挖掘初中數(shù)學(xué)例題對(duì)“四基”的輻射功能

例題教學(xué)是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是學(xué)生實(shí)現(xiàn)自身數(shù)學(xué)知識(shí)重組與再創(chuàng)造的重要途徑，在課堂教學(xué)中占有特殊重要的位置. 例題作為一種知識(shí)的載體，作為一種重要的教學(xué)手段，作為師生互動(dòng)、生生合作的重要平臺(tái)，已經(jīng)越來越引起人們的重視和關(guān)注. 如何提高初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)的實(shí)效性，實(shí)現(xiàn)例題教學(xué)價(jià)值的最大化？本文從例題的設(shè)計(jì)與教學(xué)兩個(gè)方面對(duì)如何挖掘初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)對(duì)“四基”的輻射進(jìn)行闡述，以期得到同行的共振和指教.

一、 設(shè)計(jì)的例題應(yīng)具有基礎(chǔ)知識(shí)的輻射功能

基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)是例題教學(xué)中一項(xiàng)十分重要的內(nèi)容，在復(fù)習(xí)課的例題教學(xué)中應(yīng)著力于解決基礎(chǔ)知識(shí)的融會(huì)貫通，使學(xué)生養(yǎng)成“用數(shù)學(xué)”的意識(shí). 由于受知識(shí)范圍的限制，新課教學(xué)時(shí)，往往對(duì)問題難以發(fā)散，造成學(xué)生思考問題過程中出現(xiàn)暗示或“用數(shù)學(xué)”中的某些確定的指向，不利于學(xué)生思維能力的提高.

例1 如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，BE＝EH，DH的延長(zhǎng)線交AC弧于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AG，與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連結(jié)AD，BC，BD，AC，CG. 找出圖中所有相等的角、相等的線段和相似的三角形.

評(píng)注 本例題由浙教版《數(shù)學(xué)》九上第80頁作業(yè)題B組第6題改編而成. 由于在新授課中，許多例題、習(xí)題雖然十分典型，但受知識(shí)范圍的限制，都沒有進(jìn)行深入的研究和挖掘. 在復(fù)習(xí)課中，對(duì)這些問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪胶屯卣梗欣趯W(xué)生進(jìn)一步了解知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也有效地幫助學(xué)生回顧和復(fù)習(xí)相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí).

本題涉及垂徑定理、同弧或等弧所對(duì)的圓周角、直徑所對(duì)的圓周角、直角三角形銳角的互余、等腰三角形的“三線合一”、有關(guān)相似三角形的判定和性質(zhì)等等，有利于學(xué)生自覺回顧和梳理基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”意識(shí)，因問題具有開放性，也有利于學(xué)生發(fā)散思維的養(yǎng)成，克服思維定勢(shì)對(duì)解題的影響.

二、 例題教學(xué)應(yīng)注意輻射數(shù)學(xué)的基本技能

按照心理學(xué)的解釋，技能就是順利完成某種任務(wù)的活動(dòng)方式，包括動(dòng)作技能和心智活動(dòng)技能. 數(shù)學(xué)技能是一種特殊的技能，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，順利地完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的一種動(dòng)作或心智活動(dòng)方式，一般通過數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用性練習(xí)而獲得，通過概括和反復(fù)運(yùn)用達(dá)到熟練.

基本技能包括：運(yùn)算技能，推理論證技能，探究物體與圖形的形狀、大小、位置關(guān)系和變換的技能，收集和處理數(shù)據(jù)的技能等等.

基本技能的養(yǎng)成重在平時(shí)的積累，在例題教學(xué)中，通過一題多變、一題多問能有效地提高學(xué)生的基本技能.

例2 已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是4，底邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng).

我們可以將此例題進(jìn)行一題多變.

變式1：已知等腰三角形一腰長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)為14，求底邊長(zhǎng). 這是考查逆向思維能力. 逆向思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的思維方式，有利于問題的解決. 變式2：已知等腰三角形一邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng).改變條件，將原有確定的條件變?yōu)檫叺牟淮_定，考查學(xué)生思維的全面性，改變思維策略，進(jìn)行分類討論. 變式3：已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng). 與變式2相比，其中的一條邊長(zhǎng)發(fā)生變化，考慮到“三角形兩邊之和大于第三邊”，因此，長(zhǎng)為3的邊只能是底，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性. 變式4：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為14，求底邊長(zhǎng)y的取值范圍. 從具體的數(shù)抽象為變量，滲透函數(shù)思想． 變式5：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，周長(zhǎng)是14. 請(qǐng)先寫出二者的函數(shù)關(guān)系式，再在平面直角坐標(biāo)內(nèi)畫出函數(shù)的圖象. 與前面相比，要求又提高了，特別是對(duì)條件0﹤y﹤2x的理解運(yùn)用，是完成此問的關(guān)鍵；同時(shí)，通過畫圖，有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想.

