數(shù)與式

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1. 數(shù)軸的三要素是______、______、______，數(shù)軸上的點(diǎn)與______是一一對(duì)應(yīng)的.

2. 絕對(duì)值相同______不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是______. 互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)位于數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)，且到______的距離相等.

3. 在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與________的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值. 因此，若a＞0，則|a|=______；若a=0，則|a|=______；若a＜0，則|a|=______. 可見，對(duì)任何實(shí)數(shù)a都有|a|______0.

4. 正數(shù)的平方根有_______，它們互為___________；零的平方根是______；負(fù)數(shù)沒有平方根. 正數(shù)a的正的平方根叫做a的___________，記做_____；0的算術(shù)平方根是______. 算術(shù)平方根具有兩個(gè)非負(fù)性：（1） __________；（2） __________.

5. 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為_______. _________________________ 叫做無理數(shù).

6. 實(shí)數(shù)的大小比較方法：（1） 運(yùn)用“形”來比較：數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)_______；（2） 運(yùn)用“數(shù)”來比較：正數(shù)_____0，正數(shù)和0_____負(fù)數(shù)（用“＜”“＞”填），兩個(gè)正數(shù)比較，絕對(duì)值大的數(shù)_____；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的數(shù)_____.

7. 近似數(shù)與有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)四舍五入到某一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到那一位，這時(shí)從左邊_________的數(shù)字起，到_________止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字. 如：0.201 030四舍五入到萬分位為______，有效數(shù)字有______個(gè)，為______.

8. 冪的運(yùn)算性質(zhì)有：（1） am·an=_______；（2） am÷an=_______（a≠0）；（3） （am）n=_______；（4） （ab）n=_________. 其中，m、n為整數(shù). 規(guī)定：a-p=________（a≠0，p為正整數(shù)）；a0=_______（a≠0）.

9. 實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序先算_______和_______，再算_______，最后算_______. 有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，能簡便運(yùn)算的要靈活應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算.

10. _______所組成的代數(shù)式，叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母，也是單項(xiàng)式. 單項(xiàng)式中的_______叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，單項(xiàng)式中_______叫做單項(xiàng)式的次數(shù). 比如，-2xy2是單項(xiàng)式，其系數(shù)為_______，次數(shù)為_______；一個(gè)字母m也是單項(xiàng)式，其系數(shù)是_______，次數(shù)也是______.

11. 幾個(gè)_______的和叫做多項(xiàng)式. 其中_______叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做_______. 多項(xiàng)式的次數(shù)是它的_______的次數(shù). 比如，xy2+x2-3y4，它是單項(xiàng)式_______的和，它的次數(shù)是_______.

12. 在多項(xiàng)式中，所含_____相同，且_______也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng). 可見，判定同類項(xiàng)的關(guān)鍵是抓住“兩同”，與項(xiàng)的系數(shù)和所含字母的順序都沒有關(guān)系. 比如，2ab2，-3ab2與ab2是同類項(xiàng)，而2a與-3a2不是同類項(xiàng).

13. 整式的加減，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng). 去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)符號(hào)_______；括號(hào)前面是“-”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)符號(hào)______ . 在合并時(shí)，把_______作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)______.

14. 單項(xiàng)式的乘除就是把______和______分別相乘除，再把所得的結(jié)果寫成______的形式. 多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘除，先把______分別與_____________相乘除，再把所得的積或商相____，其項(xiàng)數(shù)與______的項(xiàng)數(shù)相同. 多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，要把______與___________分別相乘，再把所得的積相______，在沒有合并同類項(xiàng)之前，其項(xiàng)數(shù)是______的項(xiàng)數(shù)之積. 如（a+b）（x+y）結(jié)果應(yīng)是4項(xiàng).

15. 乘法公式：（a+b）（a-b）=_____________________；（a±b）2=_____________________.

16. 把一個(gè)多項(xiàng)式化為________________的形式叫做因式分解. 對(duì)于因式分解要做到：① 掌握兩種基本方法——_____法和_____法；② 能根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，選擇正確的分解方法.

