三角形、四邊形和圓的性質與變換

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1. 三角形的任意兩邊________大于第三邊.

2. 三角形三個內角的和為______度；三角形的一個外角等于_________的兩個內角的和.

3. 三角形的中線、高線、角平分線都是__________________（填“線段、射線、直線”）. ______________叫三角形的中位線. 中位線的性質：______________________.

4. 三角形的內心是______________________，外心是_______________________.

5. 全等三角形的_________、_________分別相等；全等三角形的對應線段（角平分線、中線、高）相等，周長相等，面積相等.

三角形全等的判定有_______________，直角三角形全等的判定有_______________.

6. 有_______相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形的兩個底角_________；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高_________，簡稱“三線合一”；等腰（非等邊）三角形是軸對稱圖形，它有_________條對稱軸.

7. 等邊三角形的內角都___________，且等于60°；等邊三角形是______對稱圖形，它有_________條對稱軸. 三邊都_______的三角形是等邊三角形；三個角______的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的_________是等邊三角形.

8. 直角三角形中兩銳角之和等于_________，直角三角形斜邊上的_________等于斜邊的______，直角三角形中30°角所對的邊等于_______的一半.

直角三角形中兩直角邊的平方和等于_________，這個結論稱為________定理.

若一個三角形中有兩邊的平方和等于_________，那么這個三角形是直角三角形.

9. 兩角對應_________的兩個三角形相似；兩邊對應成比例且______相等的兩個三角形相似；三邊________的兩個三角形相似.

兩個三角形相似，則對應角________，對應邊________成比例，都等于相似比，周長之比等于________，面積之比等于________.

10. n邊形的內角和等于________，n邊形的外角和等于________.

11. 平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關知識：

兩組對邊分別________的四邊形是平行四邊形，有一個角是________的平行四邊形是矩形，有一組________的平行四邊形是菱形，有一個角是________、有一組________的平行四邊形是正方形.

四邊形所具有的性質，請在對應空格內打√.

判定

12. 等腰梯形的有關知識

一組對邊平行，另一組對邊_________的四邊形叫做等腰梯形.

等腰梯形的性質有__________________________________________________________.

13. 四邊形面積的計算

（1） 四邊形的面積可通過連接對角線或延長適當的邊轉化為若干個三角形的面積的和或差.

（2） 平行四邊形的面積：S=________（a是一邊的長，h是這邊上的高）；菱形的面積等于兩條對角線乘積的________.

14. 用完全相同的任意三角形或任意四邊形可以實現平面鑲嵌，此外用同一種正六邊形也可以實現平面鑲嵌. 用一種、兩種或兩種以上的正多邊形實現鑲嵌需滿足：①鑲嵌的正多邊形的邊長相等；②頂點重合；③一個頂點處的各角之和為360°.

15. 圓的有關知識

（1） 圓上各點到圓心的距離都等于________.

（2） 圓是________對稱圖形，任何一條直徑所在的________都是它的________；圓又是________對稱圖形，________是它的對稱中心.

（3） 垂直于弦的直徑平分________，并且平分________；平分弦（不是直徑）的________垂直于弦，并且平分________.

（4） 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個圓周角中有一組量________，那么它們所對應的其余各組量都分別________.

（5） 同弧或等弧所對的圓周角________，都等于它所對的圓心角的________.

（6） 直徑所對的圓周角是________，90°的圓周角所對的弦是________.

（7） 設點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則點在圓內?圳d_____r，點在圓上?圳d_____r，點在圓外?圳d_____r.

（8） 設圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則直線與圓相交?圳d_____r，直線與圓相切?圳d_____r，直線與圓相離?圳d_____r.

（9） 設兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R、r（R≥r），則兩圓內含?圳_____，兩圓內切?圳_____，兩圓相交?圳_____，兩圓外切?圳_____，兩圓外離?圳_____.

（10） 經過半徑的外端，并且與這條半徑_____的直線是圓的切線.

（11） n°的圓心角所對的弧長為_____； n°的圓心角所在的扇形面積S=______________=________________.

（12） 圓錐的側面積S=πrl. 其中r為_____的半徑，l為_____的長.

16. 平移、旋轉、翻折都不改變圖形的_____. 圖形的平移由移動的________和________所決定. 圖形的旋轉由________、________和________所決定.

