基于復合優化方法立式數控加工中心的多目標優化設計

彭艷華，管貽生，張憲民，姜 橫，龔循飛，陳 忠，許 冠，毛衛東

(1.華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州 510641;2.佛山市南海中南機械有限公司，廣東 佛山 528247)

隨著全球一體化經濟步伐的加快，制造行業在產品性能、質量、輕量化、客戶化、低成本和交貨時間短等方面的競爭日益激烈，如何使企業能夠快速響應市場，在較短時間內以較高性價比的產品占領市場，是企業得以生存和發展的關鍵環節。為此企業必須依靠創新性思維、先進的設計制造技術、完善的管理，同時又要降低成本，保證質量及良好的售后服務。傳統的設計方法已無法滿足這些要求，使得企業必須采用各種先進設計、制造技術和工具，提高產品性能和研發效率的同時降低成本［1］。

數控加工中心優化設計涉及結構外形優化、筋板優化和尺寸優化，目前關于機床的優化設計研究主要有機床動態優化設計、拓撲優化、可重構機床初步設計的最佳模塊選擇、基于柔性元結構的廣義模塊化設計等，如張建潤等［2］對五坐標數控龍門加工中心進行了動態優化設計，劉偉等［3］采用拓撲優化方法進行了XH600高速加工中心立柱拓撲優化，Chen等［4］采用可重構方法進行了機床的優化設計，徐燕申等［5］提出了機械產品廣義模塊化設計的概念，這些方法應用于機床結構優化設計中取得了非常好的效果，解決了單目標和單形式優化設計問題。數控加工中心機床優化設計本質上是一個多目標復合優化設計問題。鑒于此，本文采用拓撲優化、基于元結構的可適應動態優化設計和基于響應面法的尺寸優化設計等先進的設計技術，對數控加工中心外形、筋板和尺寸進行優化，實現了FWV-6A加工中心在保證加工中心動靜態性能的基礎上，整機重量最輕的目標。

1 有限元動靜態分析與實驗

1.1 有限元模型

FWV-6A加工中心主要由主軸箱、立柱、床身、滑臺、工作臺等五大件組成，在各大件建模時忽略溫度應力的影響;簡化所有的過渡圓角、倒角和螺孔;采用與原結構在幾何形狀及尺寸相一致的實體建模;選用與其結構相適應的solid-brick 20 node 95塊單元對各零件分別采用不同單元尺寸大小進行網格劃分［6］。所有材料、彈性模量、泊松比和密度分別為 HT300、1.3×1011Pa、0.25、7 350 kg/m3。

1.2 載荷條件

通過對加工中心的分析可知，當主軸箱處于立柱導軌上部，且進行重切削時，其各大件的受力和靜變形最大，所以后面的動靜態分析和優化設計均在該工況下進行。在重切削工況下，加工中心所受到的切屑力按經驗公式計算［7］，由經驗公式算得的切屑力一般比實際小10% ～20%。得X，Y，Z三個方向上切削力分別為1 661.6 N、4 499.7 N、2 769.4 N，除受到切屑力的作用外，還受到安裝于其上的主要零部件的作用力和重力。

1.3 有限元模態分析與模態實驗

為了驗證所建立模型精確性，對加工中心進行了模態實驗，測試時采用懸掛法模擬自由邊界條件，用激振器從不同方向對加工中心大件進行激振，激振信號為正弦掃頻，掃頻范圍為100～1 000 Hz，經ME’scope-VESv5處理得到拾振點所測的加速度信號頻響函數(Frequency Response Functions，FRFs)。立柱、床身和滑臺前三階固有頻率有限元分析與試驗值對比如表1所示。

表1可知所建立的有限元模型與實際情況還是比較吻合，這為加工中心大件模型靜力分析提供了保證，為加工中心優化設計提供了可靠的依據［7］。

表1 機床固有頻率有限元分析值與測試值Tab.1 Comparison of machine tool natural frequency between finite element analysis and test

1.4 靜變形分析

根據前面建立的有限元分析模型，分別計算立柱、床身和滑臺的最大靜變形為4.688 7×10-5m、1.223 4×10-6m、9.766 2 ×10-6m。

2 拓撲優化

通常情況下，拓撲優化問題可以用下式來描述:

