建筑結構魯棒分散控制方法研究

蔣 揚，周星德，王 玉，劉謙敏，姜冬菊

(河海大學 力學與材料學院，南京 210098)

振動主動控制系統多采用集中控制策略［1-3］，需要同時測量盡可能多的系統信號，進而計算出所有作動器的控制力進行振動控制。倘若某幾個控制器或傳感器失效，則可能使控制系統癱瘓，且控制系統設計復雜、可靠性差。基于局部信息反饋的分散控制策略，具有設計簡單且可靠性高等特點，已經成為目前研究的熱點之一［4］。由于分散控制采用系統局部信號反饋的控制方法，少數作動器的失效并不會致使整個系統的控制失敗，更適于實際應用。文獻［5］對基于最優控制策略的分散控制方法進行了初步的研究;文獻［6］通過把結構分成多個子系統，每個子系統采用不同的控制策略的方式，對自適應模糊分散控制進行了研究，控制效果很好。

本文主要研究基于魯棒控制理論的魯棒分散控制策略，目前分散控制作動器的控制力僅采用建筑物相鄰兩層的測量信號進行控制，由于采用的系統信息較少，雖然也能對建筑物的振動響應進行控制，但控制效果一般［7-10］。如果要使系統具有較好的控制效果，就必須為作動器提供盡可能多的系統反饋信息。因此，在信息采用上，本文選擇建筑物相鄰四層的測量信息，進而對其進行魯棒分散控制，既保證了控制系統簡單可靠的優點，又增加了作動器控制力所采用的系統信息，為同等環境下提高系統的控制效果提供了保證。最后，對十層建筑物進行了仿真分析。

1 魯棒控制

含比例阻尼的n個自由度的建筑結構在地震作用w(t)下的運動方程為:

式中，x(t)∈Rn×1是建筑物的相對位移向量;M，C，K∈Rn×n分別是質量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣;u(t)∈Rm×1是作動器控制力向量;Bs∈Rn×m為作動器定位矩陣，m為作動器數目;Es∈Rn×1為地震激勵定位矩陣。w(t)為地面水平加速度時程曲線(t)，其定位矩陣Es為 -M{1}n×1。

定義狀態變量:

則式(1)可以表示為如下狀態方程:

式中，

其中，In×n為n×n維單位矩陣;0n×m，0n×p，0n×1分別代表n×n維，n×m維，n×1維零矩陣。

令振動主動控制系統的控制輸出方程為:

式中，Y(t)∈Rq×1為控制輸出向量;C∈Rq×2n和D∈Rq×m均為系統控制輸出系數矩陣;q為控制輸出變量個數。假設控制系統為狀態反饋控制系統，即作動器控制力U(t)由方程U(t)=GZ(t)決定，G∈Rp×2n為控制增益矩陣。把方程U(t)=GZ(t)代入方程(3)、方程(4)，可得閉環系統的狀態方程:

式中，

設離散周期為T，對系統狀態方程進行離散化得:

式中，下標“d”表示相對應的離散系統。由于離散狀態反饋系統中的控制力Ud(k)可以表示為Ud(k)=GdZ(k)。因此，離散閉環系統中的Adc和Cdc的表達式為:

設HZW是由輸入w(t)到輸出Y(t)的傳遞函數:

變量μ滿足如下關系:

即變量μ為離散閉環系統傳遞函數HZW無窮范數的上確界。

由狀態反饋控制系統魯棒控制理論［11］可知，離散系統的魯棒控制問題可以轉化成在線性矩陣不等式約束條件下的凸優化問題，即求變量矩陣Fd和Θd，使其滿足以下條件:

(1)Minimize μ

(2)使矩陣變量Fd和Θd滿足如下不等式:

式中，Θd為2n×2n維對稱正定矩陣，Fd為p×2n維矩陣，且滿足關系:Fd=GdΘd;符號‘*’表示矩陣中相應的對稱塊。當上述凸優問題有解，即存在滿足上式不等式約束條件的變量矩陣Fd，Θd，則增益矩陣Gd為:

2 魯棒分散控制

根據線性狀態反饋控制律U(t)=GZ(t)可知，當增益矩陣Gd1被應用時，第i層作動器控制力ui只跟第i層位移和速度有關;而當增益矩陣類型Gd2被應用時，第i層作動器控制力ui跟第i層及與之相鄰兩層(上下各一層)的位移與速度有關;以此類推，可根據不同需要，對任意系統增益矩陣Gd進行相應的定位約束。