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例1 （2011江蘇鎮江）如圖1，在△ABC中，D為BC上的一點，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求證：AB=AC.

解析：欲證AB=AC，須證∠B=∠C. ∵ AD平分∠EDC，∴ ∠ADE

=∠ADC. ∵ DE=DC，∴ △AED≌△ACD. ∴ ∠C=∠E. ∵ ∠E=∠B，

∴ ∠C=∠B. ∴ AB=AC.

例2 （2011湖南懷化）如圖2所示，∠A、∠1、∠2的大小關系是

（ ）

A. ∠A＞∠1＞∠2B. ∠2＞∠1＞∠A

C. ∠A＞∠2＞∠1D. ∠2＞∠A＞∠1

解析：∵ ∠1是△ACD的外角，∴ ∠1＞∠A，∵ ∠2是△CDE的外角，∴ ∠2＞∠1，∴ ∠2＞∠1＞∠A. 故選B.

點評：本題考查的是三角形外角的性質，即三角形的外角大于與之不相鄰的任何一個內角.

例3 （2011遼寧大連）如圖3，等腰直角三角形ABC的直角邊AB的長為6 cm，將△ABC繞點A逆時針旋轉15°后得到△AB′C′，則圖中陰影部分面積等于_________ cm2.

解析：設AC與B′C′交于點D，∵ ∠B′AD=∠B′AC′-∠DAC′=45°

-15°=30°，∴ B′D=AB′tan30°=6×■=2■，S△AB′D=■×6×2■=6■.

點評：此題考查了旋轉的性質和解直角三角形的知識，找到圖中的特殊角∠B′AD是解題的關鍵.

例4 如圖4，四邊形ABCD是矩形，直線l垂直平分線段AC，垂足為O，直線l分別與線段AD、CB的延長線交于點E、F.

（1） △ABC與△FOA相似嗎？為什么？

（2） 試判定四邊形AFCE的形狀，并說明理由.

解析：（1） ∵ 直線l垂直平分線段AC，∴ FA=FC，∴ ∠AFO=∠CFO. ∵ ∠CFO+∠FCO

=∠CAB+∠FCO=90°，∴ ∠AFO=∠CAB. ∵ ∠AOF=∠CBA=90°，∴ △ABC∽△FOA.

（2） 易證△AOF≌△AOE，∴ FO=EO. ∵ OA=OC，∴ 四邊形AFCE是平行四邊形，又EF⊥AC，∴ 平行四邊形AFCE是菱形.

點評：本題考查了線段垂直平分線的性質、相似三角形的判定、矩形的性質、菱形的判定，綜合性較強，有一定的難度.

例5 （2011江蘇鹽城）（1） 將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖5所示.將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖6所示. 觀察圖6可知，與BC相等的線段是________，∠CAC′=________°.

（2） 如圖7，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論.

（3） 如圖8，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H. 若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數量關系，并說明理由.

解析：（1） 旋轉圖形是全等的，所以△ABC≌△AC′D，得BC=AD，∠C′AD=∠ACB.

∴ ∠CAC′=180°-∠C′AD-∠CAB=90°.

（2） 如圖7，∵ ∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，∴ ∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG

=∠FAQ，又∵ AF=AC，∴ △AFQ≌△CAG，∴ FQ=AG. 同理EP=AG. ∴ FQ=EP.

（3） 如圖8，分別作EP⊥AG，FQ⊥AG，易證△CAG∽△AFQ，∴ ■=■=k.

同理得■=■=k，∴ FQ=EP，易證△EHP≌△FHQ，∴ HE=HF.

