在練習(xí)中感悟數(shù)學(xué)思想方法

“陰影面積的計(jì)算”是人教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，是中考中的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題。鄧?yán)蠋焽@陰影部分面積計(jì)算中的重點(diǎn)、難點(diǎn)展開教學(xué)，所選的練習(xí)和例題以最新中考題為主，具有代表性、新穎性、綜合性的特點(diǎn)，同時(shí)對(duì)解決問題的方法通過練習(xí)進(jìn)行了較為全面的歸納整理，數(shù)學(xué)思想方法更是貫穿在一個(gè)個(gè)不同的練習(xí)中，促使學(xué)生的知識(shí)、能力充分發(fā)展，讓他們?cè)诰毩?xí)中感悟數(shù)學(xué)思想方法。

片段一 題組練習(xí)，夯實(shí)基礎(chǔ)

師：這節(jié)課，我們一起來學(xué)習(xí)陰影面積的計(jì)算問題，先請(qǐng)同學(xué)們完成下列一組練習(xí)。（老師在投影上出示練習(xí)題）

1.如圖1，⊙A和⊙B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)y=■的圖像上，則圖中陰影部分的面積等于________。

2.已知：如圖2，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形。若斜邊AB=3，則圖中陰影部分的面積為________。

3.如圖3，已知點(diǎn)A、B、C、D均在⊙O上，AD//BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°四邊形ABCD的周長(zhǎng)為10 cm。圖中陰影部分的面積為____ cm2

A.10 B.16 C.20 D.36

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（學(xué)生開始做題，老師巡視，等待學(xué)生做完題）

師：現(xiàn)在我請(qǐng)一些同學(xué)來說出這些題的答案，并說明理由。

生1：第1題填π。因?yàn)椤袮和⊙B都與x軸相切，圓心在y=■，所以得出圓的半徑為1，然后通過旋轉(zhuǎn)變換，將⊙A中的陰影變換到⊙B中，正好得到一個(gè)圓，所以陰影部分的面積為π。

師：很好，第2題呢？

生2：本題填■。可以先求出△ABE的面積為■，再用勾股定理將△AHC、△BFC的面積之和轉(zhuǎn)化為△ABE的面積，也是■，所以總面積為■。

生3：第3題我算的結(jié)果為■π-■。

師：上面3個(gè)習(xí)題用到了哪些面積轉(zhuǎn)化的方法？

生4：第1題用了等積變換法，第3題計(jì)算弓形面積用割補(bǔ)法，第2題運(yùn)用了整體思想，即把幾個(gè)陰影部分當(dāng)做一個(gè)整體來求。

師：生4回答得很好。對(duì)于能求的陰影面積，我們可用公式直接求解，對(duì)于不能求的陰影面積，則常用割補(bǔ)法。另外等積變換也是轉(zhuǎn)化面積的常用方法，如軸對(duì)稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換以及三角形的同（等）底等（同）高等，對(duì)于多個(gè)部分的面積求和常轉(zhuǎn)化為一個(gè)整體求解。

【賞析】在教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的情形，學(xué)生練得很多，也很精細(xì)，但收效并不大。其原因之一就是孤立地練習(xí)，沒有組成練習(xí)系統(tǒng)，結(jié)果學(xué)生的知識(shí)始終是零散的，很難達(dá)到系統(tǒng)整體掌握。在本教學(xué)片段中，鄧?yán)蠋熢O(shè)計(jì)了3個(gè)求“陰影面積的計(jì)算”的題組練習(xí)，這些練習(xí)按照一定的教學(xué)重點(diǎn)和學(xué)習(xí)方法對(duì)練習(xí)重新優(yōu)化組合，有助于學(xué)生系統(tǒng)掌握知識(shí)，以查缺補(bǔ)漏。在教學(xué)中，鄧?yán)蠋煹囊痪湓挘骸吧厦?個(gè)習(xí)題用到了哪些面積轉(zhuǎn)化的方法？” 就是引導(dǎo)學(xué)生歸納求面積的方法，讓學(xué)生自己感悟練習(xí)中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想。

片段二 例題學(xué)習(xí)，提升能力

師：復(fù)習(xí)完了上面的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法之后，我們結(jié)合所學(xué)知識(shí)來學(xué)習(xí)下面的例題：

例1 如圖4，在△ABD中，C是BD邊上一點(diǎn)，若E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，且△ABC的面積為14，求△DEF的面積。

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師：讀完題目后，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

生1：EF是△ABC的中位線，所以EF∥BC，且EF=■BC。

師：這個(gè)結(jié)論怎么用呢？

生2：由EF∥BC得△AEF∽△ABC，利用相似三角形面積之比等于相似比的平方，從而求出△AEF的面積為3.5。

師：回答得很好，但我們需求的是△DEF的面積，怎樣轉(zhuǎn)化呢？

生3：因?yàn)镋F∥BC，且E是AC的中點(diǎn)，所以△DEF與△AEF同底等高，所以面積相等。

師：很好，從這道題我們收獲了什么呢？

生4：求面積時(shí)，可用相似三角形面積之比等于相似比的平方，也可用等積變形。

師：生4回答得太好了，這兩種方法都是計(jì)算面積的常用方法。

師：學(xué)完了例1，大家來看看例2又怎樣來解決呢？

（老師在投影上打出例2，學(xué)生認(rèn)真讀題）

例2 將一副三角板按如圖5位置擺放，使得兩塊三角板的直角邊AC和MD重合。已知AB=AC=8 cm，將△MED繞點(diǎn)A（M）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后（圖6），兩個(gè)三角形重疊（陰影）部分的面積約是_______cm2 （結(jié)果精確到0.1，■≈1.73）。

