對Jahangir組合式矩估計器的改進

李大朋 姚 迪

(北京理工大學電子信息工程學院，北京 100081)

對Jahangir組合式矩估計器的改進

李大朋 姚 迪

(北京理工大學電子信息工程學院，北京 100081)

在M.Jahangir以常數為權的組合式矩估計器的基礎上，給出一種以函數為權的組合式矩估計器，稱為L-J估計器.其中，最優加權函數是根據U估計器與形狀參數的單調關系，通過數論網格最優化算法搜索解出.大量仿真實驗證實，在對K分布形狀參數v大范圍的參數估計中，L-J估計器在估計精度上，不但較Jahangir等提出的常數加權組合矩估計器的精度有顯著提高，而且可與MLE(Maximum Likelihood Estimator)相當.特別是由于MLE作為漸進無偏估計量，需要充分大的樣本長度才能達到最優，這就使得L-J估計器的估計精度可在樣本長度較小時優于MLE.此外，L-J估計器無需迭代運算，因而在計算效率上，顯著優于現有的ML估計器.

K分布;U估計器;組合式矩估計器;ML估計器

K分布雜波模型是目前應用較為成功的雷達遙感圖像統計模型之一，它能很好地描述高分辨雷達圖像的統計分布特性，在海雜波、地雜波描述以及其他領域都有著廣泛的應用.其參數估計一直是研究的熱點問題.研究表明［1］，對K分布形狀參數v的錯誤估計會引起CFAR(Constant False Alarm Rate)檢測性能嚴重下降.因此對K分布形狀參數v的正確估計，具有重要意義.

雖然理論上，最大似然估計(MLE，Maximum Likelihood Estimator)是K分布形狀參數v的最佳漸進無偏估計，其漸進分布是以真值為均值，方差為Crammer-Rao下界的正態分布.但是，迄今很難得到ML估計的閉型解，而通過數值方法，需要大量的迭代運算，計算量巨大［2－3］.為此，很多學者提出了不同的參數估計方法來替代ML估計.

文獻［4］提出了一種由U估計器與幅度對比算子估計器以常數為權組合而成的新型估計器.其性能較單一的矩估計器的性能有顯著提高，向MLE靠近了一步.

文獻［5］提出了另外一種以常數為權的由U，X估計器組合形成的新型的K分布形狀參數估計器，稱為M估計器.M估計器在小v值，即v在0～2的范圍內優于U，X等其他所有非組合型矩估計器，在0＜v＜2的范圍內其性能與Jahangir提出的估計器類似.文獻［6］提出了對M估計器的改進，擴大了M估計器的應用范圍.不過，改進的M估計器仍然屬于以常數為權的組合式K分布形狀參數估計器，其估計精度仍與Jahangir估計器相差不多.

本文給出以函數為權的組合式矩估計器，記為L-J估計器.實驗證實，L-J估計器對K分布形狀參數v估計的精度與效率，不但顯著優于上述以常數為權的組合式K分布形狀參數估計器，而且可達到接近或相當于MLE的精度;特別是在樣本長度較小、v較大時，L-J估計器的精度甚至在v的某些取值范圍內超過MLE的精度.此外，由于L-J估計器不必像ML估計器那樣進行大量的迭代運算，其在計算效率方面較MLE有著顯而易見的優勢.

1 K分布形狀參數v的矩估計器

1.1 K 分布

K分布的密度函數(PDF)為

其中，z≥0為信號強度;Kv－1是 v－1階第二類修正Bessel函數;v＞0為形狀參數;b=v/μ為尺度參數;μ為雜波均值.

1.2 U 估計器［2］

其中，ψ(0)是雙 gamma函數;γ是 Euler常數，γ=0.57721.

1.3 J 估計器［4］

2 L-J估計器

正如文獻［4］指出的，以常數為權進行兩個矩估計的這種組合，所得估計器的性能只能是次優而達不到最優.因此，為使組合式矩估計器達到最優而與MLE相當，提出以函數為權的組合式矩估計器，記為L-J估計器.