17. 形如■（其中A、B是整式，B中含有字母，b≠0）的式子叫做分式. 注意：（1） 只有分母______，分式才有意義；（2） 分式的值為0的條件是分子為____，且分母不為____，兩者缺一不可.

18. 二次根式的概念：形如____________（a≥0）的式子叫二次根式，它具有兩個(gè)非負(fù)性，即（1） ______≥0；（2） ______≥0，它與a和a2是初中階段常見的三個(gè)非負(fù)數(shù).

19. 二次根式的性質(zhì)有（1） （■）2=______ （a≥0）；（2） ■=______；（3） ■·■=_____ （a≥0，b≥0）；（4） ■=____ （a≥0，b＞0）. 它們都可雙向應(yīng)用，是二次根式化簡和運(yùn)算的重要依據(jù).

20. 二次根式的運(yùn)算：（1） 二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成___________，再合并__________；（2） 二次根式乘（除），先把_________相乘（除），再把所得的積（商）作為________，并將結(jié)果化成________；（3） 二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序_____.

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1. 對(duì)基本概念的考查

例1 （2011江蘇揚(yáng)州）-■的相反數(shù)是（ ）

A. 2B. ■C. -2D. -■

解析：本題考查相反數(shù)的概念，選B. 要注意相反數(shù)與倒數(shù)、絕對(duì)值等概念的區(qū)別.

例2 （2011江蘇南通）計(jì)算■的結(jié)果是（ ）

A. ±3■B. 3■C. ±3D. 3

解析：本題考查立方根的概念，由33=27，得■=3，選D.

說明：要注意立方根與平方根、算術(shù)平方根的區(qū)別，謹(jǐn)防將立方根與平方根、算術(shù)平方根混淆而誤選.

例3 （2011江蘇無錫）函數(shù)y=■中自變量x的取值范圍是________.

解析：由算術(shù)平方根的概念可知，x-4≥0時(shí)■在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，即x≥4.

說明：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)，一是要由算術(shù)平方根的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)得到不等式x-4≥0，二是要正確地解不等式x-4≥0，得到正確答案x≥4.

例4 （1） （2011江蘇蘇州）已知地球上海洋面積約為361 000 000 km2，361 000 000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）

A. 3.61×106B. 3. 61×107C. 3.61×108D. 3.61×109

（2） （2011江蘇連云港）在日本核電站事故期間，我國某監(jiān)測點(diǎn)監(jiān)測到極微量的人工放射性核素碘-131，其濃度為0.000 096 3貝克/立方米. 數(shù)據(jù)“0.000 096 3”用科學(xué)記數(shù)法可表示為_________.

解析：本題考查科學(xué)記數(shù)法的知識(shí)，答案：（1） C；（2） 9.63×10-5.

說明：用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)，一是要把它寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10；二是要正確確定10n中n的值.

例5 （2011江蘇無錫）請(qǐng)寫出一個(gè)大于1且小于2的無理數(shù)_________.

解析：本題考查對(duì)無理數(shù)概念的理解，是一個(gè)開放性問題，答案不唯一，如■，■，tan60°，1.101 001 000 1…（每兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）等.

說明：無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，常見的無理數(shù)有開方開不盡的數(shù)（如■等），有特殊意義的數(shù)（如π等），有三角函數(shù)（如sin60°等）. 需要注意的是，本題中對(duì)所寫出的無理數(shù)還要滿足大于1且小于2這個(gè)要求.

例6 （2011江蘇無錫）分解因式2x2-4x+2的最終結(jié)果是（ ）

A. 2x（x-2）B. 2（x2-2x+1）C. 2（x-1）2D. （2x-2）2

解析：本題考查因式分解的概念，由因式分解與整式乘法的關(guān)系可知A和D都不正確，由因式分解要分解到每一個(gè)因式不能再分解為止可知B不正確，所以選C.

說明：因式分解與整式乘法是兩種互逆的變形，應(yīng)用這種關(guān)系可以對(duì)因式分解的正確性進(jìn)行檢驗(yàn)，因式分解要分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.