式中X是設計變量，f(X)是目標函數，hi(X)和gi(X)分別是等式和不等式約束方程，xi是第i個設計變量和分別是第i個設計變量的上下邊界。

在機械結構的設計中，目標函數f(X)可以是結構重量，最大應力，結構柔度，機械總成本等，約束函數可以是靜動態位移、應力、頻率、溫度、制造約束等。約束函數通常是設計變量的隱函數，通常是通過結構有限元分析獲得。將機械設計問題轉換成標準優化方程后，通過解方程就可以獲得最優機械結構。

應用變密度法來求解拓撲優化問題，在密度法中標準密度是設計變量，定義為:

式中，αi是第i個有限元標準密度，ρi是優化期間第i個有限元所使用的密度，ρi0是材料的真實密度。αi值是0～1之間。密度法假定單元的彈性模量與標準密度的關系為:

式中:Ei是拓撲優化過程中第i個單元使用的彈性模量，Ei0是材料的真實彈性模量，β是2～4之間的給定約束。根據式5可知，當αi等于0時，Ei等于0，也就是位于設計空間的第i個單元沒有材料，相反如果αi等于1，則Ei0=Ei，表示第i個單元有材料，位于0和1之間的值沒有任何物理意義。它們描述的是分布材料形成拓撲優化的過渡時期的中間數據，實際上所有的值都會收斂于0或1，β為懲罰因子，是對中間密度單元項進行懲罰，以盡量減少結構中間密度單元，使設計變量尋優方向，向兩端發展，從而避免棋盤格現象，使結構單元盡可能為0或1［8］。

2.1 拓撲優化模型

用拓撲優化方法優化設計立式數控加工中心，設計目標是保證柔度最小的條件下重量最輕，由加工中心單個零部件和整機的分析結果可知，立柱結構對整個加工中心的動靜態性能影響最大，應對立柱進行拓撲優化設計。首先建立立柱的簡單框架結構拓撲優化模型，然后根據立柱的受力情況簡化出立柱X，Y和Z三個方向的主要受力，同時對立柱的下底面進行約束，以柔度最小為目標，體積為原體積的50%為約束進行優化。拓撲優化結果如圖1所示。拓撲優化的結果大都是不規則的空間結構，因此需要對拓撲優化的結果進行抽象和簡化。加工成本和加工材料的成本構成了立柱的主要成本，減少質量固然可以減少加工材料的成本，但一味追求減少體積而導致不合理設計帶來的額外加工成本可能遠遠大于材料減少降低的成本。因此對立柱上端采用直線和圓弧兩種方式進行逼近，下端采用不同直徑的半圓弧進行逼近，設計結果如圖2所示，根據性能與質量比，最終決定將上端設計成90°圓弧，半徑為725 mm。下端設計成帶底座，直徑為100 mm的半圓弧。優化模型如圖2(f)所示，框架立柱與優化后立柱性能對比如表2所示。

圖1 拓撲優化Fig.1 Topological optimization

優化結果表明，拓撲優化后立柱相對于原框架立柱質量減輕了472 kg，第一階固有頻率提高了，但第二階和第三階固有頻率相對原框架結構減低了，所以需要對其形貌和尺寸進行優化以加強立柱的局部薄弱區域。

表2 框架立柱與優化立柱性能對比Tab.2 Comparison of performance of frame and optimization column

圖2 拓撲優化建模Fig.2 Topology optimization modeling

3 形貌優化

機械結構和機床的優化設計中，合理的筋板不僅能加強機械結構和機床的剛度而且還能大大的減輕重量，文獻［9］采用元結構的方法來分析和優化機床結構，本文將元結構看成工藝過程中可能得到的單元結構。基于元結構的機床結構可適應優化設計原理，將機床結構的不同設計方案看成是滿足工藝約束情況下不同參數和形式的元結構組合的結果，然后采用一定的優化算法，從這些方案中尋找滿足功能要求和工藝約束的最佳方案。機床結構可適應優化設計過程如圖3所示。整個優化設計過程主要包含如下步驟;① 根據對結構的功能要求，確定結構的初步設計方案。②按照功能要求將結構分解為若干的子結構，進而根據工藝特點，將子結構分解為若干的元結構。③ 對元結構進行優化組合，獲得滿足功能要求的可能結構方案，并使用ANSYS中的遺傳算法(GA)對元結構進行優化。④ 建立對機床結構性能指標的評價模型，并以此作為優化設計目標。⑤ 建立優化模型進行求解。

