單星導航HEO衛星初軌確定算法

李濤護 劉建勝 秦紅磊 李 銳

(北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京 100191)

單星導航HEO衛星初軌確定算法

李濤護 劉建勝 秦紅磊 李 銳

(北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京 100191)

HEO(Highly Elliptical Orbit)軌道衛星利用星載GPS(Global Positioning System)進行自主定軌面臨的主要難題之一就是解決在單顆導航衛星條件下的初軌確定問題.從理論上分析了利用單顆導航衛星的觀測量確定HEO衛星軌道初值的所需滿足的條件，指出了利用F.G級數法求解初值存在的問題，提出了一種基于軌道根數約束的迭代批處理算法，該算法無需復雜的數學運算，避免了F.G級數法用短弧資料定初軌時系數矩陣秩虧的影響.仿真結果表明，當先驗軌道根數誤差在允許范圍內取值時，在考慮軌道射入誤差的情況下，初值的位置偏差在104m量級，速度偏差在100m/s量級，能夠根據單顆導航衛星的短弧觀測值可靠地完成軌道初值的確定.

HEO;初軌確定;自主定軌;GPS

自主定軌技術不僅能夠提高衛星的自主能力，還能夠減輕地面監控站的任務量，降低運行成本.當前，基于星載 GPS(Global Positioning System)的自主定軌系統已在低軌道衛星上得到了廣泛應用，這在很大程度上歸功于GPS為低軌道衛星提供了連續跟蹤和多方位的觀測幾何.但對于大橢圓軌道(HEO，Highly Elliptical Orbits)衛星，由于其軌道高度往往高于GPS衛星，星載GPS接收機只能接收來自地球另一側的導航信號，導致能夠觀測的導航衛星數目較少甚至是沒有，此時將面臨觀測數據缺失的情況［1－2］.在高性能時鐘的支持下，若采用動力學方程和測量方程結合的定軌方法，并利用高精度軌道模型作為狀態方程，則仍可以對HEO衛星進行自主定軌［3］.

衛星軌道確定的過程實際上是通過求解軌道方程而對軌道初值不斷改進的過程.若軌道初值偏差較大，則定軌濾波器可能會發散或者收斂到錯誤的狀態.卡爾曼濾波需要軌道狀態初值來啟動遞推算法，而偏差較小的初值可以提高濾波器的收斂速度，減少迭代次數，提高定軌性能.

由于受軌道類型、測站數目和觀測資料等多種因素的影響，初軌計算有多種方法.比較有影響的方法有 Laplace方法、gauss方法、幾何法［4］等.Laplace法和gauss法一般更適用于測角、測角+測距和點位資料［5］，不適用于星載GPS定軌.幾何法適用于星載GPS產生的偽距+偽距變化率觀測資料，但要求能接收4顆以上衛星，難以適用于可見導航衛星較少的環境.文獻［6］研究了以兩顆GPS衛星的觀測量求解初值的過程，其具體方法為通過F.G級數法求解線性方程組，這種方法在觀測量較少時易出現系數矩陣秩虧現象，而觀測量較多時則計算量顯著增大，同時兩顆導航衛星的觀測量也約束了在大橢圓軌道的應用.而在HEO衛星自主定軌系統中，大部分軌道區間上可見的導航星數目較少甚至沒有，因此需要能夠利用較少數目衛星的觀測數據完成軌道初值的確定，現有的軌道初軌確定算法難以適應這種場景.在這種背景下，本文先從理論上分析了用單顆導航衛星的觀測量進行初值確定的所需滿足的條件，指出了F.G級數法存在的問題，然后提出了一種根據單顆衛星觀測數據進行初值搜索的迭代批處理算法，無需復雜計算，適應較多觀測數據的情況，能夠很好地滿足工程要求.

