一道高考題的解法探究、考后調查、教學反思

2012年高考一結束，筆者用浙江文科第9題去考查高一任教的學生（本校屬于省三級重點普通高中），結果令人驚訝！全班58人只有5人做對，并且都是用同一種方法. 驚訝、遺憾之余，便有了本文對考題解法的探究，考后的局部調查以及對教學的反思. 筆者認為該考題是一道折射教師教學行為的好題.

一、考題解法探究

2012年浙江文科第9題：若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是

答案C

解法一：（構造均值不等式思想）由x+3y=5xy，得+=1，而3x+4y=（3x+4y）·（+）=++≥2+=5. 當且僅當=，即x=1，y=時，3x+4y的最小值是5.

解法二：（消元思想）由x+3y=5xy，得y=，代入3x+4y，得3x+4y=3x+=（5x-3）++≥5.

解法三：（線性規劃思想）作出y=圖象第一象限部分（如圖1），目標函數z=3x+4y，當平行線組過點（1，0. 5）時，3x+4y的最小值是5，而點（1，0. 5）可由導數值為-時而得.

解法四：（方程組思想）由y=與z=3x+4y聯立方程組消去y，再由？駐≥0也可得z的最小值5.

解法五：（參數思想）由+=1，設cos2α=，sin2α=，其中α∈[0，2π]則y=，x=·3x+4y=+=+=++≥5.

解法六：（反置代思想）將z=3x+4y改寫成：y=，代入x+3y=5xy，并將其整理成x的二次形式，15x2-（5+5z）x+3z=0，由？駐≥0可得z的最小值是5.

解法七：（向量思想）如圖2. 設向量=a=（3，4），向量=b=（x，y），則a·b=3x+4y，b的終點在y=第一象限的圖象上，根據數量積的幾何意義，當 b在a上的投影最小時， z=3x+4y的值最小，先求斜率為-的切線與曲線y=的切點（1，），再將切點x=1，y=代入z=3x+4y，得z最小值為5.

解法八：（柯西不等式法）由x+3y=5xy，得+=1. 3x+4y=（3x+4y）·1=（3x+4y）·（+）≥（·+·）2=5.

二、考后調查

本題題源：《數學必修5》① 3. 4基本不等式：≤（二）作業本56頁第11題：已知x>0，y>0，且+=1求x+y的最小值.

對四類人群的局部調查. 調查一，新手型教師兩人的解法：一人只有解法一；另一人解法一和解法八. 調查二，經驗型教師一人的解法：解法一、解法二、解法三. 調查三，高一學生58人中有五人的解法：解法一，其余沒有第二種解法. 調查對象為本人所教班級，生源為農村普通高中學生，時間為基本不等式的內容教學后不到兩周. 調查四，參加高考的本校文科班畢業學生10人，高考成績都在[100，120]區間，有兩人用解法一做出，其中有一人因為第14題的提示（文科高考第14題是顯著的線性規劃問題，于是他認為第9題不是線性規劃問題）才由原來解法三的思路轉為解法一的思路. 有兩人用解法二做出，還有兩人用解法三做出，有一人隨機選對，其余3人答錯.

三、教學反思

1. 教學理念與自覺行為的差距

隨著課程改革的不斷深入，課程理念也逐步在教師意識中“生根發芽”. 我們知道“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式. 這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為教師引導下的‘再創造’過程”. 然而，不容否認，基于功利心和教學任務壓力的驅使，在實際的教學中，還是存在大量“殺雞取卵”式的教學方式.

正如筆者對考題題源的教學：由于當時在作業本上首次出現該類題，題意顯然是均值不等式的運用，筆者認為學生還沒有能力解決，于是將題：x>0，y>0，且2x+8y=xy，求x+y的最小值，作為例題.因為時間不允許作更多的探究，所以“生吞活剝”就“剝”出了解法一.而結果就出現上述調查三的情況；采取“生吞活剝”還是“細嚼慢咽”的例題教學，決定我們的教學理念是否具有執行力. 雖然本文考題是一道常見題，從以前學生的做題情況看，方法以解法一為多，這種方法實為解法中最為簡潔，但隱藏的問題卻很大， 首先此解法構造的難度較大，在高考這樣緊張的情況下學生不易想到，屬于技巧類解法.從“以人的發展為本”的理念看，筆者處理考題題源的方式是培養不出學生能力的，學生最多是增加些“依葫蘆畫瓢”的本領，“葫蘆”一旦消失，“畫瓢”的本領也不復存在了.基于學生的認知能力和認知水平，改進的教學方法可以是：先讓學生作為作業探究，教師可以是困惑的幫助解決者，或思維短路的“接線員”.

2.自覺運用數學思想方法引導解題

《數學課程標準解讀》中指出“數學教學應該不只是教知識技能，教技巧，還要教數學思考，教思想，把數學的學術形態轉化為教育形態，體現數學的價值和數學的教育價值”. 在平時的教學中教師應自覺運用數學思想方法引導解題，學生才能感同身受，才會出現“潛移默化”的功效.

從本文“考后調查”之調查三可以看出，由于筆者沒有將題源的教學作為數學思想方法的訓練平臺，造成解法一先入為主的首因效應；忽視最常規的如解法二、解法三、解法四的數學思想方法的引導，如解法四（方程組思想指導下），兩個方程，三個未知數，要得到z的取值范圍，只有靠？駐≥0了，可以說不需太多思考，整個解題過程已非常明確.此類考查，在浙江2010年理科卷第15題也有很好體現，題目：設a1，d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列an的前n項和為Sn，滿足S5·S6+15=0，則d的取值范圍是 . 當年該題得分率僅有0.15.應該也是教師對思想方法重視不夠的原因吧. 從調查四可以了解到，平時可能是教師認為最好的方法如解法一，其解題思路并非自然，在考場上，此類屬于“雕蟲小技”，很難有所作為，只有數學思想方法才是解決問題的“根本大法”，特別是傳統四大數學思想：函數與方程思想、分類與整合思想、轉化與化歸思想、數形結合思想.正如歌曲所唱：“大海航行靠舵手，干革命工作靠的是毛澤東思想.”那么，解數學題靠的是什么？靠的是數學思想.

3. 高三復習應該重視知識的整合、變式的訓練

從局部的調查（調查一、調查二）顯示，很多教師認為本文考題的通法是解法一，這從一方面說明當前教師缺乏自身條件性知識的整合，缺少對例題、習題的深入研究，此情況下很有可能不知不覺就“帶領”學生參加“題海戰術”. 另一方面，學生因為缺少教師的指導，也缺乏學習的方法，如元認知監控性質的反思策略，不能有效將“經典問題”所隱含的思想方法予以提煉并遷移應用. 從調查一、四，也折射出教師中可能存在就題論題的現象，當然，這不是一個高三老師所愿意做的，原因還是自身認知結構的問題. 筆者認為，高考試題給我們帶來的研究價值是不容置疑的，教師可以從研究試題入手，重視知識整合，從一定的高度駕馭高考復習.當然，學生要獲得“經驗”，后跟進的變式訓練是不可少的，比如，本文考題的通性通法是消元思想或方程組思想，在學習后可以跟進如是練習：例x，y∈R且2x2+y2=6x，則x2+y2+2x的最大值為 （答案15）. 總之，只要教師精心設計訓練平臺，將數學思想方法與學生原有知識融會貫通，讓學生感受到數學思想方法的廣泛運用，懂得思維的形成過程，讓思想指導行動就成為可能.如此，就一定能幫助學生適應深化課程改革下的高考.