104，1 ×106，1 ×108，1 ×1010respectively）

4.4 仿真結(jié)果及分析

圖（13）顯示了微定位平臺在受到地基加速度擾動(dòng)的情況下，分別采用沒有考慮噪聲增廣的次優(yōu)LQG控制器和考慮了噪聲增廣的LQG控制器的微定位平臺X向0.1單位階躍響應(yīng)曲線。圖13（a）表明，地基加速度擾動(dòng)沒有得到抑制，微動(dòng)臺在閉環(huán)過程中始終受到地基擾動(dòng)而振動(dòng)，圖13（b）表明，地基擾動(dòng)被很好的抑制，定位精度得到提高。

圖（14）顯示了微定位平臺在受到地基加速度擾動(dòng)的情況下，分別采用沒有考慮噪聲增廣的次優(yōu)LQG控制器和考慮了噪聲增廣的LQG控制器的微定位平臺Y向0.1單位階躍、θ向保持為0的響應(yīng)曲線。圖14（a）表明，地基加速度擾動(dòng)沒有得到抑制，微動(dòng)臺在閉環(huán)過程中始終受到地基擾動(dòng)而振動(dòng)，圖14（b）表明，地基擾動(dòng)被很好的抑制，定位精度得到提高，Y向運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)平臺沒有偏轉(zhuǎn)。

圖13 X向次優(yōu)LQG控制器和噪聲增廣的LQG控制階躍響應(yīng)對比圖（a）（b）Fig.13 Response of step input along X direction before and after implementing LQG controller augmented by noise model

圖14 Y、θ向次優(yōu)LQG控制器和噪聲增廣的LQG控制階躍響應(yīng)對比圖Fig.14 Response of step input along Y and θ direction before and after implementing LQG controller augmented by noise model

圖15 次優(yōu)LQG控制器和噪聲增廣的LQG控制圓形軌跡跟蹤對比圖，左為次優(yōu)LQG控制，右為噪聲增廣的LQG控制Fig.15 Performance comparison before and after implementing LQG controller augmented by noise model when tracing circular reference input

圖（15）為使θ=0情況下，分別采用次優(yōu)LQG控制和噪聲模型增廣的LQG控制器下，微定位平臺對圓形軌跡的跟蹤效果，平臺初始位置為（0，0）。可見后者對地基擾動(dòng)抑制效果顯著優(yōu)于前者。

5 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種新型的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的并聯(lián)XYY結(jié)構(gòu)微定位平臺。該結(jié)構(gòu)通過Y方向兩個(gè)壓電驅(qū)動(dòng)器的實(shí)時(shí)校正，能夠避免因加工裝配誤差引起的結(jié)構(gòu)非對稱性對平臺運(yùn)動(dòng)直線度的影響。通過結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析推導(dǎo)了微定位平臺的動(dòng)力學(xué)模型。然后采用LQG控制實(shí)現(xiàn)了微定位平臺Y向和θ向的解耦，并通過引入過程噪聲成型濾波器對LQG控制器增廣，通過仿真發(fā)現(xiàn)這種方法能夠有效的抑制窄帶隨機(jī)擾動(dòng)，提高定位精度。同時(shí)分析了LQG控制器權(quán)重矩陣的選取及過程噪聲協(xié)方差對控制效果的影響。仿真表明采用引入噪聲模型的LQG控制器不僅具有良好的解耦和跟蹤能力而且對給定帶寬的窄帶隨機(jī)擾動(dòng)有很好的抑制效果。

［1］ Amatucci E G，Scire F E，Howard L P，et al.Positioning stage actuation［P］.US patent，US：0051331，2003.

［2］ Gawronski W K，Racho C S，Mellstrom J A.Linear quadratic gaussian and feedforward controllers for the DSS-13 antenna［R］.TDA Progress Report，1994.

［3］Kienitz K H，Grubel G.LQG/LTR robust flight control design with enforced controller bandwidth restriction［R］.AIAA2982，4435，1998.

［4］Gorman J J，Dagalakis N C.Modeling and disturbance rejection control of a nanopositioner with application to beam steering［J］.ASME，Digital Library，2003，1-2：1353-1361.

［5］尤昌德.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)［M］.北京：電子工業(yè)出版社，1996.

［6］鄧自立.卡爾曼濾波與維納濾波［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2001.

［7］陳宗海.過程系統(tǒng)建模與仿真［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1997.

［8］ Alvarez L S，Nickerson J.Application of optimal control theory to the design of the NASA/JPL 70-meter antenna axis servos［R］.TDA Progress Report，1989.

附本文中用到的相關(guān)數(shù)據(jù)：