圖3 優化設計過程Fig.3 Optimal design process

3.1 結構分解

首先，對優化機床結構按照功能進行分解，將其分解為接口子結構、承載子結構和加強子結構。接口子結構主要是該部件與其他部件連接的區域，在優化設計時要保證接口參數不發生變化。承載子結構是該結構的主要承載區域，它的有無將影響結構的功能。加強子結構是為改善結構性能而添加的結構，它不影響結構的功能。被優化結構可視為若干接口子結構、承載子結構及加強子結構按照一定規則進行連接后得到的結果。

3.2 元結構的創建

對數控加工中心立柱、床身和滑臺結構進行功能結構分解:分解成接口子結構、承載子結構和加強子結構，再將加強子結構分解成如圖4所示的元結構，根據此元結構進行創新設計出如圖5所示的多種元結構。

圖4 元結構Fig.4 Unit structure

通過對所創建的元結構進行分析可知，圖5(d)元結構的比剛度最大為120.299，綜合考慮工藝性因素，選用圖5(d)元結構作為床身和立柱的筋板結構，圖5(h)元結構作為滑臺筋板結構。然后分別采用上述元結構作為立柱、床身和滑臺筋板結構建立模型。

4 尺寸優化

圖5 新元結構Fig.5 New unit structure

在通過拓撲優化設計了立柱的外形框架結構，以及基于元結構的可適應性動態優化原理設計了立柱、床身和滑臺的筋板結構后，采用尺寸優化來確定以固有頻率最大為目標的元結構最佳長寬高比、孔洞直徑和基于動靜剛度和重量為目標或約束條件函數的加工中心立柱、床身和滑臺的最優結構尺寸。首先，根據加工中心結構確定影響優化指標的關鍵因素，在Solid-Works中對元結構和加工中心大件建立參數化CAD模型。通過以CAE為中心的開放平臺AWB與CAD軟件之間的無縫連接接口，將參數化CAD模型直接轉化為AWB DS中的數字CAE模型;參考加工中心的原始設計變量尺寸規劃出參數值變化區間。然后，采用中心復合試驗設計(Central Composite Designs，CCD)確定試驗點，在AWB DS仿真模塊中對試驗點進行有限元分析計算，并根據試驗獲得的一組試驗數據，在ANSYS Workbench Design Xplorer(AWB DX)優化模塊擬合出目標函數數學模型，即建立響應面模型［10-11］。運用轉移哈默斯利(Shifted Hammersley)序列抽樣技術在n維可行解區域內抽取均勻分布的樣本點，作為遺傳算法的初始種群。以加工中心質量和第一階固有頻率作為優化目標，初始加工中心靜變形和二、三階固有頻率作為約束，參數化結構尺寸作為優化設計變量，建立優化模型。最后，采用多目標遺傳優化算法求解這一模型以得到最優結構尺寸。

4.1 優化結果

元結構的尺寸優化以固有頻率最大為目標，長、寬、高和圓孔直徑作為設計變量進行優化，優化結果顯示，當元結構長寬高之比接近于1，圓孔與長寬高之比接近0.4時元結構性能最好，據此元結構建立立柱、床身和滑臺模型。然后確定三大件最優尺寸，下面以立柱為例說明此過程。綜合考慮計算時間、計算內存和優化空間之間的關系決定采用如表3所示的11個參數進行優化，設置好優化參數范圍、優化邊界條件和優化目標后利用Shifted Hammersley抽樣技術方法在決策空間Ω中抽取均勻分布樣本點，樣本數量由決策者選擇。然后對樣本點進行權衡排序，選取排序靠前的300個Shifted Hammersley樣本點作為多目標遺傳算法的初始種群。

利用AWB DX中的多目標遺傳優化算法對目標函數優化求解，選擇每次迭代個體總數為100個，最大運行代數100次，得到多目標帕累托(Pareto)最優解。根據設計者需求從Pareto最優解中，選取其中的1組解如表3所示。為了得到適應工程應用的最優結果，需要對計算出來的優化結果進行修正。則需要靈敏度分析，目的是確定結構響應量對設計變量的變化率［12］。

圖6和圖7分別為設計變量對各目標函數的靈敏度分析結果。綜合考慮11個設計變量對總靜變形、固頻和質量之間的靈敏度關系折中圓整各參數，因此在對優化后的尺寸參數進行修正時就要根據圖6、圖7作適當的調整。表3給出了修正后的優化尺寸，圖8為優化設計后得到的最優立柱結構。

