思想支配行動

在數學學習過程中，給我們留下深刻印象的是不斷地提出問題、研究問題、解決問題． 同樣在數學高考中，衡量我們學習數學的水平也主要通過解決數學問題的水平來評價． 數學活動中離不開解數學問題．

一般地，解決數學問題會遇到兩種疑難問題． 即知識性疑難和策略性疑難． 對于知識性疑難，主要是對相關的數學概念、數學結論不熟悉、沒有掌握，因而無法解決問題．策略性疑難則是對所要解決的問題的認識、對解決問題方法的選擇和對解題過程的調控出現困難． 在高考中所出現的解題困難主要是由于策略性疑難所造成的． 其實解題策略也是一套如何學習、記憶、思維的規則和程序． 它控制著人的學習、記憶和思維活動． 因此在高考復習中，應該加強學生解題策略性思維的訓練，提高學生的數學思維能力． 本文針對如何掌握解題中策略性知識談一些想法，供大家參考．

一、 關注問題本質的策略

例1 已知函數h（x）為奇函數，當x≥0 時，

h（x）=３x2．若3h（x）≤２h（x+sinα），對α∈R恒成立， 求x的取值范圍．

分析：此問題的本質是函數的奇偶性與單調性的運用． 顯然h（x）=3x2，x≥0，-3x2，x＜0.但如何解決3h(x)≤2h（x+sinα），對α∈R恒成立的問題，有著不同的策略．

策略1：利用h（x）的圖象，分區間討論解決．

（1） 因 x-1≤x+sinα≤x+1． 當x≥1時，3h（x）=9x2，2h（x+sinα）=6（x+sinα）2，要使3h（x）≤2h（x+sinα）對α∈R 恒成立，必須使3x2≤2（x-1）2成立．但當x≥1時，3x2≤2（x-1）2不成立．所以x＜1；

（2） 當0≤x＜1時， x-1＜0． 因此存在角α，使x+sinα＜0． 于是

2h（x+sinα）＜0． 但3h（x）≥０．所以x＜0；

（3） 當x＜0時，要使3h（x）≤2h（x+sinα），對α∈R恒成立． 必須

-3x2≤-2（x-1）2，于是x≤（x-1），即x≤

-2-．

綜上所述：x的取值范圍是（－∞，-2-］.

策略2：利用h（x）這個函數的性質． 很明顯我們知道函數h（x）在R上是奇函數且是增函數．

h（x）＝3x2，x≥0，-3x2，x＜0.即h（x）＝3xx． 從函數整體上看，3h（x）=3#8226;x#8226;x＝h（x） ．

同理２h（x+sinα）＝h（x+sinα）． 于是條件3h（x）≤2h（x+sinα）等價于h（x）≤h（x+sinα）． 由于h（x）是R上的增函數，即

x≤x+sinα，對于α∈R恒成立． 故有 x≤-2-．

從以上兩種策略看，策略1是著眼于具體的函數h（x），而策略2關注的是函數的一般性質．因此從更高的層面去認識問題的本質，對于解決數學問題是有重要意義．

二、 關注問題信息的策略

例2 已知F1，F2是橢圓+=1（a＞b＞０）的左右焦點． 弦AB經過點F2，且｜AF2｜＝2｜F2B｜，tan∠AF1B=．

（1） 求橢圓的離心率e；

（2） 若△F1F2B的面積為2，求橢圓方程．

分析：對于解析幾何綜合題而言，如何尋找簡捷的解題策略是問題解決的重要關鍵． 決定解題策略的重要因素是題目中所提供的信息，對于題目中信息的判斷與掌握. 在本題中，重要的信息有兩個：｜AF2｜＝2｜F2B｜，tan∠AF1B=．如何利用這些已知條件有不同的策略．

1． 關于條件｜AF2｜＝2｜F2B｜

這是有關焦點弦的問題，處理有關焦點弦的問題一般有以下幾種策略.

（1） 利用極坐標方程來解決相關的問題． 以F2為極點， F2x為極軸建立極坐標系． 則橢圓的極坐標方程為ρ=． 設∠AF2x＝α． 則 ｜AF2｜=，｜BF2｜=． 因｜AF2｜＝2｜F2B｜． 所以=，得e=-.①

（2） 由直線的參數方程，參數的幾何意義來處理相關問題．

設直線AB的方程為x=c+tcosα，y=tsinα， （其中t為參數）． 將直線方程代入橢圓方程． 可得（a2sin2α+b2cos2α）t2+2b2ctcosα-b4=0．

于是t1+t2 =-， ②

t1#8226;t2 =-. ③

因｜AF2｜＝2｜F2B｜．設點AB對應的參數分別為t1，t2． 則有 t1+2t2=0.④

由②、③、④式可得a2=9c2cos2α.⑤

（3） 由定比分點坐標公式，結合直線與圓錐曲線交點坐標來解決相關問題．

設直線AB的方程為y=k（x-c），且A（x1，y1），

B（x2，y2）.由+=1，y=k（x-c）， 可得（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0． 于是x1+x2=， x1#8226;x2=；因｜AF2｜＝2｜F2B｜． 由定比分點坐標公式，可得c=．于是x1=，x2=． 所以有a2k2+a2=9c2 .⑥

（4） 由于點A，B都在橢圓上，可以利用點差法解決相關問題．

因點A，B都在橢圓上，故有+=1，+=1.

