螺旋傳動式驅動器的爬行運動分析

張俊波，張學軍，張雨東

(1.中國科學院 光電技術研究所自適應光學重點實驗室，成都 610209;2.中國科學院 研究生院，北京 100039)

隨著大口徑天文望遠鏡的發展，能動光學系統以其具備校正光學像差，提高成像質量等技術特點，成為望遠鏡主鏡系統中不可或缺的技術手段。在能動光學系統中，驅動器作為重要的校正執行器件，主要用于承受主鏡結構的重力載荷和實現主鏡鏡面的能動變形，因此對驅動器的精度和穩定性的要求變得十分嚴格。螺旋傳動式結構作為一種重要而且技術成熟的機械傳動結構，在高精度要求的發展趨勢下，在微位移驅動與定位，精密與超精密加工等系統中仍然發揮著重要作用，因此使用螺旋傳動結構來設計驅動器成為一種重要的選擇。但是，螺旋傳動式結構中可能會出現的爬行現象被認為是低速運動狀態下，影響其精度和穩定性的重要因素之一，本文針對螺旋傳動式驅動器的爬行運動展開分析。

爬行運動又被稱為蠕動，或“粘附-滑動”(stickslip)運動，其主要運動特征就是被動機構在主動機構的低速驅動下，出現時走時停的不穩定運動現象。爬行問題的提出始于上世紀30年代，迄今為止很多科學家對爬行機理提出了不同的解釋，但是一直未形成統一的結論。Bowden、Stolarski等［1-2］把爬行當作一種摩擦現象來研究，Mokhtar、Capone 等［3-4］把爬行當作一種摩擦產生的振動來分析。學者們對爬行機理觀點的不同，主要歸因于各自對摩擦特性研究的差異，但是都認為是由于摩擦的存在使得滑動體在低速運動狀態下發生的爬行運動。

爬行現象在機床行業得到了足夠的重視，國內外很多學者也就具體的機床結構提出了消除爬行的措施及對機床導軌爬行的有關參數進行測試［5-7］，對機床結構構建簡單的力學模型進行理論分析［8-13］等。在分析過程中，他們把機床中的爬行現象，歸納為由工作臺滑動面與導軌工作表面之間的摩擦引起，而把螺旋傳動結構等效為剛度恒定的彈簧，忽略了螺旋傳動機構中螺紋副之間的摩擦等因素，究其原因，是由于在機床結構中，導軌與工作臺接觸面之間的摩擦遠強于螺旋傳動結構中螺紋副之間的摩擦，但對應用于能動光學系統中的驅動器來講，螺旋傳動結構中螺紋副之間的摩擦所引起的爬行對其精度的影響卻不能忽略，因此本文針對螺紋副的爬行現象進行了詳細分析，以期得到由爬行運動引入的誤差，為合理控制螺旋傳動的精度提供可靠的依據。

因此，本文首先根據螺紋副的結構特點，建立相應的物理模型，然后依據螺紋副之間的摩擦特性，對螺紋副的運動特性進行數學分析，重點研究爬行現象的運動特性，以及螺紋副各個參數的變化對爬行現象的影響，最后通過螺紋副運動的數學表達式對實例進行優化分析，并與Simulink仿真結果進行對比。

1 物理模型以及運動學分析

1.1 物理模型

螺旋傳動的主要作用是把旋轉運動轉變為直線運動，本文以螺紋副為研究對象，建立如圖1所示的物理模型。為了分析方便，把螺紋副分為做旋轉運動的主動件與平移運動的被動件，其特點為:

① 主動件為彈性體，J，C，K分別表示其轉動慣量，阻尼以及扭轉剛度;② 被動件為剛體，M表示其質量特性;③ 線性模塊p/2π表示主動件的旋轉運動與被動件的平移運動之間的比例關系。

因此，對螺紋副的分析重點集中到主動件的運動上來，主動件同時受到電機等驅動件以及外界載荷F和摩擦f的作用，前者以恒定的角速度Ωm驅動主動件，后者作用于被動件，經由線性模塊之后以轉矩的形式作用于主動件。Θ，S分別表示主動件的輸出角位移和被動件的線位移。模型中忽略由表面粗糙度、表面波度等因素所導致的螺紋副徑向跳動以及軸向竄動。

