小角度空間交錯軸變厚齒輪傳動嚙合動態特性研究

宋朝省，朱才朝，LIM Teik Chin，羅家元，徐向陽

（1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030；2.University of Cincinnati School of Dynamics Systems，Mechanical Engineering，Cincinnati，USA Ohio 45221）

交錯軸變厚齒輪傳動是由兩個螺旋角不等，節錐角和端面變位系數不等的漸開線變厚齒輪組成的齒輪副，兩齒輪的軸線理論上可以成任意角度，但由于其齒面理論上為點接觸，齒面間的滑動速度大，由此導致的齒面承載能力差，使用壽命短、振動噪聲高等問題一直制約著空間變厚齒輪傳動從運動傳遞到動力傳遞的發展。

國內外學者對空間變厚齒輪傳動設計，制造以及非線性齒輪系統動力學方面都進行了一定的研究。Mitome［1-2］推導出了變齒厚齒面方程，提出了利用假想的變厚齒輪來設計直齒與螺旋齒的滾齒刀具，同時以實驗進行了驗證。Komatsubara等［3］提出了凹面錐齒輪的設計理論以及采用錐形飛輪刀具磨削成型的加工方法。Tsai［4］提出了一種滿足近似線接觸的變位空間交錯軸變厚齒輪傳動。賀敬良等［5］對交錯軸錐形齒輪副的幾何設計及輪齒接觸特性進行了研究。朱才朝等［6］對應用于船用小傾角傳動的非漸開線變厚齒輪進行了嚙合特性分析。在空間齒輪系統動力學方面，Kahraman等［7］采用多尺度法與數值計算方法研究了齒側間隙非線性與時變嚙合剛度之間的關系。Li等［8］研究了螺旋錐齒輪軸承耦合系統的振動特性。Cheng等［9］建立了準雙曲面齒輪的嚙合模型，進行了考慮齒側間隙，摩擦與時變嚙合參數的非線性動力學分析。唐進元等［10］對慣性載荷對螺旋錐齒輪動態嚙合特性的影響進行了研究。綜上，空間漸開線變厚齒輪傳動的研究主要局限于以實現齒面優化，提高承載能力為目標的幾何設計，加工制造以及嚙合特性分析，而對于考慮時變嚙合特性的動態特性研究，尚未見相關文獻。

基于三維輪齒接觸特性分析，建立了空間小角度交錯軸變厚齒輪嚙合模型，對其時變嚙合特性展開研究。考慮齒側間隙，時變嚙合剛度、時變傳動誤差以及時變旋轉半徑，建立了非線性動力學模型，研究時變嚙合參數，齒側間隙以及外載荷對其動力學特性的影響。

1 交錯軸變厚齒輪時變嚙合模型

交錯軸變厚齒輪時變嚙合模型主要用于描述齒輪副嚙合特征參數，如：嚙合點位置矢量，嚙合力及其作用線方向矢量、嚙合剛度以及傳動誤差。在精確幾何建模的基礎上，采用專業三維齒輪計算程序HypoidK［11］建立嚙合分析模型如圖1所示。

圖1 交錯軸變厚齒輪嚙合模型Fig.1 Mesh model of crossed beveloid gears

S1（x1，y1，z1）和S2（x2，y2，z2）分別為固連于主動齒輪和被動齒輪坐標系。Sf（xf，yf，zf）為全局固定參考坐標系。對輪齒嚙合力進行綜合等效過程中，齒面接觸部分被劃分為一系列小的接觸區域。對于每個接觸區域i，Ri（rix，riy，riz）為其位置矢量，ni（nix，niy，niz）為其單位法矢量。fi為接觸力，則可得到總的接觸力為［12］：

