地理教學中的數學推理與動態模擬應用
——以中心地理論為例

南京師范大學地理科學學院（210023） 俞肇元 柯文前 王 晗

東北師范大學城市與環境科學學院（130024） 陳 偉

地理教學中的數學推理與動態模擬應用
——以中心地理論為例

南京師范大學地理科學學院（210023） 俞肇元 柯文前 王 晗

東北師范大學城市與環境科學學院（130024） 陳 偉

克里斯塔勒以德國南部城鎮聚落分布為例建立的中心地理論，采用數學推理與動態模擬的方法揭示出的抽象思維與邏輯思維，是進行素質教育與提升學生科學素養的理想素材。本文通過從中心地空間結構的形狀，中心地體系結構的推理過程與中心地理論地位判別三個方面以直觀的方式再現中心地等級體系空間結構的演化生成過程，對于地理課堂上有效提升學生的抽象思維與邏輯推理能力、培養學生綜合素質提供了基于數學推理和動態模擬的一種實現途徑。

地理教學；中心地理論；數學推理；動態模擬

一、引言

克里斯塔勒提出的中心地理論是人文地理學的理論基石，其通過精辟的數學抽象、嚴密的邏輯推理給出了在市場、交通和行政原則驅動下中心地等級體系的形成、體系結構及分布規律，為現代地理學的發展，尤其是城市地理學和經濟地理學的發展提供了可擴展的結構性框架。中心地理論很好的體現了地理學研究中抽象性與實用性、科學性與藝術性、宏觀性與多尺度特性的統一，是進行素質教育的理想素材，也是提升學生科學素養，加強學生邏輯思維與獨立解決問題能力的經典案例。

中心地理論的提出建立在精密的數學抽象和嚴密的數學推導的基礎之上，這與大多數傳統的人文地理學理論多通過歸納、總結的方式獲得存在明顯的不同。這種數學推理與動態模擬方法的應用實際是演繹的邏輯思維方式，具有嚴謹有序的特征。如何在短暫的課堂教學中對中心地理論和核心內容進行清晰、準確的梳理，并通過深入淺出的、直觀性的案例揭示出該理論體系建立過程中的精辟之處，讓學生可以感受到該理論在科學性和藝術性上的完美統一，是實現該課程內容教學的重要目標。本文結合作者對該理論的主要研究工作和教學實踐，嘗試在教學過程中引入數學推理和動態模擬的方法，直觀再現中心地理論的主要結論構建與形成過程。從而加深學生對相關內容的理解，強化學生的學習興趣，并有效提升學生的抽象思維與邏輯推理能力。

二、教學要點與難點

克里斯塔勒（以下簡稱克氏）提出的中心地理論以近乎完美的正三角形中心地分布、正六邊形市場區相互嵌套構成的中心地等級體系是現代人文地理學的理論基石，其主要思想是根據市場原則、交通原則或行政原則，中心地服務范圍由圓形逐漸向正六邊形演化，并最終形成符合仿生學原理的蜂窩狀構造的空間結構（圖1）。目前地理教學對于中心地理論概念介紹居多。不同層次中心地形成的最終結構以及不同原則對中心地體系結構形成的驅動和影響是教學的難點所在，也是培養地理學思維和邏輯思維的關鍵。在教學過程中，需要對如下教學難點進行分解突破：（1）中心地服務范圍演化的最終空間結構為什么是正六邊形結構？（2）不同原則驅動下的中心地結構為什么存在不同，不同的原則驅動對最終的中心地結構的影響是怎樣的？（3）為什么中心地理論是人文地理學的理論基石？