例7 （2011浙江杭州）已知分式■，當(dāng)x=2時(shí)，分式無意義，則a=_______；當(dāng)x＜6時(shí)，使分式無意義的x的值共有_______個(gè).

解析：當(dāng)分母為0時(shí)分式無意義，所以將x=2代入x2-5x+a=0，得a=6；由x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0知，x=2或x=3，所以當(dāng)x＜6時(shí)，使分式無意義的x的值共有2個(gè).

說明：分式無意義的條件是分母為0，而分式的值為0的條件是分子為0且分母不為0.

例8 （2011上海）下列二次根式中，最簡二次根式是（ ）

A. ■B. ■C. ■D. ■

解析：因?yàn)椤?■■，■=■■，■=5■都不是最簡二次根式，所以選C.

說明：最簡二次根式有兩個(gè)要求，一是被開方數(shù)不含有分母，二是被開方數(shù)的每一個(gè)因數(shù)的指數(shù)都要小于2.

2. 對(duì)基本運(yùn)算的考查

例9 （2011浙江溫州）計(jì)算：（-1）+2的結(jié)果是（ ）

A. -1B. 1C. -3D. 3

解析：（-1）+2=1，選B.

說明：本題考查有理數(shù)加法法則的應(yīng)用，進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算要先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值.

例10 （2011江蘇泰州）多項(xiàng)式_________與m2+m-2的和是m2-2m.

解析：由整式加減的知識(shí)可知，所求的多項(xiàng)式為（m2-2m）-（m2+m-2）=m2-2m-m2-m+2

=-3m+2.

說明：解決本題先要根據(jù)“加數(shù)+加數(shù)=和”列出運(yùn)算的式子，再運(yùn)用去括號(hào)和合并同類項(xiàng)的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算. 本題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，屬于“小題大考”.

例11 （2011山東濟(jì)寧）若代數(shù)式x2-6x+b可化為（x-a）2-1，則b-a的值是_____ .

解析：由x2-6x+b=x2-6x+9-9+b=（x-3）2-9+b，與（x-a）2-1比較可知，a=3，b=8，所以b-a=5.

說明：本題考查配方法和比較的思想方法，也可以將（x-a）2-1用乘法公式展開后，再通過比較得到a和b的值，進(jìn)而求出b-a的值.

例12 （2011山東威海）計(jì)算■-■÷■的結(jié)果是________.

解析：原式=■÷■-■÷■=■-■=5-2=3.

說明：本題主要考查二次根式的運(yùn)算與化簡，我們要明確有關(guān)二次根式的運(yùn)算性質(zhì)和法則，注意運(yùn)算與化簡的順序，本題以先計(jì)算再化簡為佳.

例13 （2011山東日照）已知x，y為實(shí)數(shù)，且滿足■-（y-1）■=0，那么x2 011-y2 011

=_________.

解析：由二次根式的非負(fù)性知■≥0，■≥0，再由■-（y-1）·■=■

+（1-y）■=0，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)有■=0，（1-y）■=0，所以x+1=0，1-y=0，x=-1，y=1，故x2 011-y2 011=（-1）2 011-12 011=-1-1=-2.

說明：本題考查二次根式的性質(zhì)和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，將已知等式變形為兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0的等式是解決這類問題的關(guān)鍵.

例14 （2011安徽蕪湖）計(jì)算：（-1）2 011-■-3+cos68°+■0+3■-8sin60°.

解析：原式=（-1）-8+1+3■-8×■■=-8+-■=-8+■.

說明：本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解決問題的關(guān)鍵是先各個(gè)擊破，再運(yùn)用實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算. 要特別注意（-1）2 011≠-2 011，■-3≠-■，cos68°+■0≠0.

例15 （2011重慶）先化簡，再求值：■-■÷■，其中x滿足x2-x-1=0.

解析：原式=■×■=■×■=■，由x2-x-1=0有x2=x+1，所以原式=1.

說明：本題主要考查分式的化簡與求值，在選取ｘ的值代入求值時(shí)應(yīng)注意整體處理，如果求出x的值后再代入，不僅復(fù)雜，而且容易出錯(cuò)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.