同理，要得到滿足定位約束條件的增益矩陣Gd1，需對變量矩陣Fd1和Θd1進行相應的定位約束。

3 仿真分析

圖1 含10個作動器的10層框架Fig.1 The 10-storey frame structure

以10層框架建筑結構為研究對象進行魯棒分散控制仿真分析，基于地震波的采樣周期為0.02 s，所以采用 0.02 s作為系統的離散周期。如圖1所示，在建筑結構的每一層都安置一個假設為理想作動器。通過三種不同定位約束的控制增益矩陣GdⅠ，GdⅡ，GdⅢ分別對建筑物進行了魯棒分散控制仿真研究。GdⅠ，代表方法1，是基于建筑物相鄰兩層測量信號的魯棒分散控制策略，即第i層作動器的控制力只跟第i層及與其相鄰兩層(上下各一層)的位移與速度有關;GdⅡ，代表方法2，是基于建筑物相鄰四層測量信號的魯棒分散控制策略，即第i層作動器的控制力只跟第i層及相鄰四層(上下各二層)的位移與速度有關;GdⅢ，代表方法3，是指魯棒集中控制策略，即第i個作動器的控制力跟結構各層的位移與速度都有關，取決于系統的全局測量信息。仿真分析過程以各樓層相對地面的位移與速度為控制輸出，即Cd為20×20維單位矩陣，Dd為相應的零矩陣。假設系統初始處于靜止狀態，外部激勵為水平方向的地震荷載，選擇elcentro波作為水平方向激勵，結構阻尼比為0.02;各樓層的質量均為3.2×103kg，剛度為 4.3 × 106N/m。控制增益矩陣GdⅠ，GdⅡ，GdⅢ的值，可以通過相應的凸優化問題求解，并對建筑物進行振動控制。魯棒分散控制的仿真結果如表1所示。

從表1中可以看出，方法2與方法3的控制效果明顯優于方法1。方法1能使建筑物樓層位移響應的峰值減少40～50%左右，而方法2與方法3的控制效果基本相當，能使建筑物樓層位移響應的峰值減少90～98%左右。由此可知，魯棒分散控制的效果依賴于系統測量信息量的多少，當各作動器采用的系統信息量較少時，其控制效果一般;相反，當各作動器所需的系統信息量較多時，往往能達到較好的控制效果。如表1所示，方法1只能減少建筑物各樓層不到50%的位移響應峰值。而方法2的控制效果明顯優于方法1，能夠減少各樓層90%以上的位移響應峰值。但是，魯棒分散控制的控制效果并不是隨著作動器所需系統測量信息數量的增加而無限增加，如方法2與方法3的控制效果基本相當。甚至在建筑物的第3層，方法2對建筑物位移響應峰值的減少量反而大于方法3約2.5%。因此，對于建筑結構的魯棒分散控制，在同等條件下，應該存在一個最優增益矩陣的定位約束類型，即作動器控制力所需的系統測量信息量存在一個最優值，使得控制系統能夠用較少的測量信息達到最優的控制效果。

表1 建筑物魯棒分散控制結果Tab.1 Control result of the robust decentralized control method

同時，以結構第10層的控制效果圖為例，以便對魯棒分散控制的控制效果認識更直觀。方法1，方法2，方法3的控制效果分別見圖2，圖3，圖4，其中，虛線表示未控制時的位移時程曲線，實線為控制后的位移時程曲線。方法2的第10層作動器的控制力時程曲線如圖5所示。從圖中也可以清楚的看出，基于建筑物相鄰四層測量信號的魯棒分散控制的控制效果與魯棒集中控制的控制效果基本相當，且明顯好于基于相鄰兩層信號的魯棒分散控制效果。

此外，在研究過程中也出現了一些現象:① 當控制系統中只采用四個，五個等少量作動器進行分散控制時，建筑物位移響應幾乎得不到有效控制，甚至比未控時的響應還要大;② 當控制系統采用三個及更少的作動器進行控制時，采用基于建筑物局部測量信息反饋的魯棒分散控制策略，在MATLAB仿真過程中，其相應的凸優化問題都會出現無解的情況。目前，作動器個數對魯棒分散控制控制效果的具體影響及原因尚不明確，需進一步深入研究，這也成為筆者未來的研究重點。

4 結論

對于建筑結構在地震激勵下的振動控制，傳統魯棒集中控制策略的系統復雜且可靠性相對較低，當其中少數作動器的失效就可能導致整個控制系統控制失敗。因此，具有系統簡單可靠性高等優點的魯棒分散控制策略，在保證控制效果的情況下，可以一定程度上彌補魯棒集中控制策略的不足。本文通過對10層建筑結構進行仿真分析，對基于建筑物相鄰四層測量信號的魯棒分散控制方法進行了初步研究。結果表明，該方法有效且控制效果較好。

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附錄1:方法2的控制器結構參數(增益矩陣GdⅡ=P×105)