1 單星觀測量初值確定分析

HEO衛星自主定軌采用的是動力學方程結合測量方程的定軌方法，以偽距和偽距變化率作為觀測量，采用EKF(External Kalman Filter)作為導航濾波器進行自主定軌，EKF的狀態量為ECI(Earth Centered Inertial)坐標系下的位置、速度以及鐘差和頻差共8個參數.定軌計算的基礎是2個方程:衛星運動方程和測量方程.

在ECI坐標系中，衛星相對于地心的運動方程為其中，r為衛星的位置矢量，表示攝動加速度，初軌計算即是通過觀測量確定r0和r·0的過程.

測量方程給出衛星之間、星地之間的對應幾何關系，如圖1所示，其中S表示HEO衛星，S1表示導航衛星.

圖1 測量方程幾何關系

容易看出，衛星之間滿足以下幾何關系:

其中，ρ為觀測量;R為導航衛星位置矢量.

在某一固定時刻，當只有一顆導航衛星時，根據觀測量(偽距+偽距變化率)能夠建立2個方程，但需要求解8個未知參數，觀測量是不夠的.但衛星軌道遵循的嚴格的動力學條件，即任意時刻的位置和速度都能夠用初始時刻的位置和速度表示，常見的表示方法有F.G級數法和數值積分法.下式給出了無攝運動時F.G級數法描述的任意時刻衛星狀態和初始狀態之間的關系，有攝運動的表達式詳見文獻［7］.將多于8個時刻的測量值對應的幾何關系引入后，結合式(3)，即可使方程個數多于未知變量的個數，使求解狀態初值成為可能.

其中，F，G 和 F'，G'分別表示 ri和對的冪級數展開式.

盡管方程數目容易滿足，但是對短弧測量數據，由于星間相對運動較平緩，相應的系數矩陣容易秩虧或接近秩虧狀態，此時難以確定該方程組是否可解.為了從理論上研究能否根據單顆GPS觀測量確定軌道初值的問題，可以建立自主定軌的非線性方程，然后通過分析該方程的可觀測性進行研究.將定軌問題描述為自治非線性系統:

式中，x∈Rn為系統狀態矢量;y為觀測量;f，h分別表示衛星動力學方程和測量方程.該非線性系統可觀測意味著在時間區間(0，t)內，系統輸出的觀測量能夠提供足夠的信息以確定系統的初始狀態，即求解出正確的初值，因此可將初值求解問題轉化為分析非線性系統的可觀測性問題.根據軌道動力學理論，衛星運動狀態并不完全在狀態空間Rn上取值，而是在Rn的某些開子集或流形(如球面、環面)上變化，這種情況下，可以把系統置于流形上進行分析，認為非線性系統的動態特性是由定義在流形上的向量場決定的，根據非線性系統微分幾何理論［8］，非線性方程可觀測的條件是觀測矩陣為滿秩矩陣.

定義觀測矩陣為

出于以上原因，本文基于批處理的思想，提出了一種迭代搜索算法，該算法無需復雜的運算，并可以用較短弧段的數據可靠地搜索出軌道初值，適于實際的應用.

2 迭代批處理算法

2.1 算法原理

由于攝動力的影響，在軌衛星實際運行軌道平面是隨時間變化的近似橢圓軌道，軌道根數不再是常數，但由于攝動力是微小量，除平近點角τp外，其它根數(a，e，i，Ω，ω)仍可近似為常量，故可以根據軌道根數的前5個元素建立一個預計軌道，對狀態量初值搜索的過程即轉化為在預計軌道上對平近點角的確定過程.當星載接收機完成對GPS衛星的捕獲和跟蹤后，即可通過導航電文獲取導航衛星的星歷，從而得到衛星的位置和速度，結合接收到的觀測值，即可對平近點角的真實位置進行搜索，當參與批處理的目標衛星時間序列與真實位置吻合或偏差較小時，觀測量殘差序列具有最小均方根值.