例16 定義運(yùn)算a?茚b=a（1-b），下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：① 2?茚（-2）=6；② a?茚b=b?茚a；③ 若a＋b=0，則（a?茚a）＋（b?茚b）=2ab；④ 若a?茚b=0，則a=0. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是_________（填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

解析：根據(jù)定義的運(yùn)算規(guī)則，2?茚（-2）=2（1+2）=6，故①正確；a?茚b=a（1-b），b?茚a=b（1- a），如果a?茚b=b?茚a，則a（1-b）=b（1-a），所以a=b，但題目中沒有這樣的條件，所以②不正確；若a＋b=0，則a=-b，（a?茚a）＋（b?茚b）=a（1-a）＋b（1-b）=-b（1-a）＋b（1+a）=2ab，故③正確；若a?茚b=0，則a（1-b）=0，所以a=0或b=1，所以④不正確. 綜上所述，正確結(jié)論的序號(hào)是①③.

說明：對(duì)于新定義的運(yùn)算問題，關(guān)鍵是要弄清新定義的運(yùn)算規(guī)則，然后設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)的實(shí)數(shù)運(yùn)算問題來處理.

3. 對(duì)基本應(yīng)用的考查

例17 （2011湖北黃石）黃石市2011年6月份某日一天的溫差為11℃，最高氣溫為t℃，則最低氣溫可表示為（ ）

A. （11+t）℃B. （11-t）℃C. （t-11）℃D. （-t-11）℃

解析：設(shè)最低氣溫為x℃，則有t-x=11，x=t-11，所以選C.

說明：在列代數(shù)式時(shí)，要熟悉一些基本數(shù)量關(guān)系及其變式. 對(duì)于比較復(fù)雜的列代數(shù)式問題，可以借助于方程知識(shí)來解決.

例18 （2011四川樂山）體育委員帶了500元錢去買體育用品，已知一個(gè)足球a元，一個(gè)籃球b元，則代數(shù)式500-3a-2b表示的數(shù)為__________ .

答案：體育委員買了3個(gè)足球和2個(gè)籃球后剩余的經(jīng)費(fèi).

說明：對(duì)于代數(shù)式意義的解釋，要結(jié)合具體的題目來進(jìn)行，這類問題一般都是開放性問題，求解時(shí)只要貼近生活，符合題意即可.

例19 （2011山東日照）某道路一側(cè)原有路燈106盞，相鄰兩盞燈的距離為36米，現(xiàn)計(jì)劃全部更換為新型的節(jié)能燈，且相鄰兩盞燈的距離變?yōu)?0米，則需更換的新型節(jié)能燈有

（ ）

A. 54盞B. 55盞C. 56盞D. 57盞

解析：36×（106-1）=3 780，3 780÷70+1=55，選B.

說明：在解決這類問題時(shí)要結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，我們知道安裝路燈時(shí)，所需要的路燈數(shù)比相鄰兩盞燈的距離段數(shù)多1，所以原有路燈相鄰兩盞燈的距離段數(shù)為106-1.

例20 （2011安徽蕪湖）如圖1，從邊長為（a+4） cm的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為（a+1） cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無縫隙），則矩形的面積為（ ）

A. （2a2+5a） cm2B. （3a+15） cm2C. （6a+9） cm2D. （6a+15） cm2

解析：先列出代數(shù)式，再借助于乘法公式進(jìn)行計(jì)算. 矩形面積S=（a+4）2-（a+1）2=（a2+8a+16）

-（a2+2a+1）=a2+8a+16-a2-2a-1=6a+15，選D.

說明：本題考查用代數(shù)式表示幾何圖形的面積，并運(yùn)用代數(shù)式的運(yùn)算解決問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

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1. 概念不清

例21 （1） （2010四川成都）x3表示（ ）

A. 3xB. x+x+xC. x·x·xD. x+3

（2） 計(jì)算（2x）3÷x的結(jié)果正確的是（ ）

A. 8x2B. 6x2C. 8x3D. 6x3

錯(cuò)解：（1） 選A；（2） 選C.

