大型數控車床進給伺服系統建模與分析

劉麗蘭，劉宏昭，吳子英，王建平

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048)

進給伺服系統作為數控機床的核心組成部分，是一種精密的位置跟蹤與定位系統，其運動精度和定位精度直接關系到機床的加工精度和表面質量。然而，由于相對移動部件間存在著摩擦，特別是在低速進給情況下，非線性摩擦的靜、動摩擦力存在差值及Stribeck效應，使機床進給系統的動態及靜態性能受到很大影響，這主要表現為低速時出現爬行現象，穩態時有較大的靜差或出現極限環振蕩等［1］。這些行為破壞了進給運動的準確性和連續性，極大地影響了工件表面的加工精度。

對機床進給伺服系統準確地建模與分析是設計高性能機床、預測其行為的重要前提。許多學者在該方面做了大量的研究工作［2-4］。本文針對某大型數控車床在低速進給時存在的爬行現象，對其建立合理的考慮摩擦和剛度影響的數學模型，通過數值仿真分析低速進給下導致系統爬行的原因，并進行現場實驗予以驗證，從而為提出消減爬行的合理措施提供理論與實驗依據。

1 橫向進給伺服系統描述

圖1 伺服進給系統機械結構示意圖Fig.1 Mechanical schematic of the feed servo system

某型號數控車床為兩軸聯動，其橫向進給伺服系統結構簡圖如圖1所示。采用伺服電機經二級齒輪減速箱驅動滾珠絲杠旋轉，絲杠通過螺母副實現工作臺的直線運動。工作臺處采用貼塑導軌，運行過程中為滑動摩擦。齒輪減速箱總傳動比為6，采用雙片斜齒輪增加墊片的方法消除間隙。滾珠絲杠導程16 mm，直徑80 mm，總長1.773 m，采用兩端止推的支撐方式。交流伺服電機為西門子系列電機，調速范圍0～1 500 r/min。系統采用全閉環控制，包括電流環、速度環和位置環三環控制，各控制環采用不同算法時其運動精度與定位精度會有差別。

2 橫向進給伺服系統建模

2.1 數學模型

為研究進給系統的輸出特性，需建立正確的數學模型。對于圖1所示的數控機床進給伺服系統，由于其主要運動形式為轉動和移動，因此將轉動部件軸Ⅰ、軸Ⅱ、和軸Ⅲ向電機軸等效，建立該系統的簡化力學模型如圖2所示。等效后系統具有電機的轉動和工作臺的移動兩個自由度。該力學模型既涵蓋了各個傳動環節的運動特性又簡單便于分析。

圖2 簡化力學模型Fig.2 Mechanical model of the feed system

下面根據圖2的力學模型建立其數學模型。

首先，交流伺服電機在負載作用下進行旋轉運動，建立系統轉動方程為:

式中:Jm為等效轉動慣量;θm為電機輸入轉角;Cm為等效粘性阻尼系數;TL為電機負載轉矩;kt為電機轉角常數;i為電機輸入電流。等效轉動慣量與等效粘性阻尼系數可由下式計算:

式中:J1為軸Ⅰ的轉動慣量;J2為軸Ⅱ的轉動慣量;J3為軸Ⅲ的轉動慣量;C1為軸Ⅰ的粘性阻尼系數;C2為軸Ⅱ的粘性阻尼系數;C3為軸Ⅲ的粘性阻尼系數;i1為齒輪1和齒輪2的傳動比;i2為齒輪3和齒輪4的傳動比。

電機軸與絲杠之間由于扭轉變形產生的角度偏差為:

式中，θs為絲杠轉角。

電機負載轉矩為:

式中，Kθ為等效扭轉剛度，由下式計算。

式中:Kgθ1為軸Ⅰ的扭轉剛度;Kgθ2為軸Ⅱ的扭轉剛度;Kgθ3為軸Ⅲ的扭轉剛度;Kbθ為絲杠軸的扭轉剛度，計算式為:

式中:a為載荷作用點距離絲杠左端支撐的長度。

如圖3所示，由于工作臺在運行過程中，a是變化的，所以，絲杠軸的扭轉剛度會隨著工作臺的位置變化而變化。同時，電機負載轉矩TL用以驅動工作臺軸向運動，有:

圖3 工作臺進給位置示意圖Fig.3 Position of the worktable

式中:Fd為工作臺直線運動驅動力;r為轉動與移動之間的轉換比;l為絲杠的導程;η為傳遞效率，取η=1。

在電機轉矩的驅動下，絲杠的轉動轉化為螺母(工作臺)的軸向移動，但由于軸向彈性變形二者存在位移差，因此工作臺的驅動力Fd為:

式中:xs為絲杠轉化的軸向位移，xs=rθs;xt為工作臺的位移;K1為工作臺的等效軸向剛度。K1由下式計算:

