數學符號意識的形成途徑

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：B 文章編號：1673-4289（2012）02-0044-02

符號是針對具體事物對象抽象概括出來的一種簡略的記號或代號。常用的數字、字母、圖形和關系式等等構成了數學的符號系統。對于數學來說，符號具有存在的特定價值。它既是數學的語言，也是數學的工具，更體現著數學的方法。為此《全日制義務教育數學課程標準》把培養學生符號意識作為數與代數領域的核心概念提出來。如何在教學實踐中培養學生符號意識呢？

一、表征——豐富符號語言

《全日制義務教育數學課程標準》在課程內容核心概念“符號意識”中明確提出：“能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律。”這是從符號表征的角度對學生的符號意識培養提出的要求。無論在哪個學段，我們都應創造機會，鼓勵學生用自己獨特的符號系統表征數學學習中的研究對象。學生已有的生活經驗中潛藏著大量的符號經驗，如路邊常見的停車、慢行以及公共場所、商場的各種符號標記等等。可以說，現實生活是一個“符號化”的世界，現實生活中的符號被學生以各種途徑接觸和熟悉進而成為其經驗系統的一部分。我們在教學實踐中應從已有的經驗出發，給學生提供機會，讓他們經歷“從具體事物→個性化的符號表示→學會數學的表示”的符號化表征過程，豐富學生符號語言，為符號運算、推理，進行符號思維打好基礎，這是培養學生符號意識的決定因素。符號表征的內容很多，數學概念、定律、法則、關系式、規律等的學習與探究活動中，都可以讓學生多途徑、多形式地進行符號表征訓練。

比如一年級數學書上有這樣一個練習：

在下列橫線上填上合適的數字、字母或圖形，并說明理由。

①1，1，2；1，1，2； ， ， ；

②A，A，B；A，A，B； ， ， ；

③□，□，△；□，□，△； ， ， ；

④ ； ； ?搖。

通過觀察不同形式的表征，在第一學段中學生就能夠感悟到：對于有規律的事物，無論是用數字還是字母或圖形都可以反映相同的規律，只是表達形式不同而已，這樣既深化了規律的認識，又豐富了數學的表征語言與表征形式。

用符號表征數學對象要注意兩點：一是在整個學習過程中，學生用符號表達數學對象是一個由簡單到復雜，由相對具體到相對抽象的過程。二是數學符號的表達是多樣化的，比如關系式、表格、圖像等等都是表達數量關系和變化規律的符號工具，即使是同一數學對象也可采用多種符號予以表達。

二、轉換——加深符號理解

“能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律。”這一要求具有兩層含義：一是能夠理解符號所表示的意義；二是能夠運用符號去表示數學對象。也就是不僅要會“用”符號表征，還要“懂”符號表征，深入理解符號所表征對象的內涵與外延。這就需要在符號表征的基礎上適當進行符號間的轉換，如把數量關系進行表格、關系式、圖像、語言等表征方法之間的轉換，加深學生的符號理解。無論是在生活中還是在學習中，符號間的轉換是豐富多彩的，用多種形式描述和呈現數學對象，是一種有效的獲得對概念本身或是問題背景深入理解的方法。因此，進行多種表征方法之間的轉換，不僅可以加深對表征對象的理解，也是解決問題的需要。如學習乘法運算定律時，采用歸納法讓學生認識運算定律，從各種定律的具體算式表征中，通過歸納總結形成語言文字表征，然后把語言文字表征轉化成字母表征形式，最后在定律運用中又還原成具有現實情境背景的表征。再如在正反比例學習的過程中，把正反比例從表格表征轉換為關系式、文字敘述、函數圖像等表征方式等等。這些不同符號表征之間的轉換，各種形式互為補充，幫助學生從不同側面加深對表征對象的理解和認識，從而提升運用符號表征和理解符號表征的能力水平。