例6 （2011江蘇常州）如圖9，圖形①滿足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°. 圖形②與圖形①恰好拼成一個菱形（如圖10）. 記AB的長度為a，BM的長度為b，則

（1） 圖形①中∠B=________°，圖形②中∠E=________°；

（2） 小明有兩種紙片各若干張. 其中一種紙片的形狀及大小與圖形①相同，這種紙片稱為“風箏一號”；另一種紙片的形狀及大小與圖形②相同，這種紙片稱為“飛鏢一號”. 小明僅用“風箏一號”紙片拼成一個邊長為b的正十邊形，需要這種紙片多少張？小明若用若干張“風箏一號”紙片和“飛鏢一號”紙片拼成一個“大風箏”（如圖11），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ. 請你在圖11中畫出拼接線并保留畫圖痕跡. （本題中均為無重疊、無縫隙拼接）

解析：（1） 如圖12所示，連接AM，∵ AD=AB，DM=BM，AM為公共邊，∴ △ADM≌△ABM，∴ ∠D=∠B. 又∵ 四邊形ABMD的內角和等于360°，∠DAB=72°，∠DMB=144°，∴ ∠B=■=72°. 在圖10中，∵ 四邊形ABCD為菱形，AB∥CD，∴ ∠A+∠ADC=∠A+∠ADM+∠CEF=180°，∠A=72°，∠ADM=72°，∴ ∠CEF=180°-72°-72°=36°.

（2） 用“風箏一號”紙片拼成一個邊長為b的正十邊形，得到“風箏一號”紙片的點A與正十邊形的中心重合，又∠A=72°，則需要這種紙片的數量=■=5.

（3） 以P為圓心，a長為半徑畫弧，與PI和PJ分別交于兩點，然后以兩交點為圓心，以b長為半徑在角IPJ的內部畫弧，兩弧交于一點，連接這點與點Q，可知：“風箏一號”紙片用兩張和“飛鏢一號”紙片用一張，拼接線如圖13所示.

答案：（1） 72°；36°；（2） 5.

點評：此題要求學生掌握菱形的性質，會靈活運用兩三角形的全等得到對應的角相等，掌握密鋪地面的訣竅，還鍛煉學生的動手操作能力，培養學生的發散思維，是一道中等難度的題目.

例7 （2011江蘇鹽城）如圖14，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一點O為圓心、OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F.

（1） 若AC=6，AB=10，求⊙O的半徑；

（2） 連接OE、ED、DF、EF. 若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由.

解析：（1） 連接OD，設⊙O的半徑為r.

∵ BC切⊙O于點D，∴ OD⊥BC.

∵ ∠C=90°，∴ OD∥AC，∴ △OBD∽△ABC.

∴ ■=■，即■=■. 解得r=■，∴ ⊙O的半徑為■.

（2） 如圖15，∵ 四邊形BDEF是平行四邊形，∴ ∠DEF=∠B.

∵ ∠DEF=■∠DOB，∴ ∠B=■∠DOB.

∵ ∠ODB=90°，∴ ∠DOB+∠B=90°，∴ ∠DOB=60°.

∵ DE∥AB，∴ ∠ODE=60°. ∵ OD=OE，∴ △ODE是等邊三角形，OD=DE.

∵ OD=OF，∴ DE=OF. ∴ 四邊形OFDE是平行四邊形.

∵ OE=OF，∴ 平行四邊形OFDE是菱形.

點評：此題考查了圓的切線、相似三角形、平行四邊形的性質和菱形的判定，求得∠DOB

=60°是解第（2）題的關鍵.

例8 （2011江蘇揚州）如圖16，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D.

（1） 以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2） 若（1）中的⊙O與AB邊的另一個交點為E，AB=6，BD=2■，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積（結果保留根號和π）.

解析：（1） 作圖如圖17所示（需保留線段AD中垂線的痕跡）.

直線BC與⊙O相切.

理由如下：連接OD，∵ OA=OD，∴ ∠OAD=∠ODA.

∵ AD平分∠BAC，∴ ∠OAD=∠DAC.

∴ ∠ODA=∠DAC. ∴ OD∥AC. ∴∠C=∠ODB.

∵ ∠C=90°，∴ ∠ODB=90°，即OD⊥BC.

又∵ 直線BC過半徑OD的外端，∴ BC為⊙O的切線.

（2） 設OA=OD=r，在Rt△BDO中，OD 2+BD 2=OB 2，∴ r 2+（2■）2=（6-r）2，解得r=2.

∵ tan∠BOD=■=■，∴ ∠BOD=60°. ∴ S扇形ODE=■=■π.

所求圖形面積為S△BOD-S扇形ODE=2■-■π.

點評：此題考查了尺規作圖、圓的切線的判定、勾股定理的運用、特殊角的三角函數、扇形面積的計算，證OD∥AC，∠BOD=60°是解題的關鍵.