式中:Kb為滾珠絲杠的軸向剛度;Kn為螺母組件剛度;Kz為螺母支架和軸承支架軸向剛度;2Kc為一對支撐軸承的軸向剛度。

滾珠絲杠軸向剛度計算式為:

式中:A為絲杠軸截面面積;E為楊氏模量;L為絲杠軸支撐間的跨距。

由式(11)可見，當a變化時，絲杠軸的軸向剛度也隨之變化，且當a=L/2時Kb最小。

該進給伺服系統的綜合等效傳動剛度Ke可由等效扭轉剛度Kθ和等效軸向剛度Kl獲得:

滾珠絲杠的旋轉運動通過螺母轉換為工作臺的直線移動，建立工作臺的運動方程為:

式中:Mt為工作臺質量;Ct為工作臺阻尼系數;Ff為摩擦力。

結合系統控制形式，可建立系統電流方程為:

式中:L為電動機電感;R為電動機電阻;kpp為位置環增益;kv為速度指令調整增益;kvp為速度環增益;kip為電流環增益;kemf為反電動勢;xr為系統輸入目標位置;e為位移誤差，e(t)=xr(t)-xt(t)。

由以上建模可以看出，一旦系統結構形式和控制參數確定以后，摩擦力是影響工作臺輸出的關鍵因素。此外，由于工作臺在運行過程中與絲杠的相對位置發生變化導致絲杠的軸向剛度和扭轉剛度變化，從而引起綜合傳動剛度變化，也會影響到工作臺的輸出運動。因此考慮摩擦對工作臺輸出影響的同時，分析傳動剛度對工作臺輸出的貢獻也很重要。

2.2 摩擦模型

摩擦非線性將對進給系統工作臺的運動產生重要影響。由于工作臺質量較大，且其與導軌間存在滑動摩擦，受摩擦力作用較其他部位更加明顯，因此本文主要考慮工作臺與導軌間滑動摩擦。

LuGre模型描述了諸多摩擦現象，包括庫侖摩擦、粘性摩擦、預滑動、可變靜摩擦力、Stribeck摩擦和摩擦滯后等，較其它模型更能全面體現真實摩擦現象，是目前應用最為廣泛的一種動態摩擦模型。此處采用LuGre 摩擦模型［5］。

LuGre模型中摩擦力由鬃毛的變形產生，描述為:

式中:σ0為鬃毛剛度;σ1為微觀阻尼系數;σ2為粘性摩擦系數;z為鬃毛平均變形，其變形量z表示為:

其中，函數g(v)描述了 Stribeck效應［6］:

式中:v為相對運動速度;vs為Stribeck速度;fc為庫侖摩擦力;fs為最大靜摩擦力。

3 數值仿真

由于獲取實際進給系統所有物理參數的難度很大，因此基于已建立的系統數學模型，采用數值仿真方法就摩擦和剛度對工作臺輸出的影響進行定性地分析。采用Simulink軟件建立含摩擦的兩自由度系統的閉環控制框圖如圖4所示，仿真數據如表1所列。

圖4 進給系統控制框圖Fig.4 Control schematic of the feed servo system

表1 仿真數據Tab.1 Simulation data

3.1 靜動摩擦力差值與爬行

靜動摩擦力存在差異是非線性摩擦的一個重要特點，它會對系統的動態性能產生很大影響。而靜動摩擦力差值的大小是衡量這種影響程度的關鍵因素。令靜動摩擦力的比值為:

為了分析靜動摩擦力差值與工作臺爬行運動的關系，表2給出了在fc=15 N及Ke=0.2 N/μm的條件下，h從1.2變化到1.8時系統開始發生爬行運動的臨界爬行速度。根據表2繪出的變化趨勢曲線見圖5。

表2 靜動摩擦力比值與臨界爬行速度的對應數值Tab.2 Values of the ratios of the static to kinematic friction and critical stick－slip velocity

由圖5看出，傳動剛度恒定時，靜動摩擦力比值的變化對系統動力學行為產生的影響較大。隨著h的增加，即靜動摩擦力差異的加大，工作臺的臨界爬行速度也隨之增加，尤其在h=1.3時較h=1.2時臨界爬行速度增加的幅度較大。這種變化導致工作臺在低進給速度下更容易發生爬行運動，從而使工作臺進給速度的下限范圍受到了限制。因此，減小靜動摩擦力的差距是減小系統爬行行為的一項重要措施。

圖5 靜動摩擦力比值與臨界爬行速度關系曲線Fig.13 Relation curve of the ratio of the static to kinematic friction versus critical stick-slip velocity

3.2 傳動剛度與爬行

為了進一步分析剛度與工作臺臨界爬行速度之間的關系，通過反復多次仿真，表3給出了在fc=15 N、h=1.6及綜合等效傳動剛度Ke從 0.4 N/μm 變化到1.6 N/μm的情況下，進給伺服系統發生臨界爬行時的速度數值。

