太陽電池翼調姿后殘余振動抑制的整形器設計

朱春艷，邵濟明，那 帥，唐國安，

（1.復旦大學 力學與工程科學系，上海 200433；2.上海市空間飛行器機構重點實驗室，上海 201108）

航天器在軌運行時，溫度、輻射等環境條件較為惡劣，對設備可靠性和重量指標要求很高。質輕、展開面積大導致太陽電池翼剛度較低，在調姿過程中易激起電池翼的殘余振動，將對整星定位精度產生影響，甚至會給整星姿態控制帶來擾動［1］，因此太陽電池翼調姿后殘余振動的抑制是航天器設計中不容忽視的一個難點。變結構控制［2］方法對航天器姿態控制取得了很好的效果，但是不能快速消除小幅彈性振動。壓電傳感器/作動器控制［3-4］可以有效抑制小幅彈性振動，對提高航天器快速姿態機動和姿態跟蹤的控制精度是至關重要的，近幾年也得到了眾多專家學者的重視，但是增加了非有效載荷的質量。

輸入整形技術利用驅動機構現有的硬件、無需增加其他附件，只通過修改驅動指令就達到抑制振動的效果，特別符合航天器在軌運行時對可靠性和重量指標的要求。它是將參考指令與脈沖序列卷積生成的整形指令作為控制信號，以消除柔性系統殘余振動的控制方法［5-7］。根據設計方法，可分為零位移法［8］、極不靈敏度法［9］、矢量圖法［10］等；根據輸入的數目可分為單輸入整形器和多輸入整形器［11］。自 Singer［5］著手研究零位移輸入整形器，陸續有多位學者做了研究，取得了一定的成績，但在國內這方面的研究及工程應用仍有欠缺。

本文研究輸入整形技術在太陽電池翼調姿后殘余振動抑制中的應用。從電池翼的動力學方程出發，推導了單輸入整形器的設計理論，模擬了太陽電池翼姿態調整過程中的轉角輸入條件，在主坐標下整形每一階模態，在此基礎上給出了輸出輸入關系，最后給出整形器的統一形式。在仿真部分，給出了多自由度電池翼的仿真模型，基于模態分析整形前4階彈性模態，取得了理想的效果，并對單輸入整形器作了魯棒性分析，最后用實驗驗證了零位移輸入整形法的可實現性和有效性。結果表明，本文提出的利用輸入整形技術抑制太陽電池翼調姿后殘余振動的方法效果顯著，且具有較強的魯棒性。

1 電池翼有限元模型的整形器設計理論

衛星入軌后，太陽電池翼在各板間展開機構驅動力矩作用下由收攏狀態展開，為衛星有效載荷在軌工作提供主要的電能。為最大程度獲取太陽能量，以二維驅動機構為例，可以通過繞x軸和y軸的旋轉實現對日定向，以保證太陽電池翼基本垂直于太陽光入射方向，如圖1。

太陽電池翼有限元模型的動力學方程可表示如下：

圖1 太陽電池翼收攏、釋放、展開過程示意圖Fig.1 Deploying of solar array

其中，M、C、K分別為太陽電池翼有限元模型的質量陣、阻尼陣、剛度陣，x={x1x2…xn}T為節點位移向量，θ0為模擬太陽電池翼驅動機構輸入條件的轉角，Ψ0為輸入θ0到節點向量的轉換矩陣。方程（1）用主坐標形式表示為：

Φ為主模態陣，對式（2）作Laplace變換并整理得：

式中，Ξ（s）、Θ（s）分別為 ξ（t）、θ0（t）的 Laplace變換，G1=ΦTCΨ0，G2=ΦTKΨ0。

電池翼輸出Y（s）為：

考慮電池翼為雙輸入系統：

則式（3）第k分量為：

其中：

式中Hk（s）的拉式反變換為系統響應的暫態分量，包含了需要消除的模態，式（6）對應的z變換形式為：

Hk（z）分母上包含了第k對極點，將引起系統第k階彈性振動。按照零位移整形的思想，消除第k對極點引起的彈性振動，需在極點上放置一對零點消除這對極點。考慮到系統的因果性及整形前后幅值的一致性，整形函數有如下形式：

