對課本一道定值例題中不定的探究

北師版高中數學選修1—2第61頁例3“已知x，y，z為互不相等的實數，且x+=y+=z+，求證x2y2z2=1”教材用輪換對稱思想證明了結論，那么x+是否也是定值呢？

探究1:若x，y互不相等，且x+=y+求x+的值。

令x+=y+=k，得y=k-，代入x+=k得x+=k：，即k（x2-kx+1）=0當k=0時，x+=0，當k≠0時，x2-kx+1=0此時：x=k-=y與已知矛盾，所以x+=0。

探究2:若x，y，z為互不相等的實數且x+=y+=z+，求x+值可類比探究1處理，令x+=y+=z+=k，得：z=k-，=代入x+=k得x+=k，即（k2-1）（x2-kx+1）=0當k2-1=0時x+=±1，當k2-1=≠0時，同理可得x=y=z與已知矛盾，那么任意多個字母如何處理？

結論

（1） 令n個字母時x2-kx+1的系數為an（n≥2），規定a1=1，則a2=k，a3=k2-1由迭代過程知an=kan-1-an-2(n＞2，n∈N)

（2） 當 時，其中an=，=，

=

證明：令G(x)=a1x+a2x+a3x+…用x3乘a3=ka2-a1兩邊，x4乘a4=ka3-a2兩邊x5乘a5=ka4-a3-…并形式地把這無窮多個新等式相加得：

左=G(x)-kx2-x，右=kx[G(x)-x]-x2G(x)側G(x)===+

所以:A+B=0(A-B)=1得A=，B=-則：G(X)=+

=[(-)x+(2-2)x2+…]

an= 其中=，=

至此本文已解決了任意多個字母的x2-kx+1的系數的通項公式，也就解決了x+的值的問題。

作者單位 陜西省靖邊縣第三中學

責任編輯 張曉楠