剖析：（1） 乘方是相同數(shù)與式連乘的縮寫，x3的意義是x·x·x；

（2） 這里x的指數(shù)為1，而錯(cuò)解誤認(rèn)為是0，主要是對(duì)x（即x1）認(rèn)識(shí)不足.

正解：（1） 選C；（2） 原式=8x3÷x=8x3-1=8x2，選A.

2. 誤用法則

例22 （1） （2010湖南郴州）下列計(jì)算中，正確的是（ ）

A. a3·a4=a12B. （a2）3=a5C. a6÷a2=a3D. （-ab）3=-a3b3

（2） （2010江蘇泰州）計(jì)算：1-■÷■-■.

錯(cuò)解：（1） 選C；（2） 原式=1-■÷■-■÷■=…

剖析：（1） 錯(cuò)選誤解了同底數(shù)冪的除法法則，把“指數(shù)相減”誤為“指數(shù)相除”，事實(shí)上，a6÷a2=a6-2=a4，選擇C不正確；

（2） “強(qiáng)行”使用分配律，將■÷■-■處理成■÷■-■÷■，事實(shí)上，除法沒有分配律，一般地，c÷（a+b）≠c÷a+c÷b.

正解：（1） a3·a4=a3+4=a7，A不正確；（a2）3=a2×3=a6，B不正確；C也不正確. 因此選D.

（2） 原式=1-■÷■-■=1-■÷■=1-■×■=1-■

=-■.

3. 知識(shí)混淆

例23 （1） （2010江蘇泰州）-3的倒數(shù)為（ ）

A. -3B. ■C. 3D. -■

（2） （2010江蘇鹽城）4的算術(shù)平方根是________；

錯(cuò)解：（1） 選C；（2） ±2；

剖析：（1） 將倒數(shù)與相反數(shù)混淆了，互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0；

（2） 將平方根與算術(shù)平方根混淆了，前者是雙值，后者是單值，正數(shù)的算術(shù)平方根是這個(gè)數(shù)平方根中的正值.

正解：（1） D；（2） 2.

4. 忽視隱含

例24 （1） （2010云南玉溪）若分式■的值為0，則b的值為（ ）

A. 1B. -1C. ±1D. 2

（2） （2010云南玉溪）先化簡■-a+1÷■，再從1，-1，■中選一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)作為a的值代入求值.

錯(cuò)解：（1） 由b2-1=0，得b=1或b=-1，選C；

（2） 原式=■-■·■=■·■=■，取a=1，原式

=0.

剖析：（1） 當(dāng)b=-1時(shí)，分式的分母b2-2b-3=0，分式無意義，所以b=-1應(yīng)舍去；當(dāng)b=1時(shí)，分式的分母b2-2b-3≠0，分式有意義，所以b=1；

（2） 當(dāng)a=1時(shí)，除式中的分母為0，無意義，所以a不能取1；同樣a不能取-1，只能取■.

正解：（1） 選A，（2） 在原式=■中，取a=■，則原式=■=■.

5. 思考不周

例25 （1） （2010湖南益陽）數(shù)軸上的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是6，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（ ）

A. 6B. -6C. 6或-6D. 3或-3

（2） （2010安徽蕪湖）要使式子■有意義，a的取值范圍是（ ）

A. a≠0B. a≥-2C. a≥-2或a≠0D. a≥-2且a≠0

錯(cuò)解：（1） 選A；（2） 選A或B或C.

剖析：（1） 從數(shù)軸上看，到原點(diǎn)的距離是6的點(diǎn)有兩個(gè)，它們是6或-6. 產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是忽視了一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)正數(shù)，這樣的數(shù)對(duì)應(yīng)著兩個(gè)數(shù)，它們互為相反數(shù). （2） 本題既要考慮到分子是二次根式，其被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，又要考慮分母不能為0，且兩者必須同時(shí)成立. 錯(cuò)解忽視了二次根式的被開方數(shù)應(yīng)該是非負(fù)數(shù)、分母不能為0，并且兩者要同時(shí)成立的要求.