因為｜AF2｜＝2｜F2B｜，所以有c=，0=.利用點差法有 =-3，即（x1+2x2 ）（x1－2x2 ）＝－３a2，亦即x1+2x2 ＝３c，x1-2x2 ＝-． 于是x1＝-， y1=k（x1－c)=

-． 點A在橢圓上，則+=1，化簡可得k2=.⑦

以上采用的四種不同策略所得到的四個結果①、⑤、⑥、⑦都是等價的．

2． 關于條件tan∠AF1B=

這是關于角的條件，解析幾何中關于角的處理策略一般有以下幾種方法.

（1） 利用一條直線到另一條直線所成角的公式tanθ＝． 實際上這是具有解析幾何特征的處理有關角問題的方法．

實際上kF1A=，kF1B=．故已知條件為tan∠ＡＦ１Ｂ ＝＝． 因y1＝k（x1-c），y2＝k（x2-c）． 所以＝． 代入x1+x2=和x1#8226;x2=，可得

-＝． 由⑥可知k2=9e2-1，而k＜０． 故有＝．

整理得9（1－e2）２＋１６（1－e2）－４（9e2-1）＝０.

分解因式得［（1－e2）＋２］［９（１－e2）－

２］＝０． 因此９（1－e2）＝２． 于是８１e４－１９８e2＋８５＝０． 解得e2＝，或e2＝（舍去）．

（2） 利用正、余弦定理． 正、余弦定理是處理三角形邊與角關系的有力工具，在解析幾何中也有著廣泛的應用．

在△AF1B中，設｜F2Ｂ｜＝t． 因｜AF2｜＝2｜F2B｜，則

｜AF2｜＝2t． 所以｜AB｜＝3t． 根據定義有｜AF1｜＝2a-2t，

｜BF1｜＝2a-t． 由tan∠AF1B=，得cos∠AF1B=. 根據余弦定理｜AB｜2＝｜AF1｜2+｜BF1｜2

-2#8226;｜AF1｜#8226;｜BF1｜cos∠AF1B． 因此有

9t2=（２a-2t）2+（2a-t）2-2（2a-2t）（2a-t）#8226;，化簡得9t2+3at-2a2=0 ．

所以t=，或t=- （舍去）． 于是AB=a ．因為AB2+ AF12=BF12，即∠F1AF2＝90°．由勾股定理｜F1F2｜2＝｜AF1｜2+｜AF2｜2，即4c2=（）２＋（）２，得e2=，即e=．

求出離心率以后．由于△AF1B為直角三角形，sin∠F1BF2=，有S△F1BF2＝＝２．即a２＝９，c２＝5，b２＝4． 所求的橢圓方程為+=1．

在本問題求橢圓離心率的過程中，我們可以看出求解數學問題中策略性知識的重要性． 選擇不同的策略，會有不同的解題過程，也會遇到不同難度的解決方法． 在高考中如何選擇合適的策略，可以關系到考試的成敗．選擇合適的解題策略，首先需要對題目中的信息進行正確的分析和制定正確的解題路線．

三、 關注問題特例的策略

例3 已知橢圓C：+=1． 若直線l：y=k（x-1）（k≠０）與橢圓C交于M，N兩點． 證明直線AM與直線BN的交點在定直線上，并求該直線的方程．

分析：解決此問題一般有以下幾種策略：

策略1：先由橢圓與直線的方程求出點M，N的坐標，然后寫出直線AM與直線BN的方程，利用兩直線方程求出點E的坐標． 這是關于k的表達式， 觀察當k變化時，交點E的運動軌跡是何直線．

設M（x1，y1），N（x2，y2）．由+=1，y=k（x-１）.得

（３＋４k2）x2-8k2x+4k2-12=0 ．所以x1+x2=， x1#8226;x2=；如圖所示，直線AM的方程為：y=（x+2）．直線BN的方程為y=（x-2）．于是由y=（x+2），y=（x-2）， 可得=． 因為（x1+2）（x２－１）=x１x２－x１＋２x２－２＝x１x２＋２（x１＋x２）－２－３x１＝＋－２－３x１＝－３x１；

（x1－１）（x２－２）=x１x２－２x１－２x２＋２＝x１x２－（x１＋x２）＋２－x１＝－＋２－x１＝－x１．所以＝３，得x＝４． 因此直線AM與直線BN的交點在直線x＝４上．

策略2：先通過直線l特例，探索直線AM與BN交點坐標的位置． 猜想出它們的交點所在的直線（兩點確定一條直線），然后予以證明． 這是一種常用的解題策略，體現數學從特殊到一般的思想．

考慮直線l的特殊位置，即直線l垂直于x軸時的情況.