圖1 螺紋副的物理模型Fig.1 Physical model of power screw

1.2 摩擦特性

摩擦是一種復雜的物理現象，建立合適的摩擦模型對爬行運動的分析起到關鍵作用，但是至今學者們對摩擦機理的研究尚未形成共識，本文選用廣泛應用于工程中的摩擦模型，它包含了靜摩擦、庫倫摩擦與粘滯摩擦等三種摩擦類型，試驗證明該模型能以90%的精度近似擬合低速運動中的真實摩擦，其中靜摩擦是加入Stribeck速度后的指數摩擦模型［14］。

圖2 摩擦扭矩曲線Fig.2 Friction torque curve

因此，模型中的摩擦轉矩Tf()的表達式如下:

其中，Ts為最大靜摩擦轉矩，Td()為動摩擦轉矩，為接觸面的相對角速度。由于該摩擦扭矩曲線為中心對稱曲線，所以在下文的分析過程中角速度僅取于非負區域。

在低速運動階段，Stribeck靜摩擦中的衰減指數項可以用線性近似表示，即其動摩擦系數μd)表示為:

其中，b、μd0分別為動摩擦系數線性近似的斜率與截距。

因此在螺紋副中，最大靜摩擦轉矩Ts與動摩擦轉矩Td()的表達式描述為:

其中，F為外界軸向力載荷，μs為最大靜摩擦系數，d2為螺紋副中徑，β為螺紋牙型角，為了方便數學分析，分別用Cb、Td0表示動摩擦扭矩線性近似的斜率與截距。

1.3 運動學分析

根據以上所建物理模型，螺紋副主動件的運動可以分為以下兩個階段:

1.3.1 初始靜止階段

初始時刻，扭轉彈簧處于完全松弛狀態，主動件的彈性扭矩小于螺紋副之間的最大靜摩擦扭矩與負載扭矩之和，因此，主動件處于靜止狀態，即:

在這段時間內，主動件的彈性扭矩T(t)不斷增加，其運動表達式為:

1.3.2 運動階段

當彈性扭矩等于最大靜摩擦扭矩與負載扭矩等外界扭矩之和時，主動件開始進入運動狀態，此時彈性扭矩的表達式為:

其中，Ts為最大靜摩擦扭矩，TF為負載扭矩。

記開始運動時刻為tslip，則由式(5)、(6)得出:

根據動力學原理，在運動階段，主動件的運動方程表示為:

其中，彈性扭矩的表達式為:

因此，由式(1)、(3)、(8)、(9)，得到主動件的運動微分方程表示為:

(1)過阻尼狀態ζ＞1

(2)臨界阻尼狀態ζ=1

由上述兩種阻尼狀態下的角位移表達式可知，當螺旋傳動系統參數確定時，式(11)、(12)中指數項系數A、B均為常數，由于阻尼較大，使得表達式中不存在三角函數項，而不發生振蕩現象。圖3、4分別給出了兩種阻尼狀態下主動件的輸出角位移運動曲線，其中理論曲線表示驅動件的角位移;實際曲線表示式(11)、(12)所描述的運動軌跡。由圖3、4中可以看出，主動件在發生運動前，由于初始靜止階段克服最大靜摩擦扭矩與負載扭矩而引入系統誤差Θse，在圖中表示為實際角位移曲線與理論角位移曲線的平行偏差的縱向分量，主動件在tslip時刻發生運動后很短時間內，主動件出現了可以忽略的微小跳動，這是由于主動件向穩定狀態收斂引起的。

(3)欠阻尼狀態0＜ζ＜1

從式(13)中可知，由于三角函數項的存在，主動件將發生振蕩運動，在運動過程中可能發生爬行現象，圖5、6分別描述了主動件不發生爬行運動與發生爬行運動狀態的角位移、角速度、扭矩等運動特性曲線，在運動開始時刻t1，主動件的彈性扭矩克服最大靜摩擦扭矩與負載扭矩之和，摩擦類型由靜摩擦轉換為動摩擦，由于動摩擦扭矩小于最大靜摩擦扭矩，主動件開始做加速運動，隨著主動件角速度的增大，其彈性變形量減少，相應地，彈性扭矩減小，角加速度減小。在時刻t2，主動件的彈性扭矩減小至動摩擦扭矩與負載扭矩之和，主動件的角加速度為零，角速度達到最大，理論上主動件將做等速運動，但是主動件繼續運動一段微小角位移后，其彈性變形量進一步減少，使得彈性扭矩小于動摩擦扭矩與負載扭矩之和，此后主動件做減速運動，隨著角速度的減小，主動件的運動可分為三種情況:

(1)不發生爬行運動

如圖5所示，在時刻t3，主動件的角速度未減小至零，但其彈性扭矩與動摩擦扭矩和負載扭矩之和再次平衡，此后主動件經過衰減振蕩達到穩定狀態，而不發生爬行現象。圖5給出的角位移為式(13)描述的運動軌跡，圖中實際角位移曲線僅在開始運動后的一段時間內出現了跳動，這是由主動件的阻尼振蕩引起的。

圖5 不發生爬行運動時，主動件運動曲線圖，從上至下依次為角位移、角速度、扭矩、扭矩局部放大圖Fig.5 Movement curve of screw under no stick-slip state，from up to down for angular displacement，angular velocity，torque and torque partial enlargement diagram

(2)發生爬行運動

如圖6所示，在時刻t3，主動件的角速度減小至零，其彈性扭矩小于動摩擦扭矩和負載扭矩之和，因此主動件進入粘滯狀態，摩擦類型也由動摩擦轉換為靜摩擦，即發生“滑行-粘滯”爬行現象，其滑行階段的角位移表達式由式(13)給出，而在粘滯階段，其運動表達式為:

其中，tstick為主動件角速度減小為零的時刻。

圖6中的實際角位移曲線為周期性的粘滑運動。

(3)臨界爬行運動

為了下節進一步分析螺紋副參數對爬行運動的影響，這里把臨界爬行運動單獨列出，主動件的臨界爬行運動軌跡與不發生爬行運動時相似，其角位移表達式同樣由式(13)給出，不同之處在于主動件角速度減小至零時，彈性扭矩剛好增大至動摩擦扭矩與負載扭矩之和，圖7給出了主動件臨界爬行運動的運動曲線，理論曲線為驅動件的運動曲線，實際曲線為主動件的運動曲線，Θse為主動件在初始靜止階段克服最大靜摩擦扭矩與負載扭矩而引入系統誤差。

可見，螺紋副在欠阻尼狀態下，不發生爬行運動時，主動件經過振蕩之后趨于穩定，只是在很短的振蕩時間段內對螺旋傳動系統的穩定性影響較大;而發生爬行運動時，主動件做周期性的“粘滯-滑行”運動，使得螺旋傳動系統始終存在不穩定性。因此避免爬行運動的發生顯得極其重要，下節將重點分析爬行運動發生的臨界狀態。

1.4 爬行判據函數

根據上節對臨界爬行狀態的描述，其運動軌跡的數學表達式為:

把式(13)代入式(15)，并定義爬行運動發生的判據函數f(ζ，ψ)為:

其中，ζ=(C+Cb)/2Jωn，ψ =ΩmJωn/(Ts-Td0)。

則根據判據函數的大小，可以確定欠阻尼條件下螺紋副的運動狀態，如下所示:

圖8表示爬行運動發生的臨界曲線，即判據函數為零;在給定螺旋傳動系統參數的條件下，若判據函數的值在臨界曲線上方，則不發生爬行運動，若判據函數的值在臨界曲線下方，則將發生爬行運動。

圖8 爬行運動的臨界曲線Fig.8 Critical curve for stick-slip movement

因此根據臨界爬行判據函數表達式，可以定性得出螺旋傳動系統在欠阻尼狀態下，螺紋副各個參數對發生爬行現象的影響，阻尼C、動摩擦系數斜率b、驅動速度Ωm等參數越大，靜摩擦系數與動摩擦系數截距之差(μs-μd0)、軸向載荷F以及螺紋牙型角β等參數越小，爬行運動越難以發生，螺紋副中徑d2等參數對爬行運動發生的影響比較復雜，需根據其他參數的變化而定。

2 實例分析及其與Simulink仿真對比

根據以上建立的物理模型以及數學分析，本節對實際納米量級精度的螺旋傳動式驅動器進行優化分析。在實際工作中，要求該螺旋傳動式驅動器的負載能力 500 N，功率0.5W，驅動角速度為 2.6 rad/s，螺旋傳動中螺紋副的具體參數如表1所示。

