基于級聯雙穩隨機共振和多重分形的機械故障診斷方法研究

郝 研，王太勇，，萬 劍，張 攀

（1.天津大學 精密儀器與光電子工程學院，天津 300072；2.天津大學 機械工程學院，天津 300072）

分形的本意為不規則的、分數的、支離破碎的物體，可以理解為局部和整體在某個方面有相似性［1-2］。在自相似分形中，一個分形物體是由單一分形維數來表征的，但對于大多數物理現象，單一分形的描述過于簡單化。一些復雜系統的非線性特征取決于某些物理量的空間分布，多重分形理論由此發展起來。在分形理論中，分形維數是一個非常重要的參數，可以定量地刻畫混沌吸引子的“奇異”程度，在非線性行為的定量描述中得到了廣泛應用［3-5］。廣義維數方法是一種描述多重分形的方法，在多重分形的研究中應用的較多［6-8］。眾所周知，噪聲會影響分形維數的大小，使其無法準確的反映系統的分形特征。為了得到系統的真實分形維數，就必須對原始信號進行濾波降噪處理。

隨機共振的概念是Benzi等［9］在研究古氣象冰川問題時提出，后來在信號處理和檢測方面得到了廣泛的發展［10-12］。在信號降噪方面，隨機共振方法有其獨特之處，利用信號和噪聲在非線性系統中的協同作用，使其產生共振，將高頻噪聲能量向低頻轉移，達到信號降噪和整形的目的。另外，通過對雙穩系統的級聯，可以進行多次共振降噪，不斷將噪聲能量轉移，因此該方法的降噪效果非常明顯。

在機械故障診斷方面，不同的故障狀態下，非線性因素對機械振動信號的影響是不同的，如果能在一定程度上辨識非線性因素，對于提取機械系統的故障特征和識別系統的故障類型是很有幫助的［13-15］。結合級聯雙穩隨機共振的降噪性能和廣義維數的機械故障診斷特點，提出了基于級聯雙穩隨機共振和多重分形的故障診斷方法，即先對含噪信號進行隨機共振降噪，再進行廣義維數計算分析，從而達到故障診斷的目的。

1 廣義維數及相關性判斷方法

1.1 廣義維數

多重分形是定義在分形集合上的由多個標度指數的奇異測度所組成的集合，刻畫了分形測度在支集上的分布狀況，可以表示為具有不同維數的分形子集之并。廣義維數方法是描述多重分形的一種有效方法，廣義維數的計算一般采用覆蓋法完成。

用覆蓋法計算廣義維數的關鍵是定義覆蓋集合的概率，一般使用頻率來近似概率，可得：

覆蓋法使用尺度為ε相同大小的盒子對整個集合進行覆蓋，需要盒子的總數為N，設點落于第i個盒子的概率為pi（ε），給定參數q，可以計算General信息熵：

從而得到廣義維數的定義為：

通過改變q的值可得到不同標度的子集，由此可知，當q=0、q=1和q=2時，分別對應盒維數、信息維數和關聯維數。廣義維數的具體計算步驟參見文獻［8］。

1.2 廣義維數相關性判斷方法

文獻［8］提出了廣義維數的相關性判斷法，該方法針對一維廣義維數序列，計算待檢測信號廣義維數序列和各種狀態下樣本信號廣義維數序列的相關系數，用于判斷故障。

設共有j種狀態，每種狀態對應一個廣義維數序列，q=0，1，…，n-1。待檢測信號為x，對應的廣義維數序列為。則待檢測信號與第j種狀態的相關系數為：

此函數反映了待檢測信號x和第j種狀態的關聯程度。R（x，j）越大，則待檢測信號x和第j種狀態的相關程度就越強，反之，R（x，j）越小，則待檢測信號x和第j種狀態就越相離。

根據這種方法，可以先計算得到各種故障信號的廣義維數序列，將這些廣義維數序列作為故障樣本。如果要檢驗某信號的故障，則可以先求得其廣義維數序列與各故障樣本序列的相關系數，然后根據相關系數的大小，判別該信號屬于何種故障類型。