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例1 （2011江蘇泰州）四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四組條件：① AB∥CD，AD∥BC；② AB=CD，AD=BC；③ AO=CO，BO=DO；④ AB∥CD，AD=BC. 其中一定能判斷這個四邊形是平行四邊形的條件共有（ ）

A. 1組B. 2組C. 3組D. 4組

錯解：選D.

錯因：上述解答錯誤的原因在于不熟悉平行四邊形的判定方法. 滿足條件④“一組對邊平行，另一組對邊相等”的四邊形還有可能是等腰梯形.

正解：C.

例2 如圖18，直線y=■x+■與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，圓心P的坐標為（1，0），⊙P與y軸相切于點O. 若將⊙P沿x軸向左移動，當⊙P與該直線相切時，點P的橫坐標是_____.

錯解：-1.

錯因：⊙P沿x軸向左移動，當⊙P與該直線相切時，圓心P可在點A的右側或左側.

正解：-1或-5.

例3 （2011江蘇南京）如圖19，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，P為BC的中點. 動點Q從點P出發，沿射線PC方向以2 cm/s的速度運動，以P為圓心、PQ長為半徑作圓. 設點Q運動的時間為t（s）.

（1） 當t=1.2時，判斷直線AB與⊙P的位置關系，并說明理由；

（2） 已知⊙O為△ABC的外接圓，若⊙P與⊙O相切，求t的值.

錯解：（2） t=1.

錯因：⊙P與⊙O內切時，5-2t=3或2t-5=3，此處漏了一解：t=4.

正解：（1） 直線AB與⊙P相切. 理由略.

（2） ∠ACB=90°，∴ AB為△ABC的外接圓的直徑，OB=■AB=5 cm.

連接OP，∵ P為BC的中點，∴ OP=■AC=3 cm.

∵ 點P在⊙O內部，∴ ⊙P與⊙O只能內切.

∵ 5-2t=3或2t-5=3，∴ t=1或4.

∴ ⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4.

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例1 （2011江蘇連云港）某課題研究小組就圖形面積問題進行專題研究，他們發現如下結論：

（1） 有一條邊對應相等的兩個三角形面積之比等于這條邊上的對應高之比；

（2） 有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；

……

現請你繼續對下面問題進行探究，探究過程可直接應用上述結論（S表示面積）.

問題1 如圖1，現有一塊三角形紙板ABC，P1、P2三等分邊AB，R1、R2三等分邊AC. 經探究知S四邊形P1P2R2R1=■S△ABC，請證明.

問題2 若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的紙板拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1、Q2三等分邊DC. 請探究S四邊形P1Q1Q2P2與S四邊形ABCD之間的數量關系.

問題3 如圖3，P1、P2、P3、P4五等分邊AB，Q1、Q2、Q3、Q4五等分邊DC. 若S四邊形ABCD=1，求S四邊形P2Q2Q3P3.

問題4 如圖4，P1、P2、P3四等分邊AB，Q1、Q2、Q3四等分邊DC，P1Q1、P2Q2、P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S1、S2、S3、S4. 請直接寫出含有S1、S2、S3、S4的一個等式.

分析：本題考查了三角形、四邊形的面積問題. 設計新穎，構思巧妙，解法靈活，可以直接應用題中所給的結論1、結論2解題，可以利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解，也可以利用三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個三角形的性質進行推理.

問題1 由結論（2），可知■=■=■，

同理可得■=■，■=■，∴ S四邊形P1R1R2P2=■S△ABC，即S四邊形P1R1R2P2=■S△ABC.

問題2 連接Q1R1，Q2R2，如圖2，由問題1的結論，可知S四邊形P1R1R2P2=■S△ABC，S四邊形Q1R1R2Q2

=■S△ACD，∴ S四邊形P1R1R2P2+S四邊形Q1R1R2Q2=■S四邊形ABCD.

由P1、P2三等分邊AB，R1、R2三等分邊AC，Q1、Q2三等分邊DC，可得P1R1 ∶ P2R2=Q2R2 ∶ Q1R1

=1 ∶ 2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1，

∴ ∠P1R1A=∠P2R2A， ∠Q1R1A=∠Q2R2A，

∴ ∠P1R1Q1=∠P2R2Q2，

由結論（2），可知S△P1R1Q1=S△P2R2Q2.