正解：（1） 選C；（2） 選D.

6. 無視條件

例26 （2010廣東廣州）若a＜1，化簡■-1（ ）

A. a-2B. 2-aC. aD. -a

錯(cuò)解：原式=a-1-1=a-2，選A.

剖析：因a＜1，所以■=a-1=1-a，■-1=1-a-1=-a.

正解：選D.

7. 半途而廢

例27 （1） （2010山東濟(jì)寧）把代數(shù)式3x3-6x2y+3xy2分解因式，結(jié)果正確的是（ ）

A. x（3x+y）（x-3y）B. 3x（x2-2xy+y2）C. x（3x-y）2D. 3x（x-y）2

（2） （2010江蘇泰州）觀察等式：① 9-1=2×4，② 25-1=4×6，③ 49-1=6×8，…，按照這種規(guī)律寫出第n個(gè)等式：________.

錯(cuò)解：（1） 選B；（2） ①即32-1=（3-1）（3＋1），②即52-1=（5-1）（5＋1），③ 即72-1=（7-1）·（7＋1），…，所以第n個(gè)等式為（2n+1）2-1=（2n+1-1）（2n+1+1）.

剖析：（1） 把代數(shù)式3x3-6x2y+3xy2因式分解，首先考慮提取公因式3x是正確的，但提取公因式后還要考慮是否可以繼續(xù)分解. 其實(shí)提取公因式3x后剩下的因式還可以用公式法分解. （2） 得到的結(jié)果不是最簡形式，要繼續(xù)整理.

正解：（1） 選D；（2） 第n個(gè)等式為（2n+1）2-1=2n（2n+2）.

8. 審題不細(xì)

例28 （1） （2010貴州畢節(jié)）2008北京奧運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f的路程約為13.7萬公里. 近似數(shù)13.7萬是精確到（ ）

A. 十分位B. 十萬位C. 萬位D. 千位

（2） （2010重慶）上海世界博覽會(huì)自2010年5月1日開幕以來，截至2010年5月18日，累計(jì)參觀人數(shù)約為324萬人，將324萬用科學(xué)記數(shù)法表示為_____________人.

錯(cuò)解：（1） 選A；（2） 3.24×102.

分析：（1） 近似數(shù)13.7萬精確到哪一位，關(guān)鍵是看7的數(shù)位，錯(cuò)解認(rèn)為7是小數(shù)點(diǎn)后的第一個(gè)數(shù)字，所以是十分位，其實(shí)本題不是問13.7精確到哪一位，而是問13.7萬精確到哪一位，所以這個(gè)7的數(shù)位不是十分位，而是千位，所以近似數(shù)13.7萬是精確到千位；（2） 錯(cuò)解沒有看清題意，誤以為只要將324用科學(xué)記數(shù)法來表示，忽視了原數(shù)據(jù)是以“萬人”做單位，而答案是以“人”為單位. 應(yīng)該先把324萬轉(zhuǎn)化為3 240 000，再用科學(xué)記數(shù)法來表示.

正解：（1） 選D；（2） 3.24×106.

避免犯上述錯(cuò)誤的關(guān)鍵是弄清概念，掌握法則，認(rèn)真審題，謹(jǐn)防混淆. 希望能從中吸取教訓(xùn)，不再犯類似錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤后要及時(shí)分析，迅速改正.

■

1. 借助特值

例29 （2010江蘇泰州）已知P=■m-1，Q=m2-■m（m為任意實(shí)數(shù)），則P、Q的大小關(guān)系為（ ）

A. P ＞QB. P =QC. P

解析：這是一道選擇題中的壓軸題，其解法較多. 許多考生是這樣求解的：Q-P=m2-m+1

=m-■2+■＞0，即P＜Q，選C. 如果注意到m為任意實(shí)數(shù)，可借助于特殊值，令m=0，則P=-1，Q=0，P＜Q，口算即得，一目了然. 作為選擇題，要考慮能不能根據(jù)其特點(diǎn)，找出更簡便、更能節(jié)約時(shí)間的解法.