其中C可以調節整形器脈沖幅值，保持整形前后輸入幅值的一致性。設計一個整形器整形所有輸入，若消除太陽電池翼前l階彈性振動，則Q（z）有如下的形式：

由映射關系z=esT，并整理得到整形傳遞函數的連續形式：

其中，整形器脈沖幅值a是關于脈沖時間間隔T的函數，由Laplace逆變換得到時域整形器序列為：

式（11）表示一系列幅值不等的脈沖序列，由于幅值為負的脈沖會降低能量的有效性利用，因此僅保留幅值為正的脈沖項。當整形序列與任意初始輸入卷積時，離散采樣時間T會增加時間延遲，因此采樣時間T應取足夠小。常數C用來調節幅值，為了使卷積后的輸入不超出作動器限制，需對整形器幅值進行歸一化。若初始輸入為θ0（t），則整形輸入為：

太陽電池翼入軌后的不確定因素導致結構固有參數辨識存有誤差，導致用于設計整形器的參數存有誤差，此時，相當于在極點附近放置零點，那么放置的零點并不能完全消去該階彈性模態，但在一定程度上，仍舊有效消除結構殘余振動。

2 基于整形器設計的電池翼殘余振動抑制效果分析

2.1 太陽電池翼模型和基本振動特性

表1 模態共軛特征值Tab.1 Modal complex conjugate pair of eigenvalues

建立太陽電池翼的有限元模型如圖2所示，1號節點作為輸入節點，為根鉸的關聯節點，選取217號節點作為輸出節點。模型中鉸鏈統一采用長度為80 mm的等效梁單元，與電池翼整體低階彎曲/扭轉模態關系較為密切的兩個剛度系數分別為kz=1.916×107N/m，kθz=5.045 × 104Nm/rad，單位長度質量mg=0.337 5 kg/m。支架簡化成剖面25 mm×25 mm、壁厚2.5 m的箱型梁，梁1、2 的長度為1.275 m，梁3、4 的長度為0.6 m，梁5的長度為3 m。電池板等效成尺寸1 m×3 m的均質各向同性平板，計算時整個電池翼的模態阻尼比取為 0.5%。

圖2 太陽電池翼模型示意圖Fig.2 The model of solar array

為模擬太陽電池翼從啟動至初始捕獲太陽后的殘余振動抑制問題，建立太陽電池翼有限元板、梁模型，如圖2所示，用有限元分析得到部分振動模態。一般低階模態更容易引起板的大幅振動，所以只需整形前幾階模態即可。前四階共軛特征值如表1，包含了繞y軸彎曲、繞z軸擺動和繞x軸扭轉三種模態形式。

如圖2所示，調姿過程采用對1號節點施加轉角輸入條件以模擬驅動機構作用。若不用輸入整形，1號節點繞x軸和y軸的轉角θox（t），θoy（t）為：

式（13）中的單位為度（°）。

2.2 整形器設計和調姿振動仿真

由前面的推導可知，整形器脈沖幅值是有關T的函數，可先通過一系列離散的T取值得到對應的a取值，對應關系如圖3所示，因為T引起滯后，應取充分小，但還需保證幅值系數非負，由圖可以得出脈沖間隔時間T=0.202 4 s，此時，由圖得出對應的整形器脈沖幅值a的值分別為a1=1.392 7，a2=1.696 6，a3=0.053 89，a4=0，a5=0.149 2，a6=1.714 1，a7=1.336 1，a8=0.901 0。

圖3 整形器脈沖幅值Fig.3 Impulse amplitudes for shapers

根據表1中給出的系統前四階模態頻率設計整形器，由式（11）得整形序列q（t）為：

式中C=1/（1+a1+…+ak+…+a8），那么由式（12）得整形后的輸入（t）為：

T=0.202 4 s，8T=1.619 2 s，表示在式（13）輸入的基礎上有1.619 2 s的時間延遲，整形前后輸入如圖4所示。

圖4 整形前后的根鉸輸入Fig.4 Input applied at the end hinge

從圖中可以看出，整形后轉角輸入曲線趨于平滑，但是增加了時延。由推導過程可知，整形器的設計原理并沒有改變原結構的極點，只是消去了對應低階彈性振動的低階極點，因此，并不會改變原有結構系統的穩定性。