表3 優化設計參數與取整參數Tab.3 Optimization design parameters and integer parameters

初始設計與最終設計優化結果相比可以看出，立柱在保證性能不變或有所提高的前提下，重量減輕了4.8%，同理優化后的床身在滿足性能不低于原床身或高于原床身的條件下，重量減輕了10.4%，滑臺減輕了4.8%。FWV-6A數控加工中心的整機總重量為12 749 kg，三大件總共減輕的重量為628 kg，占整機重量的 4.9%。

5 數控加工中心整機校核及優化

考慮到數控加工中心鑄造尺寸大于等于20 mm的限制，以及一些工藝上和連接裝配上的要求，將數控加工中心各個零部件立柱和床身局部尺寸和結構進行修改調整，修改調整后立柱重量2 604 kg、床身3 991 kg和滑臺1 326.4 kg，組裝成整機后總重量為12 127 kg，占整機4.9%。進行靜動態分析，將原結果與優化分析結果對比，對比結果如圖9所示。

圖8 立柱結構設計圖Fig.8 Design of column structure

優化后主軸刀具末端相對于工件靜變形為59.992 4 μm，比原整機初始值 67.27 μm 減小了 10.8%，即使得機床的靜力學性能更優。表4所示為優化后固有頻率的變化，優化后整機第一階固有頻率提高了5.3%，第二階固有頻率提高了3.1%，第三階固有頻率減小了3.1%。從工程應用上來看，在誤差允許范圍之內，動態性能基本保持不變。因此，優化后的整機在保證加工中心原有強度、剛度、動態性能和精度的條件下，整機質量從12 749 kg減少到12 127 kg，減重達到4.9%，達到了整機優化的設計要求。

圖9 整機切屑力Fig.9 Chip force of machine

表4 整機動態性能對比Tab.4 Comparison of dynamic performance of machine

6 結論

對FWV-6A數控加工中心進行優化設計，設計分兩個過程:先將整機分解為單件，單件分解為元結構，并對它們進行動靜態分析與實驗;然后在滿足性能要求的前提下分別對元結構、單件和整機進行拓撲優化、形貌優化和尺寸優化。采用變密度法拓撲優化設計立柱的最優外形。基于元結構的可適應性動態優化設計方法得到床身、立柱和滑臺的最優筋板結構。采用響應面法對加工中心立柱、床身和滑臺進行尺寸優化設計，在滿足剛度等性能要求的基礎上減輕了整機的重量。裝配優化后的單件，對數控加工中心整機進行分析校核，分析結果表明，優化后的整機在保證加工中心原有動靜態精度的條件下，整機質量從12 749減少到12 127，減重達到4.9%，達到了整機優化的設計要求。

［1］胡如夫，孫慶鴻，陳 南，等.高精度內圓磨床結構動態優化設計研究［J］.中國機械工程，2002，13(18):1542-1544.

［2］張建潤，盧 熹，孫慶鴻，等.五坐標數控龍門加工中心動態優化設計［J］.中國機械工程，2005，16(21):1949-1953.

［3］劉 偉，朱壯瑞，張建潤，等.XH6650高速加工中心立柱拓撲優化［J］.機床與液壓，2008，34(4):236-237.

［4］ Chen L，Xi F F，Macwan A.Optimal module selection for preliminary design of reconfigurable machine tools［J］.Transactions of the ASME，2005，127:104-115.

［5］ Xu Y S，Chen Y L，Zhang G J.Adaptable design of machine tools structure［J］.Chinese Journal of Mechanical Enginering，2008，21(3):7-15.

［6］許 靜，王 鐵.Pro/E和ANSYS集成方法的比較［J］.現代制造工程，2005(1):64-66.

［7］姜 衡，朱海飛，陳 忠，等.立式加工中心整機動態特性的測試與分析［J］.制造技術與機床，2010(8):59-64.

［8］Chen T Y，Wang C B.Topological and sizing optimization of reinforced ribs for a machining centre［J］.Engineering Optimization，2008，40(1):33-45.

［9］俆燕申，張興朝，牛占文，等.基于元結構和框架優選的數控機床床身結構動態設計研究［J］.機械強度，2001，21(3):1-3.

［10］熊俊濤，喬治德，韓忠華.基于響應面發的跨聲速機翼氣動優化設計［J］.航空學報，2006，27(3):399-402.

［11］ Box G E P，Draper N R.Experimental model building and response surfaces［M］.John Wiley＆ Son.，1987.

［12］解艷彩.基于響應面法的機械結構可靠性靈敏度分析［D］.長春:吉林大學，2008.