2. 整體代入

例30 （2008江蘇徐州）已知x=■+1，求x2-2x-3的值.

解析：由x=■+1有x-1=■，視“x-1”為整體，再代入，則x2-2x-3=x2-2x+1-4=（x-1）2-4

=（■）2-4=3-4=-1. 本題的解法很多，根據(jù)你對(duì)“整體”的不同理解，請(qǐng)?jiān)俳o出兩種解法來.

3. 分類思考

例31 （2008湖南湘潭）先化簡，再求值：■·■，其中x滿足x2-3x+2=0.

解析：本題考查分類思想. 先將求值式化簡，再求出x的值代入. 在代入時(shí)要分兩種情況對(duì)原代數(shù)式有無意義進(jìn)行討論.

原式=■·■=x，∵ x2-3x+2=0，∴ （x-2）（x-1）=0，得x=1，或x=2. 當(dāng)x=1時(shí)，（x-1）2=0，分式■無意義. ∴ 原式的值為2.

4. 逆向思維

例32 （2008江蘇南京）先化簡，再求值：（2a+1）2-2（2a+1）+3，其中a=■.

解析：本題考查整式運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)：去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，在去括號(hào)時(shí)應(yīng)運(yùn)用完全平方公式. 這是一般解法. 若采用逆向思維，則可以得到下面的簡潔解法：原式=（2a+1）2-2（2a+1）+1+2=（2a+1-1）2+2=4a2+2，當(dāng)a=■時(shí)，原式=10.

5. 尋找規(guī)律

例33 （2009江蘇省）下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：

第1個(gè)數(shù)：■-1+■；

第2個(gè)數(shù)：■-1+■1+■1+■；

第3個(gè)數(shù)：■-1+■1+■1+■1+■1+■；

……

第n個(gè)數(shù)：■-1+■1+■1+■…1+■.

那么，在第10個(gè)數(shù)、第11個(gè)數(shù)、第12個(gè)數(shù)、第13個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）

A. 第10個(gè)數(shù)B. 第11個(gè)數(shù)C. 第12個(gè)數(shù)D. 第13個(gè)數(shù)

解析：本題貌似復(fù)雜，其實(shí)只要認(rèn)真觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：從第2個(gè)數(shù)開始，減數(shù)中的因數(shù)是成對(duì)增加的，且增加的每一對(duì)數(shù)都是互為倒數(shù)，其乘積為１，所以這些數(shù)的減數(shù)都是■，因此只要比較被減數(shù)即可，即比較■、■、■、■的大小，答案一目了然：選A. 請(qǐng)同學(xué)們不要被復(fù)雜的運(yùn)算式子嚇住，要善于從復(fù)雜的式子中尋找出規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律來巧妙地解決問題.

■

1. -■的相反數(shù)的倒數(shù)是（ ）

A. 2B. ■C. -2D. -■

2. 算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只能是（ ）

A. 1B. ±1C. 1和 0D. ±1和0

3. “萬畝荷塘綠，千島菜花黃”，2011年興化第二屆千島菜花旅游節(jié)期間，某接待小組共接待海內(nèi)外游客12 900人，12 900用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）

A. 0.129×105B. 1.29×104C. 12.9×103D. 129×102

4. 下列運(yùn)算正確的是（ ）

A. -■=■B. （-a-b）2=a2+2ab+b2

C. ■=2a+1D. ■=-2

5. 估計(jì)■的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在（ ）

A. 6到7之間B. 7到8之間C. 8到9之間D. 9到10之間

6. 若x3=（-2）3，y2=（-3）2，則x+y的所有可能的值為（ ）

A. -5B. 1C. -5或1D. -5，5或1

7. 若a+b=3，則2a2+4ab+2b2-6的值為（ ）

A. 12B. 6C. 3D. 0

8. 有一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，從第二個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于1與它前面那個(gè)數(shù)的倒數(shù)的差，若a1=2，則a2 007為（ ）

A. 2 007B. 2C. ■D. -1

9. 舉一個(gè)實(shí)際例子，解釋代數(shù)式6a2的意義______________________________.