圖5 太陽電池翼輸出點上的轉角響應Fig.5 Rotation response at the output point of the solar array

將圖4所示整形前后的轉角輸入曲線分別施加到太陽電池翼的有限元模型上，通過瞬態響應分析得到輸出點的角位移響應，如圖5所示。圖中橫坐標為時間軸，縱坐標為25 s后輸出點的轉角響應（單位為度）。可以看出，整形后轉角的殘余振動得到明顯抑制。數據表明，繞x軸的角位移殘余振動最大幅值由原來的0.085 4°降低為0.000 6°，繞y軸角位移的殘余振動最大幅值由0.139 6°降為0.002 9°。此外，整形前繞x軸角位移θx的殘余振動衰減到0.000 5°大約需要50 s，繞y軸角位移θy的殘余振動衰減到0.000 5°大約需要100 s，而整形后27 s左右殘余振動即可降至同等水平。因此，只需對前四階模態施加前饋整形控制，便可大幅降低系統殘余振動。

3 電池翼振動抑制的魯棒性分析

事實上，試驗或數值模態分析得到太陽電池翼固有頻率與實際軌道運行時均有差別。為考慮整形器的魯棒性，將太陽電池翼的共軛特征值分別調整為表1中特征值的85%、92%、97%、103%、108%、115%，然后重新設計整形器，并分別進行調姿振動響應的仿真，得到繞x和y軸的轉角響應如圖6。從圖中可以看出，存在參數辨識誤差時，整形控制輸入仍舊能降低電池翼殘余振動。

4 輸入整形器用于電池翼動力學縮比模型試驗驗證

圖7為實驗裝置圖，彈性鋼條和配重模擬太陽電池翼，鋼條一端連接傳感器和步進電機，并固定在實驗臺上，步進電機從PC機接收輸入信號并施加在鋼條固定端，傳感器接收鋼條固定端反力矩數據并將數據傳輸給PC機，實驗的目的是為了證明輸入整形法可有效抑制太陽電池翼調姿中的殘余振動。為了模擬太空的無重力環境，考慮鋼條的水平轉動。鋼條的尺寸為1 000 mm ×35 mm ×1.48 mm，密度為7.564 g/cm3，中間和自由端配重分別為90 g和290 g，力矩傳感器分辨率為0.01 Nm，實測阻尼比約為0.01。

圖6 特征值存在誤差時太陽電池翼輸出點上的轉角響應Fig.6 Rotation response at the output point of the solar array when eigenvalues have errors

模擬8 s轉動30°的工況，實測前四階固有頻率如表2，由此可得出前四階復特征值λ。按照前面理論推導及仿真的方法可得整形脈沖間隔T=0.247 7 s，脈沖序列幅值a1=0，a2=0.614 6，a3=1.400 7，a4=0.345 0，a5=1.123 6，a6=0.4737，a7=0.280 2，a8=0.533 2，從而得整形前后輸入如圖8所示。整形前后的響應導致的約束反力矩結果如圖9所示，虛線和實線分別表示整形前后根鉸的反力矩。忽略傳感器分辨率和噪聲導致的誤差，從圖中可以看出，整形后鋼尺梁殘余振動導致的約束反力矩明顯降低，說明采用零位移輸入整形法降低結構殘余振動具有可實現性。

圖7 實驗裝置圖Fig.7 Photograph of the experiment facilities

表2 實測固有頻率Tab.2 Natural frequencies measured

圖8 整形前后根鉸約束力矩變化Fig.8 Constraint moment under unshaped and shaped input

圖9 整形前后的根鉸輸入Fig.9 Input applied at the end hinge

5 結論

針對電池翼調姿問題，結合計算機仿真和實驗模擬實現了采用零位移輸入整形前饋控制方法降低調姿過程中的殘余振動問題，結論如下：

（1）基于電池翼轉角輸入條件，在主坐標下推導了零位移整形器的設計理論，證明單輸入整形器只依賴結構固有頻率和模態阻尼；

（2）結合有限元軟件做了仿真分析，證明即使結構模態參數存在一定誤差，整形器也具有良好的魯棒性；

（3）實驗結果表明零位移輸入整形方法可有效降低殘余振動，具有工程可實現性，在由驅動機構驅動、整星在軌機動等導致的航天器殘余振動抑制問題上推廣應用。

需要注意的是，由于前饋整形器設計中引入了時延，應用時應注意控制指令周期與時延之間的匹配。

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