隨機(jī)游動模型的歷史研究

聶淑媛，梁鐵旺

(1洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南洛陽471022;2河南科技大學(xué)林業(yè)職業(yè)學(xué)院，河南洛陽471022)

隨機(jī)游動模型的歷史研究

聶淑媛1，梁鐵旺2

(1洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南洛陽471022;2河南科技大學(xué)林業(yè)職業(yè)學(xué)院，河南洛陽471022)

以三個關(guān)鍵人物皮爾遜、巴夏里埃、肯德爾各自對隨機(jī)游動模型的發(fā)現(xiàn)和使用為主線，首次細(xì)致闡述了該模型的發(fā)展歷程及其應(yīng)用，這項(xiàng)研究是探討時間序列分析自回歸過程歷史發(fā)展的重要內(nèi)容之一.

隨機(jī)游動;醉漢模型;皮爾遜;巴夏里埃;肯德爾

時間序列模型中經(jīng)常可以見到一個非常特殊的自回歸過程yt=yt－1+ε，其中，yt只依賴于滯后一期的值yt－1，且yt對滯后值yt－1的系數(shù)正好等于1.對該模型的識別，與英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家尤爾(George Udny Yule，1871—1951)和沃克(Gilbert Thomas Walker，1868—1958)對于平穩(wěn)線性自回歸AR模型的創(chuàng)建是兩條完全不同的技術(shù)路線［1］，本文以原始文獻(xiàn)為依據(jù)，概述該模型的歷史發(fā)展及其應(yīng)用.

1 皮爾遜的首次命名

英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜(Karl Pearson，1857—1936)第一個把該模型命名為隨機(jī)游動模型(random walk model).有趣的是，皮爾遜在識別這一模型時，最初不是從純時間的角度出發(fā)，而是在利用統(tǒng)計(jì)性質(zhì)探索自然選擇和生物進(jìn)化的過程中，首先進(jìn)行了空間上的類比，比如，皮爾遜不僅探討物種聚集到可能棲息地的概率，而且具體研究當(dāng)把理想居住地簡化為一個點(diǎn)時，經(jīng)過n次隨機(jī)飛行后，有N個個體遠(yuǎn)離該中心的分布情況.為了精確地探尋物種隨機(jī)遷徙的數(shù)學(xué)模型，1905年皮爾遜在《自然》(Nature)雜志中公開求解隨機(jī)游動問題［2］:

如果一個醉漢醉得特別嚴(yán)重，完全喪失了方向感，且處于荒郊野外，若經(jīng)過一段時間之后再去尋找他，那么，在什么地方找到他的可能性最大呢?

可以用數(shù)學(xué)語言具體表述為:

某人從O點(diǎn)出發(fā)，沿直線走了1步，然后任意轉(zhuǎn)彎，并第二次沿直線走了1步，把這個過程重復(fù)進(jìn)行n次，現(xiàn)在探求經(jīng)過n步之后，他到O點(diǎn)的距離位于(r，r+δr)的概率.

皮爾遜收到了不同領(lǐng)域科學(xué)家的回答和疑問，如瑞利爵士(Lord Rayleigh，1842—1919)認(rèn)為，當(dāng)n很大時，這個問題可以與相同周期內(nèi)聲波振幅的問題類比，并計(jì)算出，醉漢到初始點(diǎn)的距離服從零均值正態(tài)分布，位于(r，r+δr)的概率為.

皮爾遜最后總結(jié)指出，由于醉漢已經(jīng)喪失了方向感，他第t步的位置可以視為第t－1步的位置再加上一個完全隨機(jī)的移動，因此，醉漢任意時刻的可能位置，即為一個隨機(jī)游動模型，最可能找到醉漢的地方是他的初始點(diǎn)附近，這就是時間序列分析歷史上很有趣的一個典故——隨機(jī)游動模型的誕生，也稱為醉漢模型.

當(dāng)然，皮爾遜的比喻與當(dāng)前的時間序列分析還是略有區(qū)別的:對皮爾遜而言，空間的取代與所走的步每次都是相等的，變化的只是角度;在現(xiàn)代自回歸過程中，時間間隔是相等的，每一方向上的距離是變化的.現(xiàn)代自回歸認(rèn)為，雖然隨機(jī)游動模型的均值相對穩(wěn)定，但其方差不穩(wěn)定，隨機(jī)游動屬于非平穩(wěn)過程，是非平穩(wěn)線性自回歸ARIMA(p，d，q)模型中最簡單的ARIMA(0，1，0)情形.