三、運算——把握符號工具

會用符號進行表征，也就是會把實際問題或現實情境中的數量關系，用符號表示出來，這個過程叫做符號化。符號化的過程將現實問題轉化為數學問題，這就完成了解決問題的第一步，第二步就是選擇算法，進行符號運算。在學生各學段的學習中，我們都應積極創造條件，讓學生在遵循計算邏輯法則前提下，經歷使用符號進行運算的學習活動過程。在符號運算與推理過程中，使學生認識到符號可以作為一種解決問題的有力工具，運用這個工具運算和推理得到的結論具有一般性，體會符號運算的優越性，強化符號意識。如解決問題：用一根長24分米的鐵絲做一個長方體的框架，長、寬分別為3分米、2分米，要求圍成的這個框架有多高。在學生結合長方體的特征理解題意、分析數量之間的關系后，引導他們以x代替未知量，用方程解決問題，得到三種表征方式。方法一：(5+x)×4=24。方法二：3×4+2×4+4x=24。方法三：3+2+x=24÷4。然后讓學生按解方程的運算規則進行運算求解，得到這個長方體鐵絲框架的高。這一過程中很重要的一步是使用字母這一符號來表示抽象的運算，這樣可以像對數那樣對符號進行運算，大大降低問題思維難度使得問題得以順利解決，使學生認識到數學學習中引入符號的必要，體會到符號運算的重要，符號是解決問題的有力工具，從而有利于發展學生的符號意識。

四、推理——訓練符號思維

《全日制義務教育數學課程標準》指出，培養符號意識要使學生“知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式”。這說明發展符號意識的重要目標是運用符號進行數學思考，這種思考也可以稱之為“符號思維”。為此，教學中我們應在學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程中，引導他們用符號進行運算、推理和數學思考，訓練學生符號思維，促進學生符號意識的增強。如解決問題：房間里有4條腿的椅子和三條腿的凳子共16張，如果椅子腿數和凳子腿數加起來共有60個，那么有幾張椅子和幾張凳子？如果學生沒有經過專門的“雞兔同籠”解題模式的思維訓練，他們完全可以使用恰當的符號進行推理及運算，可以用表格分析椅子數的變化引起凳子數和腿總數的變化規律，直接得到答案；也可以用簡約的圖示探究求解；還可以采用一元一次方程或一元二次方程組等，用字母符號的思考方式來加以解決。這種運用符號推理進行符號思維能力的培養方法，在各個領域知識的學習過程中都有機會進行實施。如一位教師在“用數對確定位置”的教學中，當學生認識“數對”以后，以游戲鞏固運用“數對”確定位置的方法。教師說“數對“，符合要求的學生快速站起來，看誰反應快。教師依次出示（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5），正好第三列的學生全站起來，教師又依次出示（1，1）、（2，1）、（3，1）、（4，1）、（5，1）、（6，1），第一行的同學都站起來了，教師再出示（4，x），學生們暫時的猶豫后，第四列全部站起來了，然后換成（x，3）、（x，x）等。這個游戲以具體的“數對”，到有一個字母表示的“數對”，再到兩個字母表示的“數對”的活動，讓學生親身體驗了用符號推理認識“數對”中的規律進行符號思維活動的過程，把學生思維推向縱深，發展了符號思維。

符號意識是學習者在感知、認識、運用數學符號方面所作出的一種主動性反應，它也是一種積極的心理傾向。它更多地表現為以學生為主體的一種主動運用符號的意識。我們應緊密結合各個知識領域的教學過程，引導學生在經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程中，幫助他們理解并運用數學符號進行表征、轉換、運算和推理，切實有效地發展學生的符號意識。

【編后】自從本刊2011年第6期推出《洋溢著數學智慧的符號化陳述課——特級教師鄭大明〈○與□玩數學〉教學實錄與評析》后，引起全國許多教師探討關于如何幫助學生形成數學課程標準中提出的關于“符號意識、模型思想”等核心概念的理性問題和實踐路徑。我們收到許多關于符號化教學問題研究的稿件，本刊限于篇幅只刊登了部分作品。希望廣大教師以此思路，進一步探究新版數學課程標準中提出的核心概念及其教學，我們將繼續予以關注，選擇優秀稿件敬獻讀者。

（作者單位：沙坪壩區教師進修學院，重慶 400030）