式中：Fk（k=x，y，z）為沿x，y，z方向的接觸力，Ftotal為總的嚙合力。

則等效后的作用線方向（nx，ny，nz）表示為：

沿x，y，z方向的接觸力矩為：

則嚙合點位置向量x，y，z表示為：

嚙合過程中沿x，y，z方向的等效旋轉半徑為：

加載作用下傳動誤差為

式中：φ'10，φ'20分別為主動齒輪與被動齒輪進入嚙合時刻的初始轉角，φ'，φ'分別為主，被動齒輪轉動角位移，N1，N2分別為主，被動齒輪齒數。

則等效嚙合剛度為：

式中：eNL為無載荷下靜態傳動誤差。

2 交錯軸齒輪系統非線性動力學模型

如圖2所示，采用集中參數法建立空間小角度交錯軸變厚齒輪副2自由度非線性動力學模型，得到系統非線性動力學方程為：

圖2 非線性動力學模型Fig.2 Non-linear vibration model

式中：Ip和Ig為主動齒輪與被動齒輪沿扭轉方向的轉動慣量，θp和θg分別為主，被動齒輪的旋轉角位移矢量，λp和λg為主，被動齒輪沿扭轉方向的旋轉半徑，Tp和Tg為輸入，輸出力矩，km和cm分別為嚙合剛度與嚙合阻尼，動態傳動誤差ed表示為：

式中：2b為齒側間隙。

圖3 齒側間隙非線性函數Fig.3 Non-linear function of backlash

對通過加載嚙合模型得到的時變嚙合參數進行傅里葉級數展開得：

式中：λpm，λgm，kmm分別為主，被動齒輪以及嚙合剛度的均值，λpa，λga，eNLa，kma為主，被動齒輪，傳動誤差以及嚙合剛度的諧波項分量的幅值，φp，φg，φθ，φkm分別為主，被動齒輪，傳動誤差以及嚙合剛度的諧波項分量的初始相位。

3 數值仿真分析

對小角度空間交錯軸變厚齒輪嚙合模型進行準靜態三維輪齒接觸分析和齒面分布載荷計算，得到嚙合特征參數。采用變步長Runge-Kutta法對非線性動力學模型進行求解，齒輪系統參數如表1所示。

3.1 時變嚙合特性分析與非線性動力學求解

施加5 Nm～2 000 Nm扭矩載荷進行輪齒接觸特性分析，得到5 Nm，100 Nm，400 Nm和1 000 Nm 4種工況下齒面的嚙合印痕如圖4所示。加載工況下，接觸印痕主要分布在齒面中間位置。隨著載荷的增加，接觸印痕從中間向齒面大小兩端逐漸擴散，接觸區域增加。輕載5 Nm工況下，接觸面積較小接近于點接觸，大于5 Nm工況下呈現明顯的線接觸。

表1 齒輪系統參數Tab.1 Gearing parameters

圖4 齒面嚙合印痕Fig.4 Contact patterns

不同載荷工況下的一個嚙合周期內的時變嚙合剛度如圖5所示，從圖中可以看出，單個嚙合周期內時變嚙合剛度呈拋物線狀，且隨著載荷的增加（由于齒面接觸面積逐漸增加）嚙合剛度的均值與變化幅值均呈遞增趨勢，但增加的幅度變小。

圖5 嚙合剛度Fig.5 Mesh stiffness

對時變傳動誤差進行離散傅里葉變換得到不同載荷下其諧波項幅值分布如圖6所示，扭矩載荷對交錯軸變厚傳動傳動誤差有較大的影響，外載荷的增加使得傳動誤差幅值增大。第一階諧波項占據了傳動誤差的主要部分，且不隨外載荷的變化而改變。

圖6 位移傳動誤差FFT變換Fig.6 Fast fourier transform of translational transmission error

對時變嚙合參數通過式（15）和式（16）進行傅里葉變換得到時域上非線性動力學模型的時變剛度激勵與時變傳動誤差激勵如圖7和圖8所示。

圖7 時變傳動誤差激勵Fig.7 Time-varying transmission error

圖8 時變嚙合剛度激勵Fig.8 Time-varying mesh stiffness

圖9所示為分別對線性動力學與非線性動力學模型進行求解得到的動態嚙合力以及通過準靜態輪齒接觸分析得到的靜態嚙合力。從圖中可以看出，在共振區域附近動態嚙合力明顯高于靜態嚙合力。齒側間隙非線性使得動態嚙合力在共振區域附近存在明顯的突跳不連續現象，使得輪齒嚙合無沖擊區域過渡到單邊沖擊，雙邊沖擊區域。