∴ S四邊形P1Q1Q2P2=S四邊形P1R1R2P2+S四邊形Q1R1R2Q2=■S四邊形ABCD .

問題3 設S四邊形P1Q1Q2P2=A，S四邊形P3Q3Q4P4=B，S四邊形P2Q2Q3P3=C.

由問題（2）的結論，可知A=■S四邊形ADQ3P3，B=■S四邊形P2Q2CB.

∴ A+B=■（S四邊形ABCD+C）=■（1+C）.

又∵ C=■（A+B+C），即C=■■（1+C）+C，整理得C=■，即S四邊形P2Q2Q3P3=■.

問題4 圖4中，由問題2的結論可知，2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，兩式相加得S1、S2、S3、S4的等量關系.

關系式為：S2+S3=S1+S4.

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一、 填空

1. （2011江蘇宿遷）如圖1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分線與∠BCD的平分線的交點E恰在AB上. 若AD=7 cm，BC=8 cm，則AB的長度是_______ cm.

2. （2011江蘇無錫）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若CD=5 cm，則EF=________ cm.

3. （2011江蘇無錫）如圖3，在△ABC中，AB=5 cm，AC=3 cm，BC的垂直平分線分別交AB、BC于D、E，則△ACD的周長為________ cm.

4. （2011江蘇宿遷）一個邊長為16 m的正方形展廳，準備用邊長分別為1 m和0.5 m的兩種正方形地板磚鋪設其地面. 鋪設的要求是，正中心一塊是邊長為1 m的大地板磚，然后從內到外一圈小地板磚、一圈大地板磚相間鑲嵌（如圖4所示），則鋪好整個展廳地面共需要邊長為1 m的大地板磚________塊.

5. （2011湖北黃岡）如圖5，矩形ABCD的對角線AC=10，BC=8，則圖中5個小矩形的周長之和為_______.

6. （2011湖北黃石）如圖6，△ABC內接于⊙O，若∠B=30°，AC

=■，則⊙O的直徑為_________.

7. （2011湖北黃岡）如圖7，在△ABC中E是BC上的一點，EC=2BE，點D是AC的中點，設△ABC、△ADF、△BEF的面積分別為S△ABC、S△ADF、

S△BEF，且S△ABC=12，則S△ADF-S△BEF=_________.

8. （2011江蘇蘇州）如圖8，已知點A的坐標為（■，3），AB⊥x軸，垂足為B，連接OA，反比例函數y=■（k＞0）的圖象與線段OA、AB分別交于點C、D. 若AB=3BD，以點C為圓心，CA的■倍的長為半徑作圓，則該圓與x軸的位置關系是_________（填“相離”“相切”或“相交”）.

二、 選擇題

9. （2011江蘇連云港）小華在電話中問小明：“已知一個三角形三邊長分別是4，9，12，如何求這個三角形的面積？”小明提示說：“可通過作最長邊上的高來求解. ”小華根據小明的提示作出的圖形正確的是（ ）

A. B. C. D.

10. 下列四個命題：

（1） 對角線互相垂直的平行四邊形是正方形.

（2） 對角線相等的梯形是等腰梯形.

（3） 過弦的中點的直線必經過圓心.

（4） 圓的切線垂直于經過切點的半徑.

其中正確的命題是（ ）

A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （1）（4）

11. （2011江蘇蘇州）如圖9，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點. 若EF=2，BC=5，CD=3，則tan∠C等于（ ）

A. ■B. ■C. ■D. ■

12. （2011遼寧大連）如圖10，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，則CF等于（ ）

A. ■B. 1C. ■D. 2

13. （2011湖北黃岡）如圖11，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO=CD，則∠PCA=（ ）

A. 30°B. 45°C. 60°D. 67.5°

三、 解答題

14. （2011江蘇南京）如圖12①，P為△ABC內一點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點. （1） 如圖12②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E. 試說明E是△ABC的自相似點；（2） 在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，如圖12③，利用尺規作出△ABC的自相似點P（寫出作法并保留作圖痕跡）；（3） 若△ABC的內心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數.

15. （2011江蘇蘇州）如圖13，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD.