圖1 蜂窩狀的正六邊形中心地等級體系

三、教學過程對于中心地理論的宏觀把握

1. 對中心地空間結構形狀的教學

中心地空間結構教學的入口點是不同等級中心地服務范圍的確定。在教學過程中，我們通過案例引入，同時結合課堂提問的方式，讓學生在感性認識的基礎上理解中心地正六邊形空間結構的由來。首先通過引入自然界中蜂巢、雪花形狀與龜背圖案的案例，向學生充分展示六邊形的特點；另外，通過圓形、正三角形、正方形與正六邊形的對比，理解正六邊形的優勢所在。然后在學生有一定感性認識后，從幾何學角度出發，講解正六邊形是除了正三角形、正方形外，其頂點到幾何中心等距的多邊形中，能夠完整（無重疊）覆蓋某一區域，且相比于其他所有多邊形，具有面積最大，周長最小的優勢。

同樣從幾何學視角出發，對不同等級的城市進行抽象成點后，引入服務區范圍的問題。通過課堂教學提問，引導學生思考中心地理論空間結構的核心是每一個城市服務區范圍動態競爭進而達到穩定平衡態的問題，進而將問題轉化為在給定的地點上如何最優化地對空間進行剖分是中心地理論的核心。空間上不同的點在利益最大化原則基礎上，不考慮與鄰近點的相互作用關系，將各自形成圓形的服務區范圍，然而在考慮要素流動的空間相互作用情況下，圓形服務區勢必產生相互影響與空間疊加，從而不同中心地服務范圍在空間布局上產生不優化的現象。在系統自組織性的條件下，根據威爾遜最大熵原理，為了使全局與個體達到效益最大化，尋求由圓形服務區向最優化的空間結構模式演變成為動態競爭結果的必然，而正六邊形結構不僅在空間上具有完好的無縫彌合性，同時又是一種高效的空間配置模式，因此成為中心地體系空間結構演化的最終選擇[1]。

2. 對中心地體系結構推理過程的教學

根據不同邊界條件與優化函數的設定，引入影響中心地結構的市場原則、交通原則與行政原則。在教學過程中可通過對不同原則形成的不同類型的六邊形結構進行可視化，讓學生對不同原則下的空間結構有直觀的感性認識。在此基礎上，通過引入空間模擬的方法，在不同原則的作用下，由于優化方向與目標不同，使得中心地空間結構演化路徑不同，從而導致空間優化下的布局位置、形式也發生相應的改變。如圖2所示，將通過展示不同原則下中心地等級的演化過程，讓學生理解不同路徑下的六邊形分布特征及對整個結構體系的影響。

圖2 基于三原則下中心地等級體系演化（1-4級）

如上圖（2-1），在K=3市場原則主導下，中心地最優化的空間布局為：次一級中心地分布于高一級中心地所組成的正六邊形的六個頂點上；在市場區域最優分配下，市場區的空間分布為：原有同一級中心地的服務區將由圓形逐步向六邊形過渡，并最終使每個中心地成為比自己高一級中心地所組成的六邊形的一個頂點，高一級中心地市場區域內包含著3個次一級中心地市場區域的多級六邊形空間模型，從而使得中心地系統達到空間均衡，且從區域內次級中心地開始，中心地的數量關系為：低級中心地為高一級中心地數量的3倍（1-2-6-18-54……）。

如上圖（2-2），在市場原則基礎上，疊加交通原則，在K=4交通原則主導下，中心地最優化的空間布局為：次一級中心地分布于正六邊形邊的中點，即如果同一級的中心地間鋪設一條交通線，則在這條交通線上將布局比它等級低的所有中心地，也就是說次一級中心地將布局在高一級中心地之間的交通線上，而非六邊形頂點上；交通原則下的市場區分布為：高一級中心地在自己的市場區域內包含3個次一級中心地的六邊形空間模型，且從區域內次級中心地開始，其中心地的數量關系為：低級中心地為高一級中心地數量的4倍（1-3-12-48-192……）。