表1 螺紋副參數Tab.1 Power screw parameters

由上節的物理模型及數學分析表達式，得到在驅動角速度2.6 rad/s作用下，如圖9所示的計算結果，實線表示螺紋副的數學分析計算值，虛線表示其理論值，即驅動件的運動特性，可見該螺紋副發生爬行運動，其中，螺紋副初始靜止時間Tse為0.16 ms，克服最大靜摩擦扭矩與負載扭矩而引入系統誤差Θse為0.4 mrad，被動件相應的系統誤差為48 nm;運動階段，其爬行周期Tss為 0.08 ms，主動件輸出角位移周期 Θss為 0.2 mrad，被動件相應的直線位移周期為24 nm。

圖9 優化前的螺紋副在數值計算中的運動曲線圖Fig.9 Movement curve for power screw in the numerical calculation before optimization

由于該螺紋副在工作中將發生爬行運動，對微位移進給系統位移分辨率的影響比較大，因此需對螺紋副的結構進行優化，本文僅對螺紋副公稱直徑進行優化，把表1中的參數代入式(14)，得到螺紋副中徑的最小取值為8.54 mm，根據螺紋副的選型要求，以10 mm為優化公稱直徑，再次利用數學分析得到螺紋副的運動特征曲線，如圖10所示，優化后螺紋副不發生爬行，螺紋副初始靜止時間Tse為0.08 ms，克服最大靜摩擦扭矩與負載扭矩而引入系統誤差Θse為0.2 mrad，被動件相應的直線位移系統誤差為24 nm;運動階段，最大隨機誤差為0.05 mrad，被動件相應的直線運動隨機誤差為6 nm，僅出現在螺紋副進入運動階段后很短的時間內，可見，該螺紋副經過優化后，性能明顯得到了改善。

圖10 優化后的螺紋副在數值計算中的運動曲線圖Fig.10 Movement curve for power screw in the numerical calculation after optimization

為了驗證本文對爬行現象描述的可靠性，接下來利用Simulink仿真軟件對上述優化前后的螺紋副重新建模分析，并把仿真結果與數學分析結果對比。Simulink軟件提供了SimMechanics模塊對機構動力學進行仿真，該模塊中的摩擦模型由庫倫摩擦、靜摩擦及粘滑摩擦組成，其中靜摩擦包括了Stribeck指數衰減項。根據軟件建立仿真模型如圖11，圖中第一行表示螺紋副的結構，第二行表示外界載荷，后兩行表示數據測量與示波器顯示模塊。

圖12給出了優化前后螺紋副運動特性的Simulink仿真結果，實線與虛線分別表示圖11中主動件與驅動件經由示波器模塊輸出的運動曲線。本文以主動件角位移偏差(即實際值與理論值之差)作為分析對象，來比較數學分析與仿真分析兩種方法的計算結果，表2列出了在螺紋副優化前后上述兩種方法對主動件角位移偏差的計算結果。由表2中數據可得，在螺紋副優化前，兩種方法計算得到的角位移偏差的均值、均方根的相對誤差均小于5%，優化后，均值、均方根的相對誤差均小于1%，可見兩種方法的計算結果很好的吻合。

表2 兩種方法得到的主動件角位移偏差結果比較(×10－4rad)Tab.2 Comparison of results for angular displacement of screw in two methods of numerical calculation and Simulink

3 結論

本文建立了螺紋副的物理模型，推導出螺紋副運動的數學表達式，詳細分析了欠阻尼狀態下的爬行運動，以及發生爬行運動的判據函數，進而定性地得到螺紋副參數對爬行運動發生的影響。本文還利用螺紋副運動的數學表達對實際螺旋傳動式驅動器進行優化分析，并與Simulink仿真分析結構相比較，得到相一致的結果。通過以上研究內容，得出以下結論:

(1)增大驅動角速度、動摩擦一階近似系數、阻尼以及減小動靜摩擦因數差值、螺紋副的軸向載荷以及螺紋牙型角等參數，爬行運動更難以發生;

(2)螺紋副中徑對爬行運動的影響較復雜，需根據其他參數的變化，再由判據函數確定;

(3)通過優化螺紋副的參數，可以在螺旋傳動式驅動器設計過程中避免爬行運動的發生，進而提高系統的精度與低速平穩性。

上述結論對于螺旋傳動式驅動器的設計以及實際工程應用中消除和控制爬行現象的發生具有一定的指導意義。

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