基于泊松過程的超高斯隨機振動試驗控制技術研究

陳家焱，陳章位，周建川，賀惠農

(1.浙江大學 流體傳動及控制國家重點實驗室，杭州 310027;2.杭州億恒科技有限公司，杭州 310003;3.浙江大學 生物醫學工程與儀器科學學院，杭州 310027)

振動環境試驗是指在實驗室內利用激振設備使試件經受預先規定的振動，并達到預期目的的過程［1-2］。在已公開的關于隨機振動試驗規范中規定振動控制系統產生的隨機信號應服從高斯分布。實踐表明有些產品雖然通過了傳統的隨機振動試驗，但其潛在缺陷仍然較多，當其經受超高斯隨機振動環境時容易發生失效，從而影響產品的性能。隨著對產品可靠性水平要求的提高，傳統振動試驗模擬的高斯分布振動環境已不能滿足在某些場合的要求，特別是用于產品的環境應力篩選和可靠性增長試驗［3］。模擬給定功率譜的高斯隨機振動環境在技術上已經容易實現，但對給定功率譜的超高斯隨機振動環境模擬技術目前還不成熟，存在一些技術實現難題，也成為振動試驗模擬技術的研究熱點。

國內外對超高斯隨機振動試驗控制的研究始于二十世紀九十年代，Smallwood［4-5］利用零記憶非線性變換法(Zero Memory Nonlinearity，ZMNL)對高斯隨機信號進行非線性變換以得到滿足特定要求的超高斯隨機信號。ZMNL法在不斷逼近參考功率譜的過程中同時控制隨機信號的幅值分布特性，ZMNL法雖然能夠控制輸出信號的超高斯特性，但其功率譜控制的動態范圍不高，影響振動試驗模擬精度。Steinwolf［6-7］利用多項式函數變換實現非高斯隨機試驗模擬，從他的論文中可看出，采用多項式函數變換法的功率譜控制的動態范圍也不高，同時對邊緣頻率控制不是很好。國內對超高斯隨機振動試驗控制研究代表是國防科技大學的蔣瑜博士［8］，他利用二次相位調制的方法實現對超高斯隨機振動試驗的控制，并定量分析了時域隨機化對超高斯隨機信號的影響。北京航天航空大學的范文濤［9］和于英揚［10］也對超高斯隨機振動控制進行了相關研究。國內對非高斯隨機振動試驗控制的研究主要集中在理論方面，具有實用價值的工程化的超高斯隨機振動控制技術研究尚存在一些問題亟待解決。本文在廣泛查閱國內外相關研究的基礎上，提出基于泊松過程的超高斯隨機振動試驗控制方法，并進行系統實現，以期為隨機振動試驗控制系統的研發提供技術支持。

1 超高斯隨機振動試驗控制原理

1.1 超高斯隨機涵義

高斯信號是指信號幅值的概率密度服從正態分布的隨機信號，與之相對的非高斯信號是指信號的概率密度分布不服從正態分布。非高斯信號可分為亞高斯信號和超高斯信號，利用隨機過程的前四階累積統計量來進行數學描述:一階中心矩描述信號均值μ，二階中心矩描述信號方差σ，三階中心矩描述信號偏斜度S，四階中心矩描述的是信號峭度K，偏斜度與峭度的數學表達為:

高斯隨機信號的偏斜度恒為零，峭度值恒為3，它只需用均值和方差就可描述其特征。非高斯信號的偏斜度和峭度至少有一個條件與高斯信號不相符。

偏斜度是描述隨機信號分布偏離對稱分布的程度，峭度是描述隨機信號幅值的波形特征的參數。以高斯信號的峭度值3為基準，峭度值小于3的非高斯信號為亞高斯信號，大于3的非高斯信號為超高斯信號。超高斯信號幅值概率密度的中心區域相對高斯信號更為狹窄，邊緣地帶的拖尾更長。蔣培［11］的研究表明在信號的均值和功率譜相同的情況下，超高斯信號對試件的累積疲勞損傷相對高斯和亞高斯信號的更大，能更充分地激發出試件的產品缺陷。本文主要以偏斜度為零的超高斯隨機信號作為振動試驗的研究對象，在振動臺上實現超高斯隨機振動試驗的控制，進行相關的研究工作。