L-J估計器:

由于式(3)的函數是U關于v的單調遞增函數，即可推知U估計器的期望U與K分布形狀參數v互為反函數，具有單值、單調的一一對應關系.也就是說，U的變化可以完全反映v的變化.這就成為選取U做控制權函數α=α(U)變化的自變量的理論根據.

為確定α=α(U)的具體表達式，需建立兩個n(n∈Z+，n≥3)元數組 x和 y.由于在 n的取值范圍內求α=α(U)的基本原理是一樣的，故以下為便于說明和理解，僅以n=3的情況為例.

設有兩個三元數組:

利用matlab數學軟件中的pchip函數對x，y進行分段三次Hermite插值［7］，即可得到插值函數:

其中，A，B，C為U定義區間內待定的3個點，αA，αB，αC為 α的與 A，B，C三點對應的待定的3個值.

為確定 A，B，C 和 αA，αB，αC的具體數值而得到函數 α(U)=pchip(x，y，U)，先給出 Fuzzy 數學中Hamming距離的概念:對m∈N，為比較點集(s1，s2，…，sm)與點集(t1，t2，…，tm)“距離”的遠近，Fuzzy數學定義這兩個點集的Hamming距離:

由Fuzzy數學可知，d越小，兩個點集靠得越近.于是，尋求L-J估計器的最優估計的最優化問題就是通過Monte-Carlo實驗，尋求適當的A，B，C和 αA，αB，αC，使得點集(σvL_1，σvL_2，…，σvL_m)與點集(σvMLE_1，σvMLE_2，…，σvMLE_m)之間的 Hamming距離達到最小.其中，(σvL_1，σvL_2，…，σvL_m)及(σvMLE_1，σvMLE_2，…，σvMLE_m)分別為 L-J估計器、ML估計器，在v1，v2，…，vm共m個仿真點上得到的對 v的估計的標準差點集.則，A，B，C 和 αA，αB，αC這6項的具體值，就可以通過求Hamming距離d的最小值的6維最優化搜尋獲得.最優化搜索的方法有多種，例如遺傳算法、模擬退火法、粒子群算法等等.本文采用數論網格方法.運用數論網格(SNTO)方法進行最優搜索，最后結果如下:

即得分段三次Hermite插值函數:

為實際運用，將此matlab中的pchip函數表示成分段三次Hermite插值函數，得函數表達式:

其中

3 仿真實驗

文獻［2］提出的MLE，限于多種因素影響，即使樣本長度N=1000時，所得數據的標準差仍然很大，沒有達到理論最優值.文獻［2］中MLE與J，L-J估計器標準差的比較詳見表1(為便于比較，實驗條件保持與文獻［2］一致，均為:N=1000，Monte-Carlo實驗次數為1000).

表1 M LE，J，L-J估計器標準差情況比較

由表1可以看出，L-J估計器在上述情況下所得估計的標準差最小，估計精度優于該MLE.

文獻［8］采用期望最大(EM)迭代算法實現了另一種對K分布參數的ML估計.但正如文獻［9］指出的那樣，雖然其運算較二維平面搜索有所減小，但有關迭代運算仍需要相當大的數據量才能保證計算的精度，額外的計算量還是比較大.下面給出L-J估計器與文獻［8］中MLE及J估計器誤差情況的比較.

圖1給出在樣本長度N=750的情況下，L-J估計器與文獻［8］中MLE及Jahangir估計器的估計誤差比較.易見，即使樣本長度很大，L-J估計器與MLE的估計精度也很接近.

圖1 N=750時，MLE，L-J與 J估計器對形狀參數v估計的標準差比較

而由圖2可以看到，當樣本長度N=500時，L-J估計器與文獻［8］中MLE的估計精度更加相近，而且隨著v值增大其精度已在部分點上超過MLE.

