基于Pareto集與多目標(biāo)決策的飛控參數(shù)優(yōu)化

徐寧，董新民，劉棕成，陳勇

(空軍工程大學(xué)工程學(xué)院，陜西西安 710038)

引言

飛行控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的時(shí)變非線性系統(tǒng)，由于性能指標(biāo)和控制器參數(shù)之間不存在明顯的映射關(guān)系，控制器參數(shù)的選擇是飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中一個(gè)非常棘手的問(wèn)題。如何設(shè)計(jì)合適策略自動(dòng)尋找使系統(tǒng)處于最優(yōu)狀態(tài)的控制器參數(shù)是飛控系統(tǒng)需要解決的一個(gè)重要問(wèn)題。

進(jìn)化算法具有對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)已知要求不高、不基于導(dǎo)數(shù)信息等特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，利用進(jìn)化算法的超強(qiáng)搜索能力實(shí)現(xiàn)對(duì)飛控參數(shù)的快速尋優(yōu)是當(dāng)前的一個(gè)研究熱點(diǎn)。目前，飛控參數(shù)的調(diào)節(jié)大多都是基于非Pareto集的搜索方法。文獻(xiàn)［1］利用改進(jìn)的進(jìn)化策略優(yōu)化飛控參數(shù)，文獻(xiàn)［2］提出基于參考模型的飛控系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化策略，這些方法雖然取得了一定的優(yōu)化效果［3］，但是都只能得到滿足所設(shè)計(jì)尋優(yōu)方案要求的一個(gè)解，在飛行狀態(tài)變化時(shí)得到的往往不是該狀態(tài)下的最優(yōu)解。

基于Pareto集的進(jìn)化多目標(biāo)算法始終能得到包含最優(yōu)解的一組解集，克服傳統(tǒng)方法普適性不強(qiáng)的問(wèn)題［4］。因此，利用基于Pareto集的進(jìn)化多目標(biāo)算法對(duì)飛控系統(tǒng)的各個(gè)性能指標(biāo)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化得到最優(yōu)解集，再通過(guò)多目標(biāo)決策方法從解集中選取出最終滿意解，更符合實(shí)際情況的需要［5-6］。

本文通過(guò)Pareto集遺傳算法對(duì)飛控參數(shù)多目標(biāo)模型進(jìn)行求解，得到分布均勻的最優(yōu)解集，再利用基于熵權(quán)與Vegua集的多目標(biāo)決策方法從解集中選取滿足要求的最終滿意解，仿真驗(yàn)證表明該方法具有良好的優(yōu)化效果和較強(qiáng)的實(shí)用性。

1 飛控參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化模型

飛控系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。優(yōu)化后的參數(shù)須使飛控系統(tǒng)同時(shí)滿足時(shí)域和頻域內(nèi)各項(xiàng)指標(biāo)的要求。通過(guò)特定的方式將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問(wèn)題不僅需要較多的先驗(yàn)知識(shí)，計(jì)算效率低，而且魯棒性差，難以處理目標(biāo)噪聲及變量空間不連續(xù)的情況，在實(shí)際運(yùn)用中效果不佳［7］。

本文以某型飛機(jī)縱向飛行控制系統(tǒng)俯仰保持模態(tài)的控制器參數(shù)優(yōu)化為例，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型來(lái)解決飛控系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。其俯仰控制模態(tài)原理如圖1所示。

圖1 俯仰控制模態(tài)原理圖

飛機(jī)的縱向狀態(tài)方程如下:

式中，X=［θ，α，v，q，h］T為狀態(tài)變量;U=［δe］為輸入，舵面偏轉(zhuǎn)角δe飽和限制為15°。俯仰角保持控制律為:

式中，θc為指令俯仰角，本文設(shè)計(jì)中取值為5°;K1，K2，K3為控制器參數(shù)。

為了同時(shí)達(dá)到控制系統(tǒng)對(duì)快速性、穩(wěn)定性和魯棒性的要求，本文以控制系統(tǒng)輸出的超調(diào)量σ、上升時(shí)間tr(即由終值2%第1次上升到終值98%的時(shí)間)和調(diào)節(jié)時(shí)間ts(誤差帶取2%)最小作為優(yōu)化的目標(biāo)，以需要達(dá)到的頻域指標(biāo)作為約束條件，建立俯仰控制模態(tài)下的多目標(biāo)優(yōu)化模型如下:

式中，Gm和Pm為增益裕度和相位裕度;gm和pm分別為各自的約束下限。

2 Pareto遺傳算法求最優(yōu)解集

Pareto遺傳算法根據(jù)適應(yīng)度分配和多樣性保持策略不同可以分很多類。其中非劣排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)采用Pareto非劣解快速排序、精英保留策略、以及基于解的排序等級(jí)和擁擠距離的選擇算子，具有良好的性能。本文利用NSGA-Ⅱ算法對(duì)建立的多目標(biāo)模型進(jìn)行求解。算法在處理約束條件時(shí)，采用外部懲罰函數(shù)法。NSGA-Ⅱ算法求飛控參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化模型的最優(yōu)解集步驟如下:

(1)將多目標(biāo)優(yōu)化模型中的目標(biāo)函數(shù)分別設(shè)為算法的適應(yīng)度函數(shù)，通過(guò)這些目標(biāo)函數(shù)對(duì)算法個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)度分配;

(2)算法個(gè)體 X(t)i=［K1，K2，K3］設(shè)為包含控制器參數(shù)的個(gè)體向量，每個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)向量的指定維;

(3)初始化算法種群，設(shè)置算法參數(shù);

(4)通過(guò)算法運(yùn)算求得多目標(biāo)優(yōu)化模型的最優(yōu)解集。

3 基于熵權(quán)和Vague集的多目標(biāo)決策

通過(guò)Pareto多目標(biāo)進(jìn)化算法得到了一個(gè)最優(yōu)解集。該解集在各目標(biāo)函數(shù)上各有側(cè)重，決策者可以根據(jù)系統(tǒng)的具體需求(如國(guó)軍標(biāo)對(duì)飛控系統(tǒng)的要求)，從解集中挑選出足夠滿意的解作為最終解［8］。本文設(shè)計(jì)了基于熵權(quán)和 Vegua集的多目標(biāo)決策方法。

3.1 方案初選

多目標(biāo)優(yōu)化計(jì)算得到的最優(yōu)解集中非劣解的數(shù)量較大，所以有必要對(duì)其進(jìn)行初步的篩選，即對(duì)表征方案的每個(gè)指標(biāo)提供一個(gè)合適的滿意值，將任意屬性值劣于對(duì)應(yīng)所設(shè)定滿意值的方案都去掉，所篩選出來(lái)的解集稱為備選方案集。

3.2 熵權(quán)法確定客觀權(quán)重

熵權(quán)法借助信息熵對(duì)系統(tǒng)內(nèi)在信息描述的客觀性，根據(jù)方案集構(gòu)成的判斷矩陣來(lái)計(jì)算各指標(biāo)的差異程度，從而確定客觀權(quán)重的大?。?］。具體步驟為:

首先構(gòu)建具有n個(gè)方案m個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的評(píng)價(jià)矩陣 B=(bij)n×m，i∈［1，n］，j∈［1，m］，經(jīng)規(guī)范化處理將評(píng)價(jià)矩陣B轉(zhuǎn)化為［0，1］范圍內(nèi)的相對(duì)優(yōu)屬度矩陣R=(rij)n×m。然后計(jì)算評(píng)價(jià)指標(biāo)j的熵值Hj:

為使ln gij有意義，當(dāng)gij=0時(shí)，令gijln gij=0。根據(jù)熵值Hj計(jì)算第j個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的熵權(quán) woj作為客觀權(quán)重:

由熵權(quán)的定義可知，某指標(biāo)的熵值越小，表明其指標(biāo)值的差異程度越大，該指標(biāo)能為決策者提供的有用信息越多，則其權(quán)重也應(yīng)越大，決策者應(yīng)予以重點(diǎn)考慮;反之亦然。

3.3 綜合權(quán)重

根據(jù)熵權(quán)法確定的客觀權(quán)重，結(jié)合決策者給出的主觀權(quán)重ws計(jì)算各屬性的綜合權(quán)重。本文采用加權(quán)幾何平均數(shù)方法計(jì)算綜合權(quán)重［10］:

式中，α和β為兩種權(quán)重在決策者心目中的比重。

3.4 Vague集多目標(biāo)評(píng)價(jià)模型

Vague集的定義為［11］:設(shè)論域U，元素x是論域U中的任一元素，論域U上的一個(gè)Vague集A由一個(gè)真隸屬度函數(shù)tA(x)和假隸屬度函數(shù)dA(x)表示。其中，tA(x)是從支持x的證據(jù)中導(dǎo)出的肯定隸屬度的下界，dA(x)是從反對(duì)x的證據(jù)中導(dǎo)出的否定隸屬度的下界。tA(x)和dA(x)將區(qū)間［0，1］中的實(shí)數(shù)與U 中每個(gè)元素聯(lián)系起來(lái)，tA(x):U→［0，1］，dA(x):U→［0，1］，且 tA(x)+dA(x)≤1。

若論域U是連續(xù)的，Vague集A可表示為:

評(píng)價(jià)備選方案優(yōu)劣時(shí)首先判斷各方案的S1(Xi)評(píng)分函數(shù)值，S1(Xi)越大表示方案i越優(yōu);若S1(Xi)相同時(shí)，再判斷S2(Xi)評(píng)分函數(shù)值，S2(Xi)越大則方案越優(yōu)。

3.5 基于熵權(quán)和Vague集綜合決策實(shí)現(xiàn)步驟

本文所設(shè)計(jì)的多目標(biāo)決策方法實(shí)現(xiàn)步驟如下:

(1)采用連接法對(duì)非劣最優(yōu)解集進(jìn)行初步篩選;

(2)計(jì)算各指標(biāo)熵值，根據(jù)式(6)確定客觀權(quán)重向量;

(3)結(jié)合主觀權(quán)重向量，由式(7)計(jì)算綜合權(quán)重向量;

(4)根據(jù)相對(duì)優(yōu)屬度矩陣R確定正、負(fù)理想方案優(yōu)屬度向量R+，R－，進(jìn)而由式(13)計(jì)算方案集綜合 Vague 值矩陣 A=(［tij，1 －dij］)n×m;

(5)結(jié)合綜合權(quán)重向量 w=［w1，w2，…，wm］T，采用式(14)計(jì)算各備選方案相對(duì)理想方案的綜合Vague 值 Vi=［ti，1 － di］，i∈［1，n］;

(6)采用評(píng)分函數(shù)式(15)計(jì)算各備選方案的評(píng)分函數(shù)值S1(Xi)和S2(Xi)，對(duì)評(píng)分函數(shù)值進(jìn)行排序，進(jìn)而選出最優(yōu)方案。

4 仿真驗(yàn)證

4.1 飛控系統(tǒng)性能最優(yōu)解集

取飛機(jī)飛行狀態(tài)為h=10 km，v=236 m/s。采用NSGA-Ⅱ算法按照本文所設(shè)計(jì)的優(yōu)化步驟對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化模型式(3)進(jìn)行求解，從而驗(yàn)證本文所提出的Pareto集進(jìn)化多目標(biāo)算法優(yōu)化飛控參數(shù)方法的有效性。設(shè)種群規(guī)模為100，進(jìn)化50代，交叉概率為0.5，變異概率為0.1，目標(biāo)數(shù)為3，反復(fù)運(yùn)行20次，可得到飛控系統(tǒng)性能最優(yōu)解集的分布趨勢(shì)如圖2所示。

圖2 Pareto最優(yōu)解集分布

由圖可見(jiàn)，通過(guò)多目標(biāo)算法可以得到一組各指標(biāo)基本上都滿足國(guó)軍標(biāo)要求的解集，并且所得到的解集在各目標(biāo)函數(shù)都有偏重，可以根據(jù)實(shí)際的工程需要對(duì)其進(jìn)行選取。

4.2 飛控系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)選的綜合決策分析

為了分析本文設(shè)計(jì)的多目標(biāo)決策方法選取最優(yōu)飛控參數(shù)的有效性及實(shí)用性，按本文所設(shè)計(jì)的多目標(biāo)決策步驟從該解集中選取最終滿意解。分別設(shè)定調(diào)節(jié)時(shí)間上限、超調(diào)量和上升時(shí)間的上限為3 s，0.05 s和1 s，初選得到的10個(gè)備選方案如表1所示。

因?yàn)轱w控系統(tǒng)要求快速、準(zhǔn)確和穩(wěn)定，所以按照成本型指標(biāo)對(duì)備選方案集構(gòu)成的決策矩陣進(jìn)行歸一化處理，得到相對(duì)優(yōu)屬度矩陣R。根據(jù)熵權(quán)法計(jì)算的客觀權(quán)重向量為:

俯仰姿態(tài)保持作為高度保持和速度保持模態(tài)的控制內(nèi)回路，其響應(yīng)性能非常重要，要求俯仰控制回路具有較快的響應(yīng)速度。所以給定主觀權(quán)重ws=［0.4，0.2，0.4］T。兩種權(quán)重的比重設(shè)為 α =0.5，β=0.5，由式(7)計(jì)算的綜合權(quán)重為:

表1 備選方案

利用式(14)計(jì)算相對(duì)優(yōu)屬度矩陣R中每個(gè)指標(biāo)相對(duì)于理想方案的綜合Vague值矩陣A，結(jié)合綜合權(quán)重向量w計(jì)算各方案相對(duì)于理想方案的綜合Vague值，并采用評(píng)分函數(shù)式(15)對(duì)方案評(píng)分如表2所示。