此時直線l的方程為x=1，代入橢圓方程得點M，N的坐標為M（1，），N（1，-）；直線AM的方程為y=（x+2）． 直線BN的方程為y=（x-2）． 聯立兩方程解得交點E的坐標為E（4，3）；同理當M（1，-），N（1，）時． 直線AM與BN的交點F的坐標為F（4，－3）；如果交點在某條直線上，則這條直線必經過E，F兩點，即定直線為x=4. 下面證明這個猜測是正確的．要證明交點在直線x=4上，只要證明直線AM上橫坐標為4的點E（4，）在直線BN上． 即證明：=，即=． 所以要證明2x1x2-5（x1+x2）+8＝0；因為2x1x2-5（x1+x2）+8＝－+8＝0． 所以直線AM與BN的交點在定直線x=4上．

由此可以看出關注問題的特例可以幫助我們正確分析解題思路，有助于正確選擇合適的解題策略，提高解題速度和準確率．

四、 關注問題結構的策略

例4 （1） 已知函數f（x）=lnx-x+1， x∈（0，

+∞）． 求函數f（x）的最大值；

（2） 設ak#8226;bk（k＝1，2，…，n）均為正數． 證明：

①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，

則a1b1#8226;a2b2…anbn≤1；

②若b1+b2+…+bn＝1，則≤b1b1#8226;b2b2…bnbn≤b21+b22+…+b2n．

分析：對于問題（1）這是一個常規的利用導數求函數最值的問題． f′（x）=-1，令f′（x）=0，得x=1． x=1是函數 f（x）在定義域（0，+∞）內的唯一的極大值點，于是 fmax（x）= f（1）=0． 對于問題（2）解題過程中存在的障礙是很難發現問題（1）與問題（2）之間的關聯；其次，如果直接證明不知如何下手，缺少解題的頭緒．面對這類問題我們通常采用關注問題的結構去探尋解題方法的策略． 對于問題①，我們要證明的結論是a1b1#8226;a2b2…anbn≤1，即要證明b1lna1+b2lna2+…+bnlnan≤0． 這與問題（1）有類似的結構， 問題（1）說明lnx≤x-1，所以就有：

b1lna1+b2lna2+…+bnlnan≤b1（a1-1）+b2（a2-1）+…+

bn（an-1）＝a1b1+a2b2+…＋anbn-（b1+b2+…+bn）≤0成立． 因此a1b1#8226;a2b2…anbn≤1成立．

對于問題②，我們要證明的結論是在條件b1+b2+…+bn=1，有≤bb11#8226;bb22…bbnn≤b21+b22+…+b2n． 先看結論bb11#8226;bb22…bbnn≤b21+b22+…+b2n． 與問題①中的結論ab11#8226;ab22…abnn≤1有相似之處． 仿照問題①作結構上的變換≤1（*）． 記t=b21+b22+…+b2n，則有≤1. 因b1+b2+…+bn=1，則（*）式變換成（）b1#8226;（）b2…#8226;（）bn≤1． 至此與問題①的結構完全相同．要證明此式，只要驗證它符合問題①中的條件：#8226;b1+#8226;b2+…+#8226;bn＝１＝b1+b2+…+bn成立．

則有bb11#8226;bb22…bbnn≤b21+b22+…+b2n成立． 同樣對于結論≤bb11#8226;bb22…bbnn，依問題①變換其結構為≤1，即（）b1#8226;（）b2…（）bn≤1． 轉化成與問題①具有完全相同的結構． 只此，同樣只需驗證其滿足問題①的條件即可． 因（）#8226;b1+（）#8226;b2+…+（）#8226;bn＝1＝b1+b2+…+bn，故≤

bb11#8226;bb22…bbnn成立．

對于數學問題而言，其形式結構是很重要的， 這種結構從某種意義上說是模式的識別與轉化． 其本質是數學問題的化歸，其關鍵是在解題過程中不斷目標與結論、已知與未知之間的關聯，從而獲得問題解決的策略．

從以上的幾個例題分析，我們可以得出這樣的結論，在數學問題解決的過程中，策略性的知識其實是非常重要的． 獲得正確的解題策略的關鍵是對問題具體情境的審時度勢． 依據條件和目的，形成支配知識的“解題思想”，成功了的思想是合理的、自然的． 但在實現他之前并不表現出必然性，帶有試探、猜測，需要抉擇，解題思想的形成更多地依賴以往的經驗和感受． 因此要高考復習中要注意把握問題的基礎與適度、以及解題過程的系統與協調，解題中策略性知識的特點決定了很難在教學中去傳授． 因此在高考復習過程中要設法讓學生在參與中親身去體驗、去回味． 這種體現數學思維特點的活動，最能體現出人的適應性、機變性，最能體現出解題活動的智力價值，也應該是數學高考的重點．