圖3給出在樣本長度N=250時，L-J估計器與文獻［8］中MLE及其他估計器的估計誤差比較.不難看出，此時L-J估計器的估計精度總體上優于MLE.

圖2 N=500時，MLE，L-J與 J估計器對形狀參數v估計的標準差比較

圖3 N=250時，MLE，L-J與 J估計器對形狀參數v估計的標準差比較

由圖1～圖3的結果可見，隨著樣本長度的減小和v值增大，文獻［8］中MLE的估計精度越來越不如L-J估計器.其原因在于:

1)MLE是漸進的無偏估計.MLE要達到最優估計，是有條件的，要求樣本長度充分大.所以，MLE的估計精度會隨樣本長度減小而減小.

2)文獻［8］給出的EM算法，需要大量的迭代運算，且估計精度與初值關系很大.初值給偏，不但會造成迭代次數增加，同時也會造成估計誤差的增大.

為全面比較，圖4和圖5給出樣本長度N=250，經10000次Monte-Carlo仿真實驗，在小v值和大v值兩種情況下，L-J估計器與Jahangir提出的J估計器的標準差的比較.由圖可見，L-J估計器的精度在很寬的v值的范圍內，顯著優于J估計器.

圖4 N=250，v∈［0.1，2］時，L-J與 J估計器對v估計的標準差比較

圖5 N=250，v∈［2，10］時，L-J與 J估計器對v估計的標準差比較

4 結 束 語

為了對K分布形狀參數v盡可能準確的估計，國內外學者進行了大量研究，提出了多種估計器，例如近期成果［10－12］.迄今這些估計器大體可分為兩類:矩估計器和ML估計器.研究表明，這兩類估計器各有短長:矩估計器計算量小但精度低，而ML估計器精度高，是理論上的對N的最優估計，其缺點是:要求樣本長度N充分大，并且運算量較大.

文獻［4］提出了一種以常數為權的通過兩個矩估計器組合而成的新型估計器，性能優于單一的矩估計器.理論與實踐都證明，這種以常數為權的組合式矩估計器的性能只能是次優的，不可能達到最優.

本文提出L-J估計器，改變了組合式矩估計器只能以常數為權的現狀.L-J估計器是一種由U估計器和對比度算子估計器組合而成，以函數為權的組合式矩估計器.大量仿真實驗證實，L-J估計器在估計精度上不但顯著優于Jahangir提出的J估計器，而且在樣本長度較小時，其精度在v的某些范圍內甚至優于現有MLE;而從估計效率上看，L-J估計器無迭代過程，因而其估計效率明顯優于MLE.

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(編 輯:婁 嘉)

Improvement of Jahangir’s multiple moments estimator

Li Dapeng Yao Di

(School of Information and Electronics，Beijing Institute of Technology，Beijing 10081，China)

Based on M.Jahangir's multiple moments estimator using constant weight，a new estimator named L-Jestimatorwas proposed，which consists of multiple moments and uses function weight.The optimum weight function was obtained by the sequential algorithm for optimization according to the monotonic relationship of U-estimator and the shape parameter.A large number of simulation experiments show that the accuracy of L-Jestimator is not only higher than that of Jahangir'smultiple estimator using constant weight noticeably，but also it can stand comparison with that of maximum likelihood estimator(MLE).As an asymptotic unbiased estimation，MLE requires sufficient large number of samples to achieve the optimum performance，then it makes that the accuracy of L-Jestimator can be better than that of MLE in the case of fewer samples.Moreover，the efficiency of L-Jestimator is obviously higher than that of MLE，since there is no iteration to need.

K-distribution;U-estimator;multiplemoments estimator;maximum likelihood estimator

TN 911.23

A

1001-5965(2012)06-0788-05

2011-03-11;網絡出版時間:2012-06-15 15:43

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120615.1543.020.htm l

李大朋(1979 －)，男，黑龍江齊齊哈爾人，博士生，ddyao@bit.edu.cn.