表2 評(píng)分結(jié)果

由表中評(píng)分值可以得出方案6最優(yōu)，其對(duì)應(yīng)的最終滿意解dec1在解集中的位置如圖2所示，控制器參數(shù)為K1=19.7，K2=1.34，K3=2.65。對(duì)應(yīng)的俯仰角響應(yīng)曲線如圖3中實(shí)線所示。舵偏角限幅10°，其變化曲線如圖4所示(圖4(a)和圖4(b)均為升降舵偏角響應(yīng)曲線，它們分別為升降舵偏角在20 s和4 s內(nèi)的響應(yīng)曲線)。由圖3、圖4可以看出，俯仰角響應(yīng)速度很快，上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間短，舵偏角的變化平緩，趨勢(shì)穩(wěn)定，由此可見(jiàn)，按照本文優(yōu)化方法所得到的控制器參數(shù)，能使飛控系統(tǒng)很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)俯仰角的控制。

不同的飛行器性能指標(biāo)要求也不盡相同。假設(shè)改變對(duì)俯仰控制的性能指標(biāo)要求，期望該模態(tài)實(shí)現(xiàn)無(wú)超調(diào)控制，則調(diào)整主觀權(quán)重比 ws=［0.2，0.6，0.2］T，重復(fù)上述的決策步驟同樣可得出對(duì)應(yīng)的最終滿意解dec2，其在解集中的位置如圖2所示。對(duì)應(yīng)的俯仰角響應(yīng)曲線如圖3中的虛線所示，可以看出俯仰角響應(yīng)無(wú)超調(diào)且過(guò)渡平緩，符合決策者的意圖。

此外，由圖3還可以看出，所得到的最終滿意解dec1和dec2都滿足國(guó)軍標(biāo)對(duì)飛行品質(zhì)的要求，超調(diào)不大于5%，調(diào)節(jié)時(shí)間小于3 s，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。

圖4 舵偏角曲線圖

5 優(yōu)化方法實(shí)用性分析

由上述的仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，本文提出的飛控參數(shù)調(diào)節(jié)方法具有如下特點(diǎn):

(1)普適性。只需運(yùn)行一次就可搜索到一個(gè)多樣性較好的Pareto最優(yōu)解集，解決了現(xiàn)有飛控調(diào)參方法難以適應(yīng)飛機(jī)模型隨飛行狀態(tài)改變的問(wèn)題。當(dāng)飛控系統(tǒng)控制對(duì)象改變時(shí)，不需改變就可以得到符合飛控系統(tǒng)要求的滿意解。

(2)靈活性。采用了熵權(quán)法確定客觀權(quán)重，并將客觀權(quán)重與主觀權(quán)重按一定比重綜合，不僅可以充分利用決策者的經(jīng)驗(yàn)，而且當(dāng)決策者對(duì)需要決策的信息把握不準(zhǔn)時(shí)，可增大熵權(quán)法中客觀權(quán)重的比重β，利用熵權(quán)法所提取的備選方案集的內(nèi)部信息幫助決策者進(jìn)行決策。

(3)合理性。綜合考慮了Vegua集多目標(biāo)評(píng)價(jià)模型對(duì)解集中所有解的理想程度的評(píng)價(jià)，盡可能地避免了選取最終解的主觀隨意性。

在對(duì)全包線控制律參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)時(shí)，通?？梢赃x取最優(yōu)解集中的均衡最優(yōu)解作為最終解，即各個(gè)屬性的性能指標(biāo)主客觀權(quán)重比均設(shè)置為相同，然后采用本文的方法就可以得到全包線內(nèi)的各個(gè)性能指標(biāo)均滿足國(guó)軍標(biāo)要求的自動(dòng)飛控系統(tǒng)控制律參數(shù)。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文將Pareto集遺傳算法與多目標(biāo)決策方法應(yīng)用于飛控系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化中，避免了傳統(tǒng)方法需要設(shè)計(jì)總效用目標(biāo)函數(shù)的問(wèn)題。這種優(yōu)化方式可以針對(duì)多個(gè)飛控系統(tǒng)性能指標(biāo)得到一組具有較好多樣性的Pareto最優(yōu)解集，并且解集中的解基本上都能滿足國(guó)軍標(biāo)對(duì)飛控系統(tǒng)的要求。所采取的最終解的選取方法既能充分利用決策者的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，又能幫助決策者對(duì)把握不準(zhǔn)的信息進(jìn)行決策。仿真結(jié)果表明了該方法的有效性及適用性。目前，多目標(biāo)優(yōu)化與決策方法已經(jīng)在控制領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用，作為一類具有廣泛的實(shí)用性［12］和很強(qiáng)的魯棒性方法，其必將在更多領(lǐng)域得到成功的應(yīng)用。

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