1.2 超高斯隨機振動試驗控制原理

圖1 超高斯隨機振動試驗控制流程Fig.1 Super-Gaussian random vibration test control process

超高斯隨機振動試驗控制相對于傳統的隨機振動試驗除了要進行功率譜均衡，還須進行峭度控制，這在技術實現上相對復雜些。圖1所示為本文采取的超高斯隨機振動試驗控制流程，利用傳感器拾取振動響應信號，由A/D轉換器轉換成數字信號送入DSP，分別進行頻譜均衡和峭度均衡，均衡完成后，兩路信號進行卷積運算得到包含參考譜和參考峭度的驅動信號，然后將該驅動信號送入D/A轉換器，實現對振動臺的驅動。通過不斷的反復迭代修正，使控制響應信號的功率譜和峭度與參考譜和參考峭度都達到誤差允許的范圍。頻譜均衡方法包括自功率譜修正法、傳遞函數修正法和連續卷積法，詳見文獻［12］。對于峭度均衡過程，采用如圖2所示的峭度控制算法流程。本研究采用兩路并行控制策略實現對功率譜與峭度同時控制，完全不同于文獻［8］的二次相位調制的控制方法，并行控制的兩路信號相互獨立，兩者互不干涉，這在后續的仿真與實驗中可進一步證明。

圖2 峭度控制算法流程Fig.2 Kurtosis control algorithm process

2 基于泊松過程超高斯信號生成機理

2.1 濾波原理調制信號

從圖1所示的超高斯隨機振動試驗控制流程圖可知，系統控制的信號流分兩路，一路是頻譜均衡后輸出信號，一路是峭度均衡后輸出信號，最后兩路信號通過卷積運算合成一路信號作為驅動信號激勵振動臺。為實現系統的有效控制，在控制環節進行了設計，把其中的頻譜均衡輸出信號設計成濾波器h(n)，把峭度均衡輸出信號設計成為輸入信號A(n)，驅動信號設計成線性時不變系統的輸出x(n)，如圖3所示。根據圖中所示的信號關系可調制出符合超高斯隨機振動控制的驅動信號，實現對振動試驗系統的控制。

圖3 信號關系圖Fig.3 Signal relationship chart

2.2 利用參考譜設計濾波器

利用振動試驗給定的參考譜設計濾波器，脈沖響應函數h(n)是通過對給定的參考譜GR(f)進行傅里葉逆變換得到的。隨機信號時域數據u(n)的幅值譜U(k)與功率譜Gu(k)之間存在關系:

其中N是隨機信號時域數據長度，通常取2的整數次冪，Fs是采樣頻率，采樣頻率的選擇應滿足采樣定理。根據上述條件，控制系統的頻率分辨率Δf=Fs/N，采樣間隔Δt=1/Fs，樣本長度為T=NΔt，各離散頻率點的頻率值fk=k/T=kΔf。

根據式(3)可進一步推導出隨機信號時域數據幅值譜的模與功率譜之間的關系:

利用參考譜設計濾波器時，根據式(4)得到信號的幅頻特征:

進行傅里葉逆變換時必須要提供信號的相頻特征，設計的濾波器信號相頻特性須滿足線性相位:

式中k是常數，此濾波器能保證信號無失真傳輸。出濾波的幅頻特性與相頻特性利用傅里葉逆變換得到時域信號:

為了減小信號截斷對脈沖響應函數信號造成的能量泄露，對得到的時域信號進行加窗并去除其均值:

推導至此，即完成了參考譜設計濾波器的過程。

2.3 基于泊松過程產生超高斯信號

通過峭度均衡得出控制系統驅動信號的峭度值，以該峭度值為依據產生出新信號，新信號包含期望的峭度控制信息同時又能夠保證其為單位頻譜滿足控制系統要求。為產生滿足上述要求的新信號，利用泊松過程［13］產生一些泊松點，在泊松點上加上信號值，同時賦予信號值一些統計特性，二者相互結合即可產生出符合要求的信號。在文獻［14］中泊松過程產生的泊松點用參考譜設計的濾波器函數表示:

其中k是由指數分布的均值λ和采樣間隔Δt所決定的獨立時間參數，當λ的取值趨于無窮時指數分布即為高斯分布，本研究是利用λ取有限值來控制信號的峭度值，使信號輸出具有超高斯特性。根據文獻［14］，得到泊松點的前四階累積統計量:

由于兩者之間相互獨立，同時可得到x(n)的n階累積統計量:

對于信號值A的隨機過程，使其服從正態分布，A的四階累積統計量可用其均值與方差描述。

由式(10)、(12)和(13)可推導出輸入信號x(n)的四階累積統計量:

根據式(1)和(2)，且不考慮偏斜度，即S=0，對方程(14)求解得:

由此可得到基于泊松過程產生超高斯信號的參數，進而可產生出符合控制要求的超高斯信號。

3 數值模擬研究

為驗證超高斯隨機振動試驗算法的合理性，利用Matlab軟件進行相關的仿真研究。設置參考譜的頻率范圍20～450 Hz，采樣頻率取2 000 Hz，樣本長度1 024，參考峭度值分布取10、15、20進行比較，控制系統的傳遞函數加入5%量級的噪聲。仿真結果分析如下:表1中列出了參考峭度值在10、15和20時的相關參數的計算值。

限于篇幅這里只列出了參考峭度取15時控制算法的輸出信號。圖4所示控制仿真算法輸出的超高斯時域隨機信號的時間片段，圖5所示控制算法對參考功率譜修正的輸出情況，功率譜控制譜與參考譜之間的誤差很小，完全滿足工程上要求的±3 dB的報警限范圍，表現出良好的功率譜控制性能。圖6所示控制仿真輸出響應信號的概率密度函數，并將其與高斯分布的概率密度函數進行對比，超高斯信號的概率密度圖在均值附近的取值更加緊密，有較長的拖尾，有一部分信號值超出3σ的范圍，有些信號值甚至達到6σ，滿足控制系統的設計要求。

表1 控制參數計算值Tab.1 The calculated value of control parameters

4 實驗研究

為進一步驗證基于泊松過程的超高斯隨機振動試驗控制技術的正確性，對該控制策略進行了實驗研究。實際振動試驗系統都伴隨著一定的非線性和隨機噪聲，這更能夠證明該控制技術的實用性和有效性。通過構建完成的超高斯隨機振動試驗控制系統硬件和軟件，在實驗室內對試件進行了相關的振動實驗，如圖7所示是振動實驗現場，利用該實驗平臺進行了實際連接激振器的超高斯隨機振動實驗。在實驗中設置的頻率范圍5～2 000 Hz，幅值譜由上坡譜、下坡譜和恒定加速譜組成，設置的峭度值是10。圖8所示是頻率在5～2 000 Hz范圍內功率譜控制結果，控制響應譜與參考譜之間非常緊密地貼合在一起，達到了很高的精度，完全滿足工程試驗中常用的±3 dB控制要求。圖9所示是控制響應時域信號的峭度控制結果。圖9中顯示峭度控制在所有的時間歷程里，峭度值波動都在目標峭度值附近，峭度達到了很高的控制精度，完全滿足工程要求。

5 結論

在對國內外超高斯隨機振動試驗控制技術研究的基礎上，提出了基于泊松過程的超高斯隨機振動控制策略，結論如下:

(1)對超高斯隨機振動試驗控制原理進行了研究。給出了超高斯隨機振動試驗控制流程，對峭度控制算法進行了歸納，給出了峭度控制算法流程圖。

(2)提出基于泊松過程的超高斯隨機振動控制策略。采用數字濾波的方法調制超高斯隨機信號，并以此信號作為控制系統的驅動信號，利用參考譜設計出符合控制要求的濾波器，通過泊松過程產生的泊松點，同時賦予泊松點的幅值滿足正態分布，利用二者之間的卷積運算，實現了對超高斯隨機振動試驗控制系統的功率譜和峭度同時控制，且二者相互獨立。

(3)仿真與實驗結果表明，基于泊松過程的超高斯隨機振動試驗控制算法，其控制輸出響應譜與參考譜的誤差在很小的范圍內，滿足系統工程中常用的±3 dB控制要求，控制峭度值與參考峭度值之間的誤差也在很小的范圍，完全能夠滿足工程要求。

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