10. 比較大小：--■_____-■（填“＞”“=”或“＜”）.

11. 當(dāng)x=____時(shí)，分式■無意義；若代數(shù)式■有意義，則x的取值范圍是_____.

12. 分解因式：a3b-ab3=_______________，2x2-12x+18=___________.

13. 有一組數(shù)：1，2，5，10，17，26，…請(qǐng)觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個(gè)數(shù)為____________.

14. 已知：2+■=22×■，3+■=32×■，4+■=42×■，5+■=52×■，…，若10+■=102×■符合前面式子的規(guī)律，則a+b=______.

15. 在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“?茌”如下：當(dāng)a≥b時(shí)，a?茌b=b2；當(dāng)a＜b時(shí)，a?茌b=a. 則當(dāng)x=2時(shí)，（1?茌x）·x-（3?茌x）的值為_______（“· ”和“-”仍為實(shí)數(shù)運(yùn)算中的乘號(hào)和減號(hào)）.

16. 按如圖1所示的程序計(jì)算，若開始輸入的x的值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次得到的結(jié)果為24，第2次得到的結(jié)果為12……請(qǐng)你探索第2 009次得到的結(jié)果為_______.

17. 計(jì)算：（-1）0+■tan45°-2-1+■.

18. 在圖2的集合圈中有5個(gè)實(shí)數(shù)，先按有理數(shù)和無理數(shù)進(jìn)行分類，再

計(jì)算有理數(shù)的和與無理數(shù)的積的差.

19. 先將■÷■化簡，然后自選一個(gè)合適的x值，代入求值.

20. 先化簡，再求值：（a2b-2ab2-b3）÷b-（a+b）（a-b），其中a=■，b=-1.

21. 在解答題目“當(dāng)x=1 949時(shí)，求代數(shù)式■÷■-■+1的值”時(shí)，聰聰認(rèn)為x只要任取一個(gè)使原式有意義的值代入都有相同結(jié)果. 你認(rèn)為他說的有理嗎？請(qǐng)說明理由.

22. 設(shè)a1=32-12，a2=52-32，…，an=（2n+1）2-（2n-1）2（n為大于0的自然數(shù)）.

（1） 探究an是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表述你所獲得的結(jié)論；

（2） 若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”. 試找出a1，a2，…，an，…這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，并指出當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，an為完全平方數(shù)（不必說明理由） .

23. 用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題.

■=1-■，■=■-■，■=■-■，…

（1） 計(jì)算■+■+■+■+■=_____________.

（2） 探究■+■+■+…+■=____________（用含有n的式子表示）.

（3） 若 ■+■+■+…+■的值為■，求n的值.

24. 建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比值越大，住宅的采光條件越好. 我們?cè)O(shè)地板面積為a平方米，窗戶面積為b平方米，若窗戶面積和地板面積同時(shí)增加m平方米，

（1） 寫出增加后的窗戶面積與地板面積的比值；

（2） 增加后，住宅的采光條件變好了還是變壞了？請(qǐng)說明理由.

■

1. A. 2. C. 3. B. 4. B. 5. C. 6. C. 7. A. 8. D. 9. 略.

10. ＞. 11. x=3，x≥-2且x≠■. 12. ab（a+b）（a-b），2（x-3）2. 13. 50. 14. 109.

15. -2. 16. 8. 17. 3. 18. 1-2π.

19. ■，當(dāng)x=3時(shí)，原式=■. 注意：x的取值要大于2. 20. -2ab，1.

21. 聰聰說的有理. 因?yàn)樵?1，與字母的數(shù)值無關(guān).

22. （1） an是8的倍數(shù). 這個(gè)結(jié)論用文字語言表述為：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).

（2） 前4個(gè)完全平方數(shù)為16，64，144，256. n為一個(gè)完全平方數(shù)的2倍時(shí)，an為完全平方數(shù).

23. （1） ■. （2） ■. （3） 17.

24. （1） ■. （2） ■-■=■-■=■=■，因?yàn)閎