淺談高三數學復習中的審題教學

眾所周知，高考數學復習應側重兩個方面：其一是緊扣考綱的知識復習與梳理；其二是以培養解題能力為目的的數學方法和數學思想的提煉． 在每年的高考中，我們的考生總是會發生各式各樣、出乎意料、不該發生的錯誤；總是會對一些形式新穎的問題束手無策；總是會在解題中忘記分類討論，忽視隱含條件，答而不全． 究其原因，學生缺乏的不僅是數學知識，也不僅是解題方法和技巧，而是與缺乏“審題”的能力有關． 審題是解題的開始，也是解題的關鍵，然而我們在高三數學復習教學中，忽視了“識題”、“認題”、“審題”的教學，這就導致了學生在解題中發生不該發生的錯誤. 尤其在第二輪高考數學復習中，教師更應重視審題教學，教會學生“三審”、“三挖”和“三思”．

所謂“三審”是：一審文字表述，讀懂命題含意；二審關鍵詞句，理清所給條件；三審縱橫聯系，揭示解題途徑．

所謂“三挖”是：一挖參數所含的制約條件；二挖問題表述中的隱含條件；三挖問題敘述中暗示的解題突破口．

所謂“三思”是：一思題目所要考查的知識范疇；二思題目所要考查的思想方法；三思題目解答的規范性標準和要求．

在審題過程中，只有學生自覺地、有意識地做到“三審”、“三挖”和“三思”，才能有效地促進學生解題思路的正確，解答步驟的完整，減少常規性錯誤，確保在高考中取得較滿意的成績．

在高三數學復習教學中，怎樣滲透審題教學呢？下面列舉案例，意在拋磚引玉．

案例一：深思辨誤

縱觀近幾年高考數學命題，有許多問題表述新穎靈活，問題的解決不需煩瑣計算或推理，直接考查學生對數學概念的理解和掌握． 這需學生在審題中辨誤深思，理解到位就可以在審題中解決問題．

例1.設函數y=lg（ax2+2x+a），其中a∈R.

（１） 若f（x）的定義域為R，求實數a的取值范圍；

（２） 若f（x）的值域為R，求實數a的取值范圍；

（３） 若f（x）在［-1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍.

在教學時，我有意將三個類似的問題放在一起，形成題組，讓學生在審題中進行辨思，調整完善自己的數學認知結構，提高數學思維的深刻性．

對于三個問題，從題目的文字關系看，題意非常清楚，解題的關鍵是讓學生在審題中正確理解題意，看清隱含條件．

第一問：什么是定義域為R，這個學生很清楚，所謂定義域為R，當x取遍一切實數時，它的真數恒為正數．學生自然會想到，使ax2+2x+a>0恒成立，則a＞0，?駐＜0. ?圯a＞1.

第二問：什么叫做f（x）的值域為R，對于這一問，我做過多次試驗，學生都會發生同樣的錯誤. 他們覺得第二問與第一問沒有什么差別，這就要我們在審題教學中讓學生辨思之處，實際上使值域為R，就意味著這個真數能取到所有正實數，真數何時能取到所有正數？學生往往會錯解：a＞0，?駐≥0. ?圯0＜a≤1．

第三問：怎樣才能使f（x）在［-1，+∞）上遞增？這個學生很明白，設t=ax2+2x+a，則y=lgt，因為y=lgt是增函數，所以要使y=lg（ax2+2x+a）在［-1，+∞）上遞增，則只需t=ax2+2x+a在［-1，+∞）上遞增，所以只需二次函數t=ax2+2x+a開口向上，對稱軸小于或等于-1.

∴ a＞0，-≤－１.即a＞0，０＜a≤2.解得０＜a≤2.