圖9 動態嚙合力Fig.9 Dynamic mesh force

3.2 外載荷對動力學特性的影響

由交錯軸變厚齒輪副嚙合特性分析可知，外部扭矩載荷的變化直接影響著嚙合剛度與傳動誤差。而嚙合剛度與傳動誤差又直接關系著齒輪系統動力學特性。因此有必要對外部載荷對非線性動態特性的影響進行深入的研究。圖 10所示為不同外部載荷作用下的動態傳動誤差。隨著載荷的增加，動態傳動誤差的峰值逐漸增加，但增加幅度逐漸減小，同時由于載荷的增加使得嚙合剛度變大從而使得齒輪系統剛度增大，因此導致動態嚙合力共振頻率增大。

圖10 外載荷對動態傳動誤差的影響Fig.10 Effect of load on dynamic transmission error

圖11為不同外載荷下動態嚙合力與靜態嚙合力的對比。從圖中可以看出不同載荷下動態嚙合力在共振區域明顯高于靜態嚙合力。隨著外載荷的增加，動態嚙合力的峰值呈現明顯的遞增，同時共振頻率帶也明顯增大，計算結果與動態傳動誤差相似。

圖11 外載荷對動態嚙合力的影響Fig.11 Effect of load on dynamic mesh force

3.3 齒側間隙對動力學特性的影響

圖12所示分別為輕載T=5 Nm和重載T=2 000 Nm工況下，齒側間隙的變化對交錯軸變厚齒輪系統非線性動態嚙合力的影響。從圖中可以看出，輕載工況下齒側間隙從0.2 μm增加到2 μm，動態嚙合力由1個雙邊沖擊區域轉變為低頻和高頻共存的兩個雙邊沖擊區域。且隨著側隙的增大，低頻雙邊沖擊區域減小，高頻雙邊沖擊區域擴大，高頻雙邊沖擊區域動態嚙合力增加，突跳與單邊，雙邊沖擊發生明顯的耦合。重載工況下交錯軸變厚齒輪系統受齒側間隙非線性的影響減弱，單雙邊沖擊區域發生在較寬的共振頻率附近。且隨著側隙的增加，沖擊區域逐漸變大，動態嚙合力峰值有所增加。

圖13為齒側間隙2 μm輕載工況下與齒側間隙20 μm重載工況下動態嚙合力水滴圖。從圖中可以看出，輕載工況下轉動在低頻500 Hz～700 Hz與高頻1 000 Hz～1 500 Hz附近存在較明顯的接觸損失，而重載工況下接觸沖擊與接觸損失主要發生在高頻1 000 Hz～2 500 Hz區域，頻帶較寬。

圖12 齒側間隙對動態嚙合力的影響Fig.12 Effect of backlash on dynamic mesh force

圖13 齒側間隙影響下動態嚙合力水滴圖Fig.13 Waterfall plot with different backlash

4 結論

（1）交錯軸變厚齒輪副單個嚙合周期內嚙合剛度呈拋物線型；隨著外部載荷的增加，嚙合剛度與傳動誤差均增加，但增加幅度減小，且第一階諧波項占據了傳動誤差激勵絕大部分。因此在工程實踐中，針對交錯軸變厚齒輪傳動動力學問題，不能忽略載荷的變化對傳動誤差及嚙合剛度激勵的影響；

（2）外部載荷的增加不僅使得動態傳動誤差與動態嚙合力增加，同時交錯軸變厚齒輪系統共振頻率也明顯增大，這一點對空間交錯軸變厚齒輪系統振動特征頻率的識別具有重要的指導意義；

（3）輕載工況下，側隙增加使得交錯軸變厚齒輪系統出現與單邊和雙邊沖擊明顯的耦合突跳現象；重載工況下，雙邊沖擊區域隨側隙增加而變大；隨著扭矩載荷的增加，交錯軸變厚齒輪系統受齒側間隙非線性的影響減弱。因此應盡量避免交錯軸變厚齒輪副工作在頻繁啟動、制動及輕載高速工況下。

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