2 巴夏里埃在金融問題中的應(yīng)用

隨著皮爾遜對隨機(jī)游動模型的定義，有些經(jīng)濟(jì)學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家從極限擴(kuò)散過程、試驗(yàn)序貫分析、調(diào)查有限等待空間的隊(duì)列以及處理一個點(diǎn)或給定集合遞歸的首次通過時間等問題中也發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)游動.近幾十年來，財(cái)經(jīng)分析者開始利用隨機(jī)游動模型對股票、證券市場的價格變動進(jìn)行建模，這一歷史可以追溯到法國數(shù)學(xué)家巴夏里埃(Louis Jean-Baptiste Alphonse Bachelier，1870—1946).1900年，巴夏里埃在博士論文中［3］把以前分析賭博的方法應(yīng)用于研究股票、債券、期貨和期權(quán)，使用類似的擴(kuò)散模型進(jìn)行證券推測，率先使用統(tǒng)計(jì)方法分析金融收益率問題，力求搜尋一個能夠表達(dá)市場波動可能性的公式.為了確定某給定狀態(tài)下證券價格變化的數(shù)學(xué)期望，巴夏里埃探討了獨(dú)立增加的概念，并從本質(zhì)上把隨機(jī)游動看作隨機(jī)差分方程yt－yt－1=ε，價格變化、一階差分是隨機(jī)元素，價格從t－1變化到t時的期望值為0.強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，巴夏里埃最具有開拓性的貢獻(xiàn)在于他認(rèn)識到，隨機(jī)游動過程還是微觀粒子運(yùn)動形成的一個模型，屬于物理學(xué)上的布朗運(yùn)動(Brownian motion)［4］.

1934年，美國斯坦福大學(xué)(Stanford University)的統(tǒng)計(jì)學(xué)教授沃金(Holbrook Working，1895—1985)進(jìn)一步指出［5］，正如同巴夏里埃所分析的，金融資產(chǎn)的價格序列，尤其是股票價格，有與“隨機(jī)—差分序列”類似的特征:雖然序列不是隨機(jī)的，但一階差分是隨機(jī)的，并創(chuàng)建標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)—差分序列圖表，以便于其它研究者檢驗(yàn)自己的商品或股票價格序列與該標(biāo)準(zhǔn)相似的程度，這也可以看作是隨機(jī)游動模型的一個應(yīng)用.

3 肯德爾的獨(dú)立發(fā)現(xiàn)

隨機(jī)游動模型歷史上的另一個關(guān)鍵人物是肯德爾(Maurice George Kendall，1907—1983).1953年，肯德爾在分析1883—1934年每周小麥價格的一階差分時，也驚奇地發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)游動.盡管他的研究要稍微晚了一些，但他既不熟悉巴夏里埃的工作，也不了解隨機(jī)游動這一術(shù)語，而是通過市場獲得了隨機(jī)游動的思想.

肯德爾指出［6］:如果序列是均勻的，從這一周到下一周價格的變化實(shí)際上獨(dú)立于從下一周到后一周的變化.從而表明，根據(jù)序列本身根本不可能預(yù)測從這一周到另一周的價格;如果序列實(shí)際上是游蕩的，則從中可以觀察到的趨勢或循環(huán)等任何系統(tǒng)特征都是假象，需要在目前的價格中增加隨機(jī)變量，以便于確定下一周的價格.對兩類序列的方差進(jìn)行比較，顯示了變異性的增強(qiáng)，從分析的觀點(diǎn)來看，序列不平穩(wěn)，這是一件比較麻煩的事情，對于這種均值為常數(shù)、方差似乎在增加的時間序列來說，隨機(jī)游動可以作為這類模型的最佳描述.

綜上所述，根據(jù)隨機(jī)游動模型可以知道，基于過去的表現(xiàn)，無法預(yù)測將來的發(fā)展步驟和方向，把這一術(shù)語放在金融市場上，則意味著股票價格的短期走勢無法預(yù)知，意味著所有的投資咨詢、收益預(yù)測和復(fù)雜的圖表模型都沒有太大的實(shí)際意義.因此，并非所有的經(jīng)濟(jì)學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家都滿意于這種模型.目前，隨機(jī)游動模型把有效市場理論(efficient market theory)的核心思想與布朗運(yùn)動聯(lián)系起來，由此形成了一整套的隨機(jī)數(shù)學(xué)方法，成為構(gòu)建數(shù)理金融學(xué)(mathematical finance)的基石，在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.

［1］聶淑媛.尤爾建立時間序列線性自回歸AR(P)模型的歷史過程探析［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2011，327(3):4－7.

［2］Pearson K.The Problem of the Random Walk［J］.Nature，1905，72:294－342.

［3］Bachelier L.Theory of Speculation［M］//Paul H.Cootner.In the Random Character of Stock Market Prices.Cambridge:MA:MIT Press，1964.1－78.

［4］楊靜，徐傳勝，王朝旺.試析巴夏里埃的《投機(jī)理論》對數(shù)學(xué)的影響［J］.自然科學(xué)史研究，2008，27(1):94－104.

［5］Klein J.L.Statistical Visions in Time:A History of Time Series Analysis，1662—1938［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1997.270－274.

［6］Kendall M.G.The Analysis of Economic Time Series-Part 1:Prices［J］.Journal of the Royal Statistical Society，Series A，1953，116(1):11－34.

A Historical Study about Random Walk Model

NIE Shu-yuan1，LIANG Tie-wang2
(1 Department of Mathematics，Luoyang Normal University，Luoyang 471022，China;2 Forestry Vocational College，Henan University of Science and Technology，Luoyang 471002，China)

The paper tells the development process and its application of random walk model in detail，which regards the independent works of three key statisticians as the main clue，from Pearson to Bachelier to Kendall.The study is one of the most important contents of exploring the historical development of the auto regression process in time series analysis.

random walk;drunkard model;Pearson K.;Bachelier L.;Kendall M.G.

N09

A

1009—5128(2012)06—0019—03

2012—02—21

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11001217)

聶淑媛(1974—)，女，河南臺前人，西北大學(xué)博士研究生，洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院高級講師.研究方向:時間序列分析.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】