上述解答又錯了．為什么！讓學生反思，在反思中重新審題，尋找錯因，挖掘隱含條件，不難發現，字母系數a∈R，所以第一問和第二問必須對a是否等于零進行討論．對于第三問必須挖掘出隱含條件“單調區間必須是定義域的子集”．

正確的解法：

第一問：定義域為R ?圳真數恒為正數，顯然a=0時，真數不可能恒為正數，∴a≠0時，使ax2+2x+a>0恒成立?圳 a＞0，?駐＜0， ?圯a＞1．

第二問：值域為R ?圳真數能取遍所有正實數，有二種可能．①a=0時，2x+1>0，只須x＞－就滿足條件；②a≠0時，拋物線的開口向上且與x軸至少有一個交點．即a＞0，?駐≥0. ?圯０＜a≤１，綜上可得０≤a≤１.

第三問：設t=ax2+2x+a，則y=lgt.

∴y=lgt是增函數，要使函數y=lg（ax2+2x+a）在［-1，+∞）上遞增，且t>0在［-1，+∞）上恒成立． a＞0，-≤－１，a（－１）２＋２（－１）＋a＞０.解得０＜a≤２即為所求．

案例中學生發生的錯誤非常普遍和典型，大家認為這是由于學生的“粗心”導致的，但我們必須認識到這些“粗心”反映了學生不會審題，缺乏挖掘隱含條件的意識，這是我們解題教學的失誤．沒有教會學生怎樣審題，學生根本沒有“三審”、“三挖”、“三思”的意識，由于審題沒有到位，所以直接影響到解題的失敗！

案例二：遷移轉化

很多高考命題，從表面上看可以歸結到某一知識點上，但具體解決又很難和這個知識點聯系起來，整個解題過程基本沒有什么特殊技巧，卻處處考查學生的遷移轉化能力. 因此，在審題教學中，讓學生從審題中展開聯想，學會轉化與化歸，從而提高解題能力．

例2 已知a>0，a≠1，函數f（x）=loga（x-ak）-log（x2-a2）至少有一個零點，求實數k的取值范圍．

綜觀試題的形式，在審題教學中可以設置以下幾個問題．

（１） 函數f（x）至少有一個零點可以作如何轉化？

（２） 底數的區別a與a2，如何得以統一？

（３） 在命題的表述中，應挖掘哪些隱含條件？

讓學生展開聯想，探索解題突破口，開辟解題途徑，讓學生自己發現如下二種轉化方法.

解法一：f（x）有零點?圳方程loga（x-ak）=

log（x2-a2）有解?圳x-ak＞0，log（x-ak）2=log（x2-a2）

?圳x-ak＞0，x2-a2＞0，（x-ak）2=（x2-a2）

?圳x＞ak，2kx=a（1+k2）. （a＞0，且a≠１）

當k=0時，解集為.

當k≠0時， x=＞ak?圯＞k?圳k＜-1，或０＜k＜１.

∴所求k的范圍是（-∞，-1）∪（0，1）.

解法二：f（x）有零點?圳方程loga（x-ak）=

loga有解?圳x-ak＞0，x-ak=有解，將問題轉化為函數y=x-ak（x>ak）與y=（x≠±a）的圖象有交點，由圖１可見有解的條件是ak<-a，或0

案例三：去偽存真

高考命題中，我們常常會看到以圖形為命題背景創設新穎的問題情境，著重考查學生的創新意識和創新能力的一類試題，此類試題或貌似平淡而意境深遠，或選材平實而構思精巧，或追求公平而不乏新意．

例3 某地一年的氣溫Q（t）（單位：℃）與時間t（月份）之間的關系如圖２所示，已知該年的平均氣溫為10℃，令G（t）表示時間段〔0，t〕的平均氣溫，G（t）與t之間的函數關系用下列圖象表示，則正確的應該是（ ）

本題選材來源于生活，表述通俗易懂，圖文并茂，背景公平、合理、自然，通過函數圖象的方式揭示兩種“氣溫”之間的內在聯系，有效考查學生的識圖能力，此題信息量大、圖形不規則，將學生置于陌生的情境之中．因此在審題教學中要求學生讀懂題意，去粗取精，去偽存真地處理各類信息，自我實現文字語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉化．由年平均氣溫為10℃，易知G（12）=10可排除D；由原圖可知前6個月的平均氣溫應為0，即G（6）=0，排除C；對照A，B選項可知，在大于6時的某一段氣溫應超過10℃，因此排除B，故選擇A．