2 級聯雙穩隨機共振

2.1 隨機共振基本原理

在一些非線性系統的作用下，輸入的信號不變，而改變輸入噪聲的強度，輸出信噪比會達到一個極大值，這樣種現象被稱為隨機共振。

隨機共振最大的特點為：噪聲的引入不僅不影響非線性系統的響應質量，反而可以加強系統的輸出，提高系統輸出的信噪比。一般的降噪方法都是以抑制或消除噪聲為主，而隨機共振的方法則是以利用噪聲為主。

圖1 雙穩隨機共振系統Fig.1 Bistable stochastic resonance system

在噪聲強度D=0時，系統存在臨界值λ。λ可通過雙穩勢函數極點與拐點重合的條件求得。

2.2 級聯雙穩隨機共振

級聯雙穩隨機共振（cascaded bistable stochastic resonance，CBSR）系統就是將若干個雙穩系統串聯相接，圖2是級聯雙穩隨機共振系統的結構圖，其中x1（t）、x2（t）、…等分別是第一級雙穩系統U1（x）、第二級雙穩系統U2（x）、…等的輸出信號。雙穩隨機共振系統可以將高頻能量轉移到低頻，使低頻信號能量增強，高頻信號能量減小，而雙穩系統的級聯可以將高頻能量不斷地轉移，高頻成分逐漸被慮除，達到良好的降噪和整形效果。

圖2 級聯雙穩隨機共振系統Fig.2 Cascaded bistable stochastic resonance system

2.3 級聯雙穩隨機共振消噪濾波實驗

建立一個雙穩隨機共振系統，對應公式（6）中各參數分別為：a=0.1，b=1，A=1，噪聲強度D=0.6，信號頻率f0=10 Hz，采樣頻率fs=1 000 Hz，采樣點數為2 048點，二次采樣頻率fsr=8 Hz。含噪正弦信號的波形和頻譜如圖3（a）和圖3（b）所示，圖3（c）和圖3（d）分別為第一級級聯雙穩隨機共振系統的輸出信號和頻譜，圖3（e）和圖3（f）分別為第二級級聯雙穩隨機共振系統的輸出信號和頻譜。從圖中可以看出，高頻噪聲隨著級聯次數的增加而減小，時域波形也越來越光滑，這說明級聯雙穩隨機共振系統具有良好的降噪性能。

圖3 含噪正弦信號級聯雙穩隨機共振輸出Fig.3 Output of noisy sinusoidal signals of CBSR

3 實例分析

對6205-2RS軸承進行實驗，在實驗中，軸承有三種狀態：正常狀態、內圈故障狀態和外圈故障狀態。軸承在1 797r/min的額定轉速下工作，利用振動加速度傳感器測取軸承的振動信號，在采樣頻率為12 kHz、采樣點數為20 000點的條件下，得到軸承采樣信號。

建立級聯雙穩隨機共振系統，系統參數為：a=0.001，b=1，二次采樣頻率fsr=4Hz。對軸承的三種狀態分別進行級聯雙穩隨機共振降噪處理，圖4、圖5和圖6分別為正常軸承信號、內圈故障信號和外圈故障信號經過級聯雙穩隨機共振系統的輸出。

軸承在1 797 r/min的額定轉速下工作，工作頻率大概在30 Hz左右。對于三種不同的狀態，信號故障特征主要集中在1 000 Hz以下的低頻段，而超過1 000 Hz的高頻段信號一般作為噪聲進行處理。

采用“sym5”小波基函數，以極大極小閾值原則分別對三種狀態的振動信號進行自適應濾波處理，所得結果如圖7所示。

對比濾波后信號的頻譜，在正常狀態下，雖然小波濾波方法和CBSR濾波方法都可以將高頻噪聲信號慮除，但是CBSR濾波方法加強了低頻信號的能量，使低頻信號的頻譜特點更加鮮明的表現出來。在內圈和外圈故障狀態下，小波濾波方法對高頻信號的濾波效果明顯不如CBSR濾波方法，高頻噪聲信號的能量占有主導地位，無法凸現信號的低頻特性。而CBSR濾波方法不但消除了高頻噪聲，而且加強了低頻信號的能量。對比可知，CBSR濾波方法更適用于消除高頻噪聲，增強低頻信號能量，提高信噪比，有利于凸現故障特點，便于確定故障狀態。