師：要求本題中的陰影，你找到了哪些可用的條件呢？

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生5： AC=8 cm，只需求AC邊上的高即可。

生6：∠BCA=45°由旋轉(zhuǎn)還能得到∠DAC=60°。

……

師：從這道題你學(xué)到哪些數(shù)學(xué)思想方法呢？

生7：當(dāng)三角形是斜三角形時(shí)，為求面積常作高。

生8：本題用到了方程思想。

師：對(duì)，方程思想是重要的數(shù)學(xué)思想，在計(jì)算時(shí)經(jīng)常用到，大家解題時(shí)要重視方程思想。

【賞析】波利亞認(rèn)為：要把三分之一的努力花在教基本的數(shù)學(xué)上，而把三分之二的努力花在培養(yǎng)學(xué)生有益的思維方法和思維習(xí)慣上。鄧?yán)蠋熢诮虒W(xué)中有效地發(fā)掘了學(xué)生潛能，把培育學(xué)生數(shù)學(xué)思想、提升學(xué)生的基本素養(yǎng)納入教學(xué)的視野，通過不斷設(shè)問，使生成躍入課堂，豐富了學(xué)生探索的旅程。當(dāng)有學(xué)生總結(jié)了本題用到了方程思想，鄧?yán)蠋煾嬖V同學(xué)們：“方程思想是重要的數(shù)學(xué)思想，在計(jì)算時(shí)經(jīng)常用到，大家解題時(shí)要重視方程思想。”是啊，授之以魚不如授之以漁，教給學(xué)生方法永遠(yuǎn)比只教如何解題重要。

片段三 鞏固練習(xí)，拓展提升

（老師在投影上出現(xiàn)一組練習(xí)題，讓學(xué)生練習(xí)）

1.如圖7，⊙O的半徑為2，C1是函數(shù)y=■x2的圖像，C2是函數(shù)y=-■x2的圖像，則陰影部分的面積是_____。

2.如圖8，已知EF是梯形ABCD的中位線，△DEF的面積為4 cm2，則梯形ABCD的面積為 ______cm2。

3.如圖9，平行于y軸的直線l被拋物線y=■x2+1、y=■x2-1所截。當(dāng)直線l向右平移3個(gè)單位時(shí)，直線l被兩條拋物線所截得的線段掃過的圖形面積為________平方單位。

生7：第1題填2π，第2題填16 ，第3題填3。

師：有不同意見嗎？

生3：第3題是6，其余與他一樣。

師：我們一起來看一看第3題，哪個(gè)同學(xué)來談?wù)勀愕姆椒ǎ?/p>

生5：如圖9，我發(fā)現(xiàn)直線l被拋物線y=■x2+1、y=■x2-1所截的線段長(zhǎng)總為2，所以我通過平移將圖形補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形（如圖10），底為2，高為3，從而求出面積是6。

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師：對(duì)的，這道題實(shí)際上還用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，其他各題用到了哪些方法呢？

生1：第1題用軸對(duì)稱變換把陰影拼成一個(gè)半圓。

生2：第2題用整體思想，三角形的底與梯形中位線相同，高為梯形面積的一半，所以三角形的面積是梯形的四分之一。

師：同學(xué)們歸納得很好，在解題時(shí)要重視應(yīng)用這些思想方法。

【賞析】本來，陰影面積的計(jì)算，給人的感覺是冰冷的、枯燥的。因此，反復(fù)演練直至“熟能生巧”成了常態(tài)的教學(xué)，隨即也促成了課堂的枯燥低調(diào)，學(xué)生學(xué)得乏味寡淡，老師教得興味索然，而鄧?yán)蠋煈{借自己的教學(xué)智慧，把這種工具性作用的技能教學(xué)融入輕松的練習(xí)之中，營(yíng)造出靈動(dòng)的課堂，開闊了學(xué)生的思維，學(xué)生就在不知不覺中把方法掌握了，把思想領(lǐng)會(huì)了。這樣，學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得愉快。

縱觀本節(jié)課，鄧?yán)蠋熡苫A(chǔ)練習(xí)到例題提高再到拓展訓(xùn)練，不斷鞏固知識(shí)，對(duì)能力要求逐步提高，使本堂課的學(xué)習(xí)收效高。先練后評(píng)的模式設(shè)計(jì)，使學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，并在活動(dòng)中進(jìn)一步加深數(shù)學(xué)感受，知識(shí)不斷內(nèi)化，能力不斷生成，使學(xué)生在不斷的練習(xí)中感悟方程思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想等數(shù)學(xué)思想方法。（作者單位：江西教育期刊社）■

□責(zé)任編輯 孫恭偉

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