發現中學習 學習中發現

所謂發現學習，就是通過學習者的獨立學習，獨立思考，自行發現知識，掌握原理原則． 布魯納認為，只有學生自己親自發現的知識才是真正屬于他自己的東西． “發現學習”強調的是學習過程，而不是學習的結果． 教師教學的主要目的，就是要學生親自參與所學知識的體系建構，自己去思考，自己去發現知識． 教師教學的目的不是要學生記住教師和教科書上所陳述的內容，而是要培養學生發現知識的能力，培養學生卓越的智力． 以下是筆者在選修2-2推理與證明教學中的一個體現“發現學習”理念的案例.

例1 已知a，b，c為△ABC的三邊，求證：abc≥（a+c-b）（a+b-c）（b+c-a）.

一、 發現變量關系，利用基本不等式解決

學生經過思考發現不等式左邊和右邊變量之間存在著關系，即=a，=b，=c，從而自己發現了以下兩種證明方法.

證法1：因為a，b，c為△ABC的三邊，所以b+c-a＞0，a+c-b＞0，a+b-c＞0，

因為（a+b-c）（a+c-b）≤［］2，

所以 （a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）≤a2（b+c-a）.（1）

同理（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）≤b2（b+c-a）.（2）

（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）≤c2（b+c-a）.（3）

因為（1）（2）（3）三式兩邊都大于0，所以（1）（2）（3）三式兩邊分別相乘，得［（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）］3≤a2b2c2（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a），

即abc≥（a+c-b）（a+b-c）（b+c-a）.

證法2：因為a，b，c為△ABC的三邊，所以b+c-a＞0，a+c-b＞0，a+b-c＞0，

a＝≥.（4）

b＝≥.（5）

c＝≥.（6）

因為（4）（5）（6）三式兩邊都大于0，所以（4）（5）（6）三式兩邊分別相乘，得abc≥（a+c-b）（a+b-c）（b+c-a）.

二、 發現新形式，師生合力解決

總結講解完以上兩種方法后，學生1舉手說：由（a+c-b），（a+b-c），（b+c-a）這三個量出發，我聯想到余弦定理：

cosα＝，cosβ＝，cosγ＝，因此想構造以，，為邊長的三角形，利用余弦定理來證明．

不管以上方法能否解決此題，學生1能夠發現形式，聯想到構造三角形用余弦定理來解決，已經很好了，在全班同學們的掌聲中，我當場大力表揚了該學生，并按照他的想法，進行了以下證明.

證法3：a，b，c為△ABC的三邊，所以b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，

易證+＞，+＞，+＞，所以以，，為三邊長也能夠構成三角形． 設邊，，所對的角分別為α，β，γ． 則α+β+γ＝180°，

由余弦定理得：cosα＝，cosβ＝，cosγ＝，

要證abc≥（a+c-b）（a+b-c）（b+c-a），

只需證abc≥2cosβ?2cosγ?2cosα，

即證：cosα?cosβ?cosγ≤成立，

∵cosα?cosβ＝＝，

則cosα?cosβ?cosγ＝-cos2γ+cosγ

≤-cos2γ+cosγ，所以當cosγ＝時，

cosα?cosβ?cosγ的最大值為.

證法3方法比較新穎，發現余弦定理形式，進行構造，其中在證明cosα?cosβ?cosγ＝時，學生遇阻，在教師的引導下，師生共同努力，使問題得到了解決．

三、 再現新發現，證法又起波瀾

在大家沉浸在證法3的奇妙與解出題目后心情愉悅的時候，對數學很會鉆研的學生2舉手發言了：由（a+c-b），（a+b-c），（b+c-a）這三個量出發，我聯想到必修五課本中的閱讀材料里講過的海倫公式，這個題目我想利用三角形面積來進行解決．

海倫公式：a，b，c為△ABC的三邊，則△ABC的面積S＝，其中p=．

海倫公式是必修五課本中的閱讀材料里的內容，不是要求掌握的內容，學生2善于發現，并記住了這個公式，全班同學又有了新的興趣點，證法再起波瀾． 我按照學生2說的思路進行了證明.

證法4：把p=代入S＝得：S＝，

（b+c-a）?（a+c-b）?（a+b-c）＝，（7）

設△ABC內切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R. △ABC的面積為S.

則S＝（a+b+c）?r，∴ a+b+c＝代入（7）式得（b+c-a）?（a+c-b）?（a+b-c）＝8rS，

S＝absinC=ch，∴==2R，則h=.

∴ S＝ch=，∴ abc＝4RS.

要證不等式abc≥（a+c-b）（a+b-c）（b+c-a）成立，

只需證4RS≥8rS，即證：R≥2r.

證到這里的時候，下課鈴聲已經響了，我把問題留給了學生供他們課后進行研究，為學生進行研究發現提供了很好的素材．

四、 余興未盡，課后的新發現

設△ABC內切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則R≥2r． 這個命題其實就是著名的歐拉公式．在數學歷史上有很多公式都是歐拉發現的，它們都叫做歐拉公式．

三角形中的歐拉公式為：設△ABC外接圓的半徑為R，內切圓的半徑為r，兩圓心之間的距離為d，則d＝，當且僅當△ABC為正三角形時d＝0．

許多學生課后都對R≥2r的證明進行了研究，班級里興起了一股數學研究的風氣，在當天課后作業中，學生們又顯示了一次新的發現.

例2 已知a＞0，b＞0，2c＞a+b，求證：c-＜a＜c+.

常規證法是：

要證c-＜a＜c+，

只需證-＜c-a＜，

也就是證c-a＜，

即需證c-a2＜c2-ab，

即證：a+b＜2c. 而a+b＜2c為已知條件，顯然成立，

所以不等式c-＜a＜c+成立．

而有幾個學生在做題時發現：c-，c+兩個量有點像二次方程求根公式里的兩個根，于是大膽猜想，產生了第二種證法.

證明：要證c-＜a＜c+，

只需證＜1＜，

令x1=，x2=，則x1，x2為方程x2-cx+=0的兩個根.

令f（x）=x2-cx+，f（1）=-c+=，

∵a+b＜2c，∴ f（1）＜0，∴ x1＜1＜x2，即＜1＜．

所以原不等式c-＜a＜c+成立．

發現，并不局限于尋求人類尚未知曉的事物． 譬如，案例中學生“發現”一條數學家早已熟知的歐拉公式，但由于事先沒有人告訴過他，也沒有從自己手頭的書上看到（盡管它早已被寫在有關的書上），這就是學生自己的發現，是千真萬確的發現． 這一條學生自己發現的原理，要比他通過學習別人的發現理解深刻得多，記憶牢固得多．

在“發現學習”的過程中，學生的“直覺思維”對學生的發現活動顯得十分重要． 所謂“直覺思維”，就是要求學生在學習過程中不要用正常邏輯思維的方式進行思維，而是要運用學生豐富的想象，發展學生的思維空間，去獲取大量的知識． 布魯納認為，“直覺思維”雖然不一定能獲得正確答案，但由于“直覺思維”能充分調動學生積極的心智活動，因此它就可能轉變成“發現學習”的前奏，對學生發現知識和掌握知識是大有幫助的． 本文中學生聯想到余弦定理、海倫公式和求根公式都是運用直覺思維的一個體現．在教學中，教師要注重對學生直覺思維的培養，關注學生個性潛能的開發，鼓勵學生大膽進行猜想，充分調動學生的學習積極性，體驗發現學習的樂趣．