函數、方程問題中的構造法解題策略

函數與方程思想是最重要的一種數學思想，高考中所占比重較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多。函數思想即將所研究的問題借助建立函數關系式亦或構造中間函數，結合初等函數的圖象與性質，加以分析、轉化、解決有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題；方程思想即將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型加以解決。

一、求值

例1：設x，y為實數，且滿足 ，

則x+y=_______。

解：由已知條件，可得：

故若設f（t）=t3+1997t，則上述條件即為：f（x-1）=f（1-y）=-1。

又易知函數f（t）=t3+1997t在R上是單調增函數，所以由上式有：x-1=1-y，即：x+y=2。

二、解方程

例2：解方程（5x+3）3+x3+6x+3=0

解：原方程變為：（5x+3）3+（5x+3）=-（x3+x）

設f（x）=x3+x，則原方程即為：f（5x+3）=-f（x），又f（-x）=- f（x），從而原方程即為：f（5x+3）=-f（x）。

又易知函數f（x）=x3+x在R上單調遞增，所以有5x+3=-1，解得原方程的解為：x=-1/2。

三、比較大小

例3：已知a＞1，且ax-logay＞ay-logax，試比較x，y的大小。

解：由條件得：ax+logax＞ay+logay

引入函數f（t）=at+logat，則上式即為：f（x）＞f（y）。

易知函數f（t）=at+logat在（0，+∞）上是增函數，所以x＞y。

四、證明不等式

例4：設 a1、a2、… an為任意正數，證明對任意正整數n不等式（a1+a2 +…+ an）2≤ n （a12 +a22+…+ an2）均成立。

簡證：原不等式即為4 （a1+a2+…+ an）2-4n（a12+a22+…+ an2）≤0

由此聯想到根的判別式而構造一元二次方程：

（a12+ a22+…+an2）x2+2 （a1+a2+…+an）x+n=0 （＊）

因方程左邊＝（a1x+1）2+（a2x+1）2+…＋（anx + 1）2≥0

當a1、a2、…an不全相等時，a1 x+1、a2 x+1、…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數，方程（＊）顯然無解。

當a1=a2=…=an 時，方程（＊）有唯一解x=-

故△=4（a1+a2+…+ an）2-4n（a12 +a22+…+an2）≤0

即（a1+a2+…+an ）2≤ n（a12+a22+…+an2）對任意正整數n均成立。

五、求參數范圍

例5：已知f（t）=log2t，t∈[√2，8]，對于f（t）值域內的所有實數m，不等式x2+mx+4＞2m+4x恒成立，求x的取值范圍。

解析：∵t∈[√2，8]，∴f（t）∈[1/2，3]

原題轉化為：m（x-2）+（x-2）2＞0恒成立

當x＝2時，不等式不成立 ∴x≠2

令g（m）=m（x-2）+（x-2）2，m∈[1/2，3]

問題轉化為g（m）在m∈[1/2，3]上恒對于0，

則：

解得：x＞2或x＜-1