對于在不同狀態下得到的一組采樣數據，分別對原始數據、經過小波濾波后的數據和經過CBSR濾波后的數據求取廣義維數，并將其中的盒維數、信息維數和關聯維數提取出來，可以得到表1、表2和表3。這三個經過不同濾波方法處理的廣義維數序列就作為廣義維數故障樣本，用于相關系數計算，以便于判斷故障。

圖4 正常軸承信號級聯雙穩隨機共振輸出Fig.4 Output of normal bearing signals of CBSR

圖5 內圈故障信號級聯雙穩隨機共振輸出Fig.5 Output of inner raceway fault signals of CBSR

圖6 外圈故障信號級聯雙穩隨機共振輸出Fig.6 Output of outer raceway fault signals of CBSR

圖7 三種狀態振動信號的小波濾波輸出Fig.7 Outputs of vibration signals of CBSR in three conditions

表1 各狀態下原始數據的廣義維數序列Tab.1 The general dimension sequences of signals in different status

表2 小波濾波后各狀態的廣義維數序列Tab.2 The general dimension sequences of signals in different status filtered by wavelet

表3 級聯雙穩隨機共振濾波后各狀態的廣義維數序列Tab.1 The general dimension sequences of signals in different status filtered by CBSR

任意抽取一個軸承，對其進行測試。采集該軸承的一組振動信號，對其原始數據、經過小波濾波后的數據和經過CBSR濾波后的數據分別計算廣義維數，并將其中的盒維數、信息維數和關聯維數提取出來，結果如表4所示。

表4 振動信號的廣義維數序列Tab.4 The general dimension sequences of signals in unknown status

表5 相關系數計算結果Tab.3 The results of correlation coefficient

使用公式（4），分別計算這三組數據的廣義維數序列與相對應的廣義維數故障樣本之間的相關系數，結果如表5所示。

由表5可知，對原始數據進行處理得到的相關系數比較接近，無法判斷故障；經過小波濾波后，得到的相關系數的大小有一定的差距，由于待檢測軸承的廣義維數序列與外圈故障樣本序列的相關系數較大，可以判斷待檢測軸承應該處于外圈故障狀態；經過CBSR濾波后，得到的相關系數的大小差距更加明顯，由于待檢測軸承的廣義維數序列與外圈故障樣本序列的相關系數最大，且遠大于其它結果，可以判斷待檢測軸承的故障狀態與外圈故障狀態樣本一致，即該軸承的故障為外圈故障。經實際驗證確認，該軸承確實處于外圈故障狀態。

基于上述分析可知，不使用濾波方法，直接對原始數據進行分析處理是無法正確識別故障的，這是由于大量噪聲的影響，使得廣義維數無法正確反映信號的非線性特征，以致無法識別軸承狀態。雖然使用小波濾波方法和CBSR濾波方法都可以正確的識別軸承狀態，但是，對比相關系數可知，經過CBSR濾波后，相關系數的大小差距較大，可以更容易的判斷軸承狀態。雖然小波濾波方法消除了大量的高頻噪聲，但是，原有的低頻信號能量仍然較弱，得到的廣義維數雖可以反映其非線性特征，但并不十分明顯；CBSR濾波方法不但可以有效地消除高頻噪聲，還能夠利用噪聲加強低頻信號的能量，使其非線性特征更加突出，由此得到的廣義維數更能反映信號的特點，使故障判斷更加容易。

4 結論

針對噪聲背景下分形維數無法準確反映信號非線性特性和吸引子復雜情況的問題，提出了先對含噪信號進行級聯雙穩隨機共振濾波，然后再計算其廣義分形維數的方法。該方法利用了級聯雙穩隨機共振的濾波特性，不但可以逐步消除高頻噪聲，還可以加強低頻信號的能量，提高信噪比。在此基礎上計算信號的廣義維數，可以得到更準確的分形維數，然后提取盒維數、信息維數和關聯維數，構成廣義維數序列，采用相關性判斷法識別機械設備故障，達到故障診斷的目的。

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