與圓有關的位置問題

問題 如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，P為BC的中點.動點Q從點P出發，沿射線PC方向以2 cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓. 設點Q運動的時間為t（s）.

（1） 當t=1.2時，判斷直線AB與⊙P的位置關系，并說明理由；

（2） 已知⊙O為△ABC的外接圓，若⊙P與⊙O相切，求t的值.

命題意圖 本題是2011年南京市的一道中考試題，它著重考查了同學們對勾股定理、相似三角形條件和性質、切線判定方法以及兩個圓相切性質的掌握，同時還考查了分類討論、轉化與化歸、方程等數學思想方法.

解題指導 （1） 當t=1.2時，⊙P的半徑為2.4，要判斷直線AB與⊙P的位置關系，就需要比較圓心P到直線AB的距離與2.4的大小，因此，解決本題的關鍵在于根據條件求出圓心P到直線AB的距離；（2） 兩圓相切包括內切和外切兩種情況，顯然，⊙P與⊙O只能內切，則兩圓的圓心距等于它們的半徑之差.由于這兩個圓的半徑大小關系沒有給出，因此，需要分情況加以討論，進而建立方程解決問題.

解題過程 （1） 如圖2，過點P作PD⊥AB，垂足為D.

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，AB=■=10 cm.

∵ P為BC的中點，∴ PB=4 cm.

∵ ∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，∴ △PBD∽△ABC，

■=■，即■=■，求得 PD=2.4 cm.

當t=1.2時，PQ=2.4 cm，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，∴ 直線AB與⊙P相切.

（2） ∵ △ABC中∠ACB=90°，∴ AB為△ABC的外接圓的直徑，

OB=■AB=5 cm.

連接OP.∵ P為BC的中點，∴ OP=■AC=3 cm. ∵ 點P在⊙O內部，∴ ⊙P與⊙O只能內切.

由⊙O、⊙P半徑分別為5、2t，可得5-2t=3或2t-5=3，解得t=1或4. 所以，⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4.

追根溯源 本題是一道與圓的位置關系有關的試題，它融直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系于一體，它類似于義務教育課程標準實驗教科書蘇科版《數學》九年級上冊教材第136頁第7題與第141頁第2題.

第136頁第7題：如圖3，P是∠BAC的平分線上一點，PD⊥AC，垂足為D. AB與以P為圓心、PD為半徑的圓相切嗎？為什么？

第141頁第2題：如圖4，⊙O的半徑為4，C是⊙O外一點，OC=7.

（1） 以C為圓心作⊙C與⊙O外切，求小圓⊙C的半徑；

（2） 以C為圓心作⊙C與⊙O內切，求大圓⊙C的半徑.

變式拓展 1. 兩圓內切，其中一個圓的半徑為5，兩圓的圓心距為2，則另一個圓的半徑為__________.

2. 已知關于ｘ的一元二次方程x2-2（R+r）x+d2=0沒有實數根，其中R、r分別為⊙O1、⊙O2的半徑，d為兩圓的圓心距，則⊙O1與⊙O2的位置關系是（ ）

A. 外離B. 相交C. 外切D. 內切

3. 如圖5，梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切.

（1） 求證：OB⊥OC；

（2） 若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1與半圓O外切，并與BC、CD相切，求⊙O1的面積.

參考答案

1. 3或7.2. A.

3. （1） ∵ AB∥CD，∠BAD=90°，∴ ∠ABC+∠BCD=180°、∠ADC=90°，則AB、CD都與⊙O相切.又∵ ⊙O與BC相切，∴ OB平分∠ABC、OC平分∠BCD，∠OBC=■∠ABC，∠OCB

=■∠BCD，∴ ∠OBC+∠OCB =■∠ABC+■∠BCD=90°，∴ ∠BOC=90°，即OB⊥OC.

（2） 設⊙O1與CD相切于點E，連接O1E. 則O1E⊥CD. 設⊙O1的半徑為r，由（1）知O1C

=2O1E=2r，且OO1=6+r，所以OC=6+r+2r. 又由AD=12，得OD=6、OC=12，∴ 6+r+2r=12，解得r=2，∴ ⊙O1的面積為4π.