（1） 弦長AB等于_______（結果保留根號）；

（2） 當∠D=20°時，求∠BOD的度數；

（3） 當AC的長度為多少時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似？請寫出解答過程.

16. （2011江蘇連云港）已知∠AOB=60°，半徑為3 cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動，與邊OA相切的切點記為點C.

（1） ⊙P移動到與邊OB相切時（如圖14），切點為D，求劣弧■的長；

（2） ⊙P移動到與邊OB相交于點E、F，若EF=4 cm，求OC的長.

17. （2011江蘇無錫）如圖15，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3），動點P從O點出發，以每秒3個單位的速度，沿△OAB的邊0A、AB、BO作勻速運動；動直線l從AB位置出發，以每秒1個單位的速度向x軸負方向作勻速平移運動. 若它們同時出發，運動的時間為t秒，當點P運動到O時，它們都停止運動.

（1） 當P在線段OA上運動時，求直線l與以P為圓心、1為半徑的圓相交時t的取值范圍；

（2） 當P在線段AB上運動時，設直線l分別與OA、OB交于C、D，試問：四邊形CPBD是否可能為菱形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由，并說明如何改變直線l的出發時間，使得四邊形CPBD會是菱形.

■

一、 1. 15. 2. 5. 3. 8. 4. 181. 5. 28. 6. 2■. 7. 2. 8. 相交.

二、 9. C. 10. C. 11. BF. 12. C. 13. D.

三、 14. 解：（1） 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中線，∴ CD=■AB，∴ CD=BD，∴ ∠BCE=∠ABC. ∵ BE⊥CD，∴ ∠BEC=90°，∴ ∠BEC=∠ACB. ∴ △BCE∽△ACB，∴ E是△ABC的自相似點.

（2） 如圖所示，作法：①在∠ABC內，作∠CBD=∠A；②在∠ACB內，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，則P為△ABC的自相似點；

（3） ∵ P是△ABC的內心，∴ ∠PBC=■∠ABC，∠PCB=■∠ACB. ∵ ∠PBC=∠A，∠BCP

=∠ABC=2∠PBC=2∠A，

∠ACB=2∠BCP=4∠A，∴ ∠A

+2∠A+4∠A=180°，∴ ∠A

=■，∴ 該三角形三個內角

度數為■、■、■.

15. （1） 弦長AB等于2■，（2） 連接OA，易得∠BAD=50°，∴ ∠BOD=100°.

（3） 由題意得，要使△ACD與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，此時△DAC ∽△BOC. ∵ ∠BCO=90°，∴ OC⊥AB，∴ AC=■AB=■.

16. （1） 易得∠DPC=120°，∴ 劣弧■的長為：■=2π（cm）；

（2） 可分兩種情況，①如圖2，連接PE、PC，過點P作PM⊥EF于點M，延長CP交OB于點N，易得PM=1，PN=2，∴ NC=PN+PC=5，在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=■ cm. ②如圖3，連接PF、PC，PC交EF于點N，過點P作PM⊥EF于點M，易得NC=PC-PN=1，在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°

=■ cm.

綜上所述，OC的長為■ cm或■ cm.

17. （1） 設直線l與OA交于點C，當P在線段OA上運動時，OP=3t，AC=t，⊙P與直線l相交時，4-（3t+t）＜1，（3t+t）-4＜1，解得■＜t＜■；

（2） 四邊形CPBD不可能為菱形. 假設四邊形CPBD為菱形. 由題意得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t，∵ CD∥AB，∴ ■=■，即■=■，解得CD=■（4-t），由菱形的性質，得CD=PB，即■（4-t）

=7-3t，解得t=■，此時PC2=PA2+AC2=（3t-4）2+t2=■，又當四邊形CPBD為菱形時，PC=PB=7-3t，PC2=（7-3t）2=■，∵ ■≠■，∴ 四邊形CPBD不可能為菱形. 設直線l比P點遲a秒出發，則AC=t-a，OC=4-t+a，由CD∥AB，得CD=■（4-t+a），由CD=PB，得■（4-t+a）=7-3t，解得t=■，PC∥OB，PC=CD，得■=■，即AB·PC=OB·AP，3×■（4-t+a）=5×（3t-4），解得t=■，則■=■，解得a=■，即直線l比P點遲■秒出發.