表3 綜合等效傳動剛度與臨界爬行速度對應數值Tab.3 Values of the equivalent stiffness and critical stick slip velocity

圖6 綜合等效傳動剛度與臨界爬行速度的關系曲線Fig.6 Relation curve of equivalent stiffness versus critical stick-slip velocity

根據表3，圖6繪出了綜合等效傳動剛度與工作臺臨界爬行速度關系曲線。從圖中看出，在靜動摩擦力差值不變的情況下，隨著剛度的增加工作臺發生爬行的臨界速度逐漸降低，但其減小的幅度逐漸變小。說明在受摩擦非線性影響的進給系統中，傳動剛度的變化也會影響工作臺的輸出。適當地增加綜合等效傳動剛度，主要是絲杠的剛度，可使進給系統在較低的進給速度下避免爬行。這對于高精度、低進給要求的機床加工非常有利。

4 實驗

為了驗證對該類型機床進給系統的建模與數值分析得到的定性結果的正確性，現以某大型數控車床橫向進給系統為實驗對象，測量工作臺在較低進給速度下的臨界爬行速度，分析剛度變化與臨界爬行速度之間的關系。

4.1 測試方法

數控機床進給系統及測試裝置如圖7所示。實驗中主要使用英國Renishaw XL激光干涉儀進行動態測量。測試過程中機床主軸停止轉動，橫向進給系統空載運行。

(1)工作臺行程為1 000 mm，測試共取8個位置作為測點，如圖8所示。

(2)在每個測點處編制機床控制程序使工作臺沿著軸線勻速運動。首先從較高進給速度開始運行，運行時間為10.2 s，采用Renishaw XL激光干涉儀測量工作臺的動態響應。觀察工作臺有無爬行行為，若無爬行發生，重新設定進給速度驅動工作臺運動，進給速度以0.1 mm/min的步長遞減，直至發現工作臺出現爬行現象。記錄測點位置及臨界爬行速度數據。

圖9 第1測點響應信號Fig.9 Responses of the test point 1

通過反復測量得到了各個測點處工作臺發生臨界爬行運動時的位移和速度響應信號，其中第1測點的位移和速度響應信號如圖9(a)、(b)所示。

4.2 測試結果

表4給出了在各個測點處工作臺的臨界爬行速度。根據廠家提供的該型數控機床進給伺服系統的相關數據，由式(12)可以計算出工作臺位于8個測點處時進給系統的綜合等效傳動剛度Ke列于表4中。并且，為了更直觀地表達各個量之間的關系，圖10繪出了臨界爬行速度、綜合等效傳動剛度與工作臺位置之間的關系曲線。

表4 測量與計算數據匯總Tab.4 Measured and computed data

圖10 臨界爬行速度、綜合等效傳動剛度與工作臺進給位置的關系Fig.10 Relationship of critical stik-slip velocity，equivalent stiffness and the position of the worktable

從圖10中的“—*—”曲線可以看出，低速進給下，在8個測點處工作臺發生爬行的臨界進給速度是不同的，越接近絲杠中點位置臨界爬行速度越大(第3測點稍有差異)。原因由于工作臺在運行中處于絲杠的不同位置，每一測點的傳動剛度不同，如圖10中的“—o—”曲線，綜合等效傳動剛度由絲杠兩端向絲杠中間位置逐漸減小。8個測點處的摩擦條件和控制參數一致，因此可以判斷是綜合等效傳動剛度的變化導致了工作臺臨界爬行速度的變化，且有綜合等效傳動剛度降低，臨界爬行速度增大的趨勢。實驗結果與第3.2節的數值仿真分析結果一致，從而驗證了本文對數控機床進給伺服系統的理論建模與分析是合理適用的。

實驗結果可為該類型的數控機床避免低速進給下工作臺發生爬行的現象提供一種解決方案，即在經濟性和結構方面允許的前提下盡可能地提高滾珠絲杠的剛度。

5 結論

針對某型號數控車床的進給伺服系統在低速進給下出現爬行的問題，對其建立了完善的數學模型。模型中充分考慮了非線性摩擦和傳動剛度的影響。通過數值仿真，著重分析了靜動摩擦力比值和綜合等效傳動剛度對進給工作臺輸出運動的影響規律。仿真結果表明，靜動摩擦力差異是導致爬行現象的重要原因，差值越大越容易引起爬行運動。而傳動剛度變化則會改變產生爬行的條件，剛度越大，發生爬行所需的靜動摩擦力差值就越大。在靜動摩擦力差異不變的情況下，剛度增加系統臨界爬行速度隨之降低，有利于系統穩定。現場實驗與數值仿真的結果趨勢基本一致，表明本文的理論建模與分析是合理、有效的。

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