商品銷售中的利潤最大化問題

問題 利民商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品，現(xiàn)有如下信息：

信息1：甲、乙兩種商品的進貨單價之和是5元；

信息2：甲商品零售單價比進貨單價多1元，

乙商品零售單價比進貨單價的2倍少1元.

信息3：按零售單價購買甲商品3件和乙商品2件，共付了19元.

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1） 甲、乙兩種商品的進貨單價各多少元？

（2） 該商店平均每天賣出甲種商品500件和乙種商品300件. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲、乙兩種商品零售單價每分別降0.1元，這兩種商品每天各可多銷售100件. 為了使每天獲取更大的利潤，商店決定把甲、乙兩種商品的零售單價都下降m元. 在不考慮其他因素的條件下，當m定為多少時，才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤最大？每天的最大利潤是多少？

命題意圖 本題是2011年鹽城市的一道中考試題，它以圖表信息為背景，考查同學(xué)們通過閱讀、分析、整理獲取所要解決問題的相關(guān)信息的能力，以及應(yīng)用二元一次方程組與二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題的能力. 同時，本題還加強了對同學(xué)們數(shù)學(xué)建模能力、分析問題能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的考查.

解題指導(dǎo) （1） 利民商店所提供的三條信息蘊含了兩個等量關(guān)系式：甲種商品的進貨單價+乙種商品的進貨單價=5元；3件甲種商品零售單價+2件乙種商品零售單價=19元.因此，我們可以建立關(guān)于以甲、乙兩種商品的進貨單價為未知數(shù)的二元一次方程組加以解答；（2） 根據(jù)“銷售商品所得的總利潤=每件商品的利潤×銷售的商品件數(shù)”，我們可以用含m的代數(shù)式分別表示把甲、乙兩種商品的零售單價都下降m元后每件商品的單價、銷售的件數(shù)以及獲得的利潤和總利潤，進而建立總利潤W（元）關(guān)于零售單價都下降m（元）的函數(shù)關(guān)系式，并應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)求得其最大值.

解題過程 （1） 設(shè)甲種商品的進貨單價是x元，乙種商品的進貨單價是y元.

根據(jù)題意，得x+y=5，3（x+1）+2（2y-1）=19，解得x=2，y=3.

答：甲種商品的進貨單價是2元，乙種商品的進貨單價是3元.

（2） 設(shè)商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤為W元，則W=（1-m）500+100×■+（5-3-m）300+100×■，即W=-2 000m2+2 200m+1100=-2 000（m-0.55）2+1 705.

當m=0.55時，W有最大值，最大值為1 705.

答：當零售價格下降0.55時，商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤最大，每天最大利潤是1705元.

追根溯源 該試題類似于義務(wù)教育教科書蘇教版《數(shù)學(xué)》七年級下冊教材第101頁第13題與九年級上冊教材第98頁例4，是這兩道習(xí)題的融合與提升.

七年級下冊教材第101頁第13題：某人分別以售價的8折和9折的價格購買了兩件襯衫，共付款182元. 已知這兩件襯衫的售價的和是210元，求這兩件襯衫的售價.

九年級上冊教材第98頁例4：某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件. 如果商場通過銷售這批襯衫每天要盈利1200元，襯衫的單價應(yīng)降多少元？

本題要求將生活實際中的問題“數(shù)學(xué)化”，考查了應(yīng)用方程組、函數(shù)模型解決生活實際問題的能力，還增強了同學(xué)們充分應(yīng)用教材、以“課本”為“藍本”學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識的意識.

變式拓展 某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈. 銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似地看作一次函數(shù)：y=-10x+500.

（1） 設(shè)李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（2） 如果李明想要每月獲得2 000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？

（3） 根據(jù)物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=進價×銷售量）

參考答案 （1） 由題意，得w=（x-20）·y=（x-20）·（-10x+500）=-10（x-35）2+2 250.

答：當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤；

（2） 由題意，得-10x2+700x-10 000=2 000，解這個方程得x1=30，x2=40.

答：李明想要每月獲得2 000元的利潤，銷售單價應(yīng)定為30元或40元.

（3） 由題意，得-10x2+700x-10 000≥2 000，解這個不等式方程得30≤x≤40.

又由于這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，所以每月的成本最少需要30元.

答：如果李明想要每月獲得的利潤不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要30元.