如上圖（2-3），不同于市場原則與交通原則的經濟性原則的理性權威，K=7的行政原則具有國家的、至高無上的權力的權威性[2]。該原則下的中心地強調低級中心地應全部從屬于一個高級中心地，即中心地的分布為：最優化的空間布局為次一級中心地全部位于正六邊形的區域內；市場區的空間分布為：這樣形成的中心地系統將使得高一級中心地的市場區域大致包含7個次一級中心地的市場區，進而形成高一級中心地的市場區域內同時擁有6個次一級中心地的六邊形空間模型，且從區域內次級中心地開始，中心地的數量關系為：低級中心地為高一級中心地數量的7倍（1-6-42-294-2058……）。

3. 對中心地理論地位判別的教學

通過引入數學推理與動態模擬的方法，本文基本完成了中心地等級體系建構過程的再現，讓學生在認知基礎上把握了該理論的重點，并從中學習到了演繹邏輯思維方式對于地理學研究的重要性。但教學進行到這一步并沒有全部完成，因為對于一個較為完善且重要的理論而言，抽象思維的鍛煉、綜合概括與總結能力對于學生能否完全吸收、消化才是至關重要的。因此，讓學生明白中心地理論在人文地理學中所占的地位是必不可少的步驟，即為何中心地理論可以成為人文地理學的理論基石[3]。

首先，通過分解中心地理論分析過程的特點，讓學生逐漸明白中心地理論是對不同類型空間結構理論的全面概括。遵循“現象發現-理論提煉-實踐檢驗”的思路，克氏將通過眾多假設構建不同原則的中心地體系，通過德國南部的城鎮進行實踐檢驗，并在此基礎上進行模型的修正，從而使其由靜態分析向動態演化模擬，首次將非生產性服務業納入人類經濟地理活動的理論分析框架，進而構建了中心地理論。該理論充分吸收了杜能農業區位論、韋伯工業區位論關于生產環節中區位論對不同城鎮節點、工業節點空間布局的優點，在此基礎上將商業地理中關于商品與服務的非生產性環節引入空間布局。可以說，他所構建的中心地等級體系的理論是對不同類型的空間結構理論的全面概括，具有綜合性特征。

其次，教學過程中讓學生明白嚴密的抽象思維與邏輯思維對于升華理論并經得起檢驗的重要性。克氏在分析過程中通過嚴謹的數學推導構建理論模型的方法論影響著一代又一代的地理學者，他也因此被稱為“理論地理學之父”。實際上，這是一種數學抽象與邏輯推理整合運用的演繹方式，通過將不同等級的城鎮節點抽象成點要素，將空間聯系的交通線抽象為線要素，在不同影響條件下運用數學推理方式對基于三原則的中心地等級體系進行由靜態向動態的演化過程分析，從而將中心地服務區由圓形向正六邊形的生成過程模擬出來并衍生出不同類型的中心地結構，使得中心地等級體系以其嚴密的數學推導與完美的數學圖形被公認為人文地理學尤其是城市地理學的理論基礎。

四、結語

由克里斯塔勒1933年完成的中心地理論引發對于教學的思考，可以說收獲是巨大的。一方面，本文通過數學推理與動態模擬思維方式再現了中心地空間結構體系的生成演化過程，讓學生對于該理論有更直觀的感性認識；另一方面，本文的主體部分從中心地空間結構的形狀入手，兼顧中心地體系結構的推理過程與中心地理論地位判別三個方面，由淺入深，循序漸進，符合教學過程中學生對于知識的接受程度，具有較好的可行性與啟發性。最后，克氏在構建理論體系過程中所映射出的抽象與邏輯思維的演繹推理方式，對于學生綜合素質的培養具有深遠意義。

[1] [德]沃爾特.克里斯塔勒(著),常正文,王興中等(譯).德國南部中心地原理.北京:商務印書館,1990.

[2] 李小建.經濟地理學(第二版).北京：高等教育出版社,2006.

[3] 陸玉麒,袁林旺,鐘業喜.中心地等級體系的演化模型[J].中國科學:地球科學,2011,41(8):1160-1171.

（責任編校：顧錦玉）