答案并不唯一

數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。

所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對(duì)象分成幾類，分別進(jìn)行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。

分類討論思想，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容中。分類思想不像一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，在學(xué)習(xí)各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內(nèi)涵。下面就初中數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)中“分類思想”的運(yùn)用淺談自己的一點(diǎn)體會(huì)。

一、數(shù)學(xué)概念導(dǎo)學(xué)階段——啟發(fā)學(xué)生分類討論意識(shí)

數(shù)學(xué)概念來源于實(shí)踐，從實(shí)際問題出發(fā)引入概念，使得抽象的數(shù)學(xué)概念貼近生活，使學(xué)生易于接受，還可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的實(shí)際意義。每個(gè)學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識(shí)，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)的分類、絕對(duì)值的意義、不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機(jī)會(huì)。

二、數(shù)學(xué)概念探究階段——指導(dǎo)學(xué)生分類討論方法

數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”以概念為基礎(chǔ)，以過程為導(dǎo)向，是概念教學(xué)的基本理念。讓學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)問題，并通過一定的方式解決問題，這是新課程理念的最好體現(xiàn)。在概念教學(xué)中，教師應(yīng)在學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)背景、能力水平和心理特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)姆独龑?dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)例進(jìn)行觀察、比較，對(duì)概念進(jìn)行假設(shè)、驗(yàn)證，從而獲得正確的概念。

在概念教學(xué)中滲透分類思想時(shí)，首先應(yīng)讓學(xué)生清楚在什么情況下需要考慮分類討論。初中階段需要進(jìn)行分類討論的問題歸納起來主要有以下幾個(gè)方面：（1）由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論；（2）由數(shù)學(xué)變形所需要的限制條件所引起的分類討論；（3）由于圖形的不確定性引起的討論；（4）由于題目含有字母而引起的討論。其次，要讓學(xué)生把握分類的原則。分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；

（3）分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行。最后，要指導(dǎo)學(xué)生掌握一定的分類討論方法。分類是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法，掌握分類的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對(duì)于加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解，提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的。正確的分類必須是周全的，既不重復(fù)、也不遺漏。

有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類。學(xué)生通過適當(dāng)練習(xí)還是比較容易能掌握的。一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：一類是代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。如一次函數(shù)y=kx+b中，對(duì)k、b的取值的討論：k為什么不能為0，b為什么可以為0，要讓學(xué)生知其然，方可才能使學(xué)生知其所以然，在今后的學(xué)習(xí)中才能運(yùn)用自如。又如，一元二次方程ax2+bx+c=0中a的取值問題，根的判別式Δ=b2-4ac的值的討論問題等。另一類是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的確定，逐一討論解決問題。如三角形中高的位置的確定有三種可能。正方形中找一點(diǎn)，使其與正方形各頂點(diǎn)所連的線段分正方形為四個(gè)等腰三角形，這樣的點(diǎn)共有五種可能等。

三、數(shù)學(xué)概念運(yùn)用階段——強(qiáng)化學(xué)生分類討論思想

在自主探究、合作學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)概念有了一般了解。理論只有與實(shí)踐不斷結(jié)合，在實(shí)踐操作過程中強(qiáng)化所學(xué)概念，概念才可能轉(zhuǎn)化為學(xué)生的實(shí)際解決運(yùn)用能力。故我在每節(jié)課后布置與所學(xué)內(nèi)容相適宜的題目，讓學(xué)生練習(xí)中鞏固所學(xué)內(nèi)容。這樣做也是出于不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些問題。只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括、總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性，縝密性。

例如，化簡(jiǎn)：x+2+x-1。

分析：這是根據(jù)絕對(duì)值的意義，圍繞正數(shù)、零、負(fù)數(shù)進(jìn)行分類討論的。

由題可知：當(dāng)x=1時(shí)，x-1=0，當(dāng)x=-2時(shí)，x+2=0。故將數(shù)分成三類：①當(dāng)x＜-2時(shí)；②當(dāng)-2≤x＜1時(shí)；③當(dāng)x≥1時(shí)，即可化簡(jiǎn)這個(gè)代

數(shù)式。

解：①當(dāng)x＜-2時(shí)，原式=-（x+2）-（x-1）=-2x-1；

②當(dāng)-2≤x＜1時(shí)，原式=（x+2）-（x-1）=1；

③當(dāng)x≥1時(shí)，原式=（x+2）+（x-1）=2x+1；

再如，解關(guān)于x的不等式：ax+3＜2x+a.

分析：通過移項(xiàng)，不等式可化為（a-2）x＜a-3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)分為a-2＞0，a-2=0，a-2＜0三種情況分別解不等式

即可。

有些幾何概念是根據(jù)圖形的不同特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行

分類。

例如，等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長(zhǎng)為a，則其腰上的高是 。

分析：本題就是根據(jù)三角形的分類而把問題分解為：當(dāng)?shù)妊切问卿J角三角形時(shí)以及當(dāng)?shù)妊切问氢g角三角形時(shí)這兩類來解決的。

再如，已知：坐標(biāo)平面中，點(diǎn)A（2，0），B（0，4）。在x軸上求一點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形。

分析：根據(jù)等腰三角形的定義，等腰三角形的邊有腰與底之分，學(xué)生只有準(zhǔn)確地理解這些概念，根據(jù)圖形的特征及相互關(guān)系作如下分類，逐一解決問題，才能解決最終問題。

從已知邊AB入手，進(jìn)行分類：

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因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不可讓學(xué)生生硬地死記，一定要理解。講解這類習(xí)題時(shí)一定要教會(huì)學(xué)生這種分類的思想方法，確保答案

的完整、全面。

分類的根本目的是使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得異常簡(jiǎn)單，解題思路非常清晰，步驟非常明了。這很能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，所以，一名合格的教師一定會(huì)在平時(shí)的概念教學(xué)中強(qiáng)化分類思想方法的滲透的。概念教學(xué)是學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的啟蒙，教與學(xué)好概念，就為今后的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。只要平時(shí)堅(jiān)持這樣的理念，就會(huì)使學(xué)生在認(rèn)識(shí)層次上得到極大的提高，使以后的學(xué)習(xí)收到事半功倍的效果。

（作者單位 江蘇省興化海南中心校初中部）