2.2 迭代搜索過程

在迭代搜索之前，首先要確定目標衛星進行批處理的數據序列時間間隔，一般數據序列的時間間隔與濾波器觀測值時間間隔相同，記作d.為了便于說明，設j表示目標衛星時間序列的索引，m表示搜索起始點位置的索引，k表示迭代次數的索引.詳細過程如下:

1)選擇搜索起點，根據Kepler軌道模型生成一個軌道周期的時間序列，記作SHEO，序列長度為M;

2)確定批處理序列的長度，即在SHEO中選擇一定長度的序列用于批處理計算，較長的數據序列能夠取得更高的性能，但運算量也隨之增大，故可在性能和計算能力兩方面折中，設用于批處理的序列長度為N;

3)當前迭代次數為 k，k=1，2，…;

4)從SHEO序列的起始點開始搜索，即m=1，m=1，2，…，M;

5)將軌道根數轉換成狀態量:

6)然后計算批處理時間序列中的所有點和各自對應時刻的導航衛星的狀態量之間的偽距估計值和偽距變化率估計值:

7)計算偽距估計值和偽距變化率估計值與真實觀測量之間的殘差序列:

8)計算差值序列的累加均方根值;

9)若m＜M，m=m+1，重復4)～8);

10)當m=M時，完成了一次迭代，將ρRMS和ρ·

3 仿真算例

下面以HEO衛星AMSAT OSCAR-40(AO-40)為例通過仿真算例說明算法的性能.AO40世界無線電愛好者衛星組織在2001年發射的HEO衛星，星上安裝了高性能GPS接收機用于星載自主定軌的實驗，其基本軌道參數為:軌道半長軸a=36286 km，軌道偏心率e=0.769 8;軌道傾角i=6.04°;軌道周期 T=19.1 h;近地點高度和遠地點高度分別為1000 km和58800 km.

3.1 仿真數據產生

由兩行式軌道數據格式(TLE，Two-Line orbital Element set format)文件得到目標衛星和GPS導航衛星的衛星初始星歷，指定時間間隔的真實星歷通過高精度軌道外推產生，考慮的攝動力模型為:30×30階的JGM-3重力場模型、日月三體攝動;相對論攝動;固體潮汐攝動(太陽和月亮);固定面值比太陽輻射壓攝動，采用RKF45積分濾波器.計算GPS與HEO衛星之間的距離值和偽距變化率值，并將此值加上噪聲后作為濾波器的觀測量.

軌道初值所在的軌道平面不考慮攝動力的影響，根據二體模型用衛星軌道的前5個軌道根數生成一個完整周期的軌道采樣點，軌道間隔與觀測數據接收間隔相同.

3.2 仿真參數設置

目標衛星軌道根數來自于TLE星歷文件，比較了在有無軌道射入誤差情況下的算法處理結果.軌道射入誤差設置為:

近地點高度附件誤差:1 km

遠地點高度附近誤差:100 km

軌道傾角誤差:1°

升交點赤經誤差:1°

仿真起始時刻設為UTC2003年7月17日15:44:24，測量值接收間隔為1 s，則單個HEO軌道周期的軌道點數為1147;觀測噪聲為高斯白噪聲，偽距和多普勒觀測值方差分別為100 m和1m.觀測數據起始點在遠地點、近地點與兩者之間各選擇一個，分別為811，237，400，以檢驗算法在目標衛星不同軌道弧段所能取得的精度.批處理數據長度分別為50，200，500min.

4 仿真結果分析

圖2給出了當觀測數據起始點為811時利用迭代批處理算法以不同的批處理長度對AO40衛星進行初始狀態量搜索得到的結果.橫坐標表示目標衛星一個完整軌道周期的數據序列索引，尖峰所對的索引表示測量值起始點對應的目標衛星真實坐標在整個軌道周期中的位置，縱坐標表示參加批處理的數據序列經過算法處理后得出的殘差累加均方根值.容易看出，數據長度較長的數據塊峰值更尖銳，因此能更準確地確定搜索的位置，但用短弧數據也能很容易地搜索出真實位置，且不影響精度.觀測數據起始點在其它位置時所得的圖相似.