評(píng)注 選擇典型例題進(jìn)行一題多解或一題多變，有利于培養(yǎng)學(xué)生基本的運(yùn)算技能，積累基本的問題思考方式和解題策略，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用. 基本技能的培養(yǎng)不能是一蹴而就的，需要通過一定量的訓(xùn)練逐步體驗(yàn)與積累，在例題教學(xué)中應(yīng)注意盡可能通過小組合作交流，由學(xué)生參與解題后的歸納和反思，并對(duì)問題進(jìn)行深入的剖析，挖掘問題的本質(zhì)，揭示規(guī)律，才能形成學(xué)生自己的基本技能.

三、 例題變式應(yīng)注意輻射數(shù)學(xué)的基本方法

在例題教學(xué)中，采用教材原有例題進(jìn)行變式和拓展是教學(xué)中常用的方式之一. 在例題設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)注意如何用好原題，如何對(duì)原題進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，使其更具有典型性、示范性和知識(shí)應(yīng)用的廣泛性，更好地發(fā)揮例題的功效；教師在設(shè)計(jì)例題過程中，應(yīng)考慮涉及的知識(shí)有否拓展，解題方法有無創(chuàng)新，思維含量有無提升，是否有利于學(xué)生的題后反思和規(guī)律總結(jié).

例3 如圖2，已知E，F(xiàn)分別是?荀ABCD的邊BC，AD上的點(diǎn)，且BE＝DF．

（1） 求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2） 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長(zhǎng)．

本題由浙教版教材八下第104頁例1改編而成，其中的第（1）小題將例題的條件和結(jié)論進(jìn)行了交換. 以第（2）小題為例，在教學(xué)過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生探究如下不同的解題方法．

解法一：由AE＝EC，∠BAC＝90°，得AE為Rt△ABC斜邊上的中線，∴BE=CE=5．

解法二：AE＝EC，∴∠EAC＝∠ECA. ∴∠EAC+∠EAB＝90°，∠ECA+∠B=90°，∴∠EAB＝∠B，

∴BE=AE=CE=0.5BC=5．

解法三：如圖3，連結(jié)EF，交AC于點(diǎn)O． ∴ AO＝CO，AC⊥EF，

∴ AB∥EO，

解法四：∵AO＝CO，AC⊥EF，AB∥EO，∴OE是△ABC的中位線．

解法五：∵AF=EC，AC⊥EF，∴AB∥FE，又∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形． ∴AF=BE．

解法六：∵四邊形AECF是菱形，AE=FC，∴∠AEB＝∠FCE，∠B＝∠FEC，△ABE ≌ △FEC.

解法七：如圖4，以E為圓心， EC長(zhǎng)為半徑作圓E，∵四邊形AECF是菱形，∴AE=EC， ∴點(diǎn)A在⊙E上，∵∠BAC＝90°．∴BC是⊙E的直徑，∴BE＝CE．

評(píng)注 本題涉及所有平行四邊形的判定方法，同時(shí)，在探究第（2）題的解題過程中，有效鞏固了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等角的余角相等、相似三角形的判定及其性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)及其在解題中的應(yīng)用等等.

在例題教學(xué)中，不在于羅列的方法有多少，更重要的是通過對(duì)例題的探究，學(xué)生自己會(huì)思考什么、能應(yīng)用哪些性質(zhì)和判定方法. 因此，在例題的設(shè)計(jì)中，教師對(duì)解題方法要有預(yù)設(shè)；在學(xué)法指導(dǎo)上，提醒學(xué)生一題多思、一題多法；在教學(xué)方法上，著力于啟發(fā)和引導(dǎo).

四、 例題探究應(yīng)注意輻射學(xué)生基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，也是思維活動(dòng)的教學(xué). “數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”首先是“數(shù)學(xué)”的，所從事的活動(dòng)要有明確的數(shù)學(xué)目標(biāo)，沒有數(shù)學(xué)目標(biāo)的活動(dòng)不是“數(shù)學(xué)活動(dòng)”；其次是“經(jīng)驗(yàn)”的，經(jīng)驗(yàn)是一種感性認(rèn)識(shí)，包含雙重意義，一是經(jīng)驗(yàn)的事物，二是經(jīng)驗(yàn)的過程，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)的感性認(rèn)識(shí)，是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累的.再次是“活動(dòng)”的，是對(duì)數(shù)學(xué)材料的具體操作和形象操作探究活動(dòng)，包括抽象思維、數(shù)學(xué)證明、數(shù)學(xué)解題在內(nèi)的整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).

例4 如圖5，在三角形ABC中，AB=AC=，BC=2，在三角形內(nèi)任意作內(nèi)接矩形EFGH，MNPQ. 則兩矩形的周長(zhǎng)之和為（ ）

A. 4B. 8

C. 12D. 2+2

方法一：取特殊點(diǎn)，分別求出兩個(gè)矩形的周長(zhǎng)；

方法二：作BC邊上的高AD，可得AD=BC=2，由此得AD=2DC，從而GF=2FC，PN=2NC. 得出結(jié)論：一個(gè)矩形的周長(zhǎng)等于BC長(