也可以由t在12附近時，Q（t）<10．從而在此之前G（t）>10從而排除B；t在6附近時，Q（t）>10．從而G（t）應為增函數，從而排除C，故選A．

案例四：洞察本質

例4 如圖3所示，一質點P（x，y）在xOy平面上沿曲線運動，速度大小不變，其在x軸上的投影點Q（x，0）的運動速度V=V（t）的圖象大致為（ ）

本題的圖形極不規則，切入點隱蔽含蓄，這就要求學生有較強的審題的能力，尋找運動曲線與運動速度的內在聯系，洞察問題的本質屬性，尋找解題突破口，本題的解決涉及數學知識較少，幾乎無須計算，從而更突出了審題能力的重要．

由圖可知，當質點P（x，y）在兩個封閉曲線上運動時，投影點Ｑ（x，０）的速度先由正到0、到負數，再到0，到正，故Ａ錯誤；質點P（x，y）在終點的速度是由大到小接近0，故Ｄ錯誤；質點P（x，y）在開始時沿直線運動，故投影點Ｑ（x，０）的速度為常數，因此Ｃ是錯誤的，故選Ｂ.

案例五：挖掘內涵

近幾年，浙江高考數學命題從學科整體知識結構和思想體系的高度設計試題，深化能力立意，突出數學內涵．因此在復習教學中應注重對數學內涵的理解，在審題教學中應提醒學生多角度、多層次地挖掘命題的內涵，尋求解題途徑．

例5 已知數列｛an｝的首項a1=，an+1=，n∈N*．

（１） 求｛an｝的通項公式；

（２） 證明：a1+a2+…+an＞.

在審題教學中，對于第一問學生都會從條件an+1=著手，將其化為=+，由此讓學生展開聯想，如何將問題轉化為等差或等比數列問題來求解？不難發現，可將上式轉化為下面兩種形式：

-=2#8226;3n，或－１＝（－１），

進而求得an＝.

對于第二問：學生通過對問題觀察，自然會想到先求和a1+a2+…+an后證明，或者用數學歸納法證明.但這兩種方法難度都較大，且在證明中技巧性強，在審題中可引導學生挖掘命題的內涵，揭示其本質，尋求簡潔的解題方法．設問，左邊是什么？（｛an｝的前n項和），右邊是什么？（），可否視為某個數列｛bn｝的前n項和Sn，將問題轉化為先由Sn求得bn后比較an與bn的大小，即將比較和的大小轉化為比較每一項的大小，這種轉化很直觀地讓學生看清了問題的內涵，從而可以輕松求解：令數列｛bn｝的前n項和Sn＝，根據公式bn＝s1，（n=1），sn-sn-1，（n≥2），可得：

bn＝，（n=1），＝１－，（n≥2）.

又∵ an＝1-，∴只須證明3n＞２n2＋２n－２.

事實上n=1，2時顯然成立，n≥3時，3n=（１＋２）n≥１＋Ｃ1n２+Ｃ2n4+Ｃ3n8=1+2n2+≥１＋２n2＋＞2n2＋2n－２，得證．

這種方法自然而漂亮，比標準答案好得多！

新課程注重學生數學閱讀能力的培養，近兩年浙江高考數學卷，較多試題的選材和設計都是平凡中顯新奇，令人耳目一新，在保持常規內容和方法題目的同時，別具匠心地設計了一批立意高、思路闊、情境公平、數學語言化程度高的創新試題，這些試題對數學語言的閱讀理解、轉化、表達等能力要求很高，需要考生有較強的數學閱讀與審題能力．因此在高考數學二輪復習教學中，教師有意識地培養學生的審題能力是很有必要的．