圖2 不同長度數據算法處理結果

表1給出了不考慮射入誤差時采用迭代批處理算法因不同的迭代間隔內進行搜索的性能.表中結果主要反映出算法的3個特點:①迭代時間間隔越小，狀態量初始值與真實狀態量之間越接近;②在不考慮射入誤差的條件下，即軌道根數能比較準確地反應真實軌道，則所得的狀態量初始值與真實值之間差距較小，此時濾波器能夠較迅速收斂;③在目標衛星軌道的不同位置，所得的狀態量初始值與真實值差值不同，且表現為近地點偏差最大，遠地點偏差最小，其原因在于預計軌道和真實軌道在不同位置偏差量不同.

表2給出了在有射入誤差條件下算法的搜索性能.搜索結果也體現出了與表1結果相似的特點，但不同的是，由于軌道根數存在誤差，使得初始值與真實值之間的偏差較表1結果明顯增大，可見預計軌道的精度對搜索結果的誤差有著直接影響.當迭代間隔為0.01 s時，位置偏差量為104m量級，速度偏差量為米/秒量級，能夠滿足自主定軌濾波器的需求.

表1 無射入誤差時搜索狀態量初始值與真實狀態量的差值

表2 有射入誤差時搜索狀態量初始值與狀態量真實值的差值

5 結束語

基于星載GPS的HEO衛星自主定軌系統中，當可見衛星數目無法滿足幾何法求解條件時，導航濾波器的狀態量初始值難以確定.本文以只能接收到一顆導航衛星為研究背景，提出一種迭代批處理法軌道的初值估計.本算法將已知的軌道根數作為先驗信息，通過迭代查找對目標衛星在預計軌道的位置進行估計，能夠有效地獲取目標衛星的初值.需要指出，初值估計的準確度受限于預計軌道的精度，如果軌道根數能較準確地反映真實軌道的狀態，則預計軌道與真實軌道之間的偏差可以足夠小.通過仿真模型對算法性能進行了驗證，結果表明，在導航衛星數目不足的環境中，即使只能接收到單顆導航衛星，只要鮮艷軌道根數能夠滿足一定的精度范圍，迭代批處理法能夠有效地確定濾波器值，使導航濾波器滿足正常運行的條件，克服了傳統方法難以解決的難題.

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(編 輯:婁 嘉)

Preliminary orbit determination method of HEO satellite using a single navigation GPS satellite measurements

Li Taohu Liu Jiansheng Qin Honglei Li Rui

(School of Electronics and Information Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing100191，China)

The autonomous navigation of highly elliptical orbit(HEO)satellites using GPS needed to solve a key problem of the preliminary orbit determination under the condition of only one navigation satellite.The feasibility by using the pseudo-range

from a single navigation satellite was demonstrated，and the limitation of the F.Gmethod for preliminary orbit determination was figured out.An iterative batch method using orbit elements as constrains was proposed to determine the preliminary orbit.This algorithm did not have complex mathematic operation and could avoid the influence of ill-conditioned equation with short arc data by using F.Gmethod.The simulation results show that its positioning bias is about104m and velocity bias is approximate 100m/swith an acceptable orbit injection errors，and the proposed method using a single navigation satellite measurements could determine the HEO initial orbit credibly.

highly elliptical orbit;preliminary orbit determination;autonomous orbit determination;global positioning system

P 135

A

1001-5965(2012)06-0755-05

2011-04-02;網絡出版時間:2012-06-15 15:44

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120615.1544.039.htm l

國家973資助項目(2010CB731805);國家自然科學基金資助項目(60902055)

李濤護(1976－)，男，安徽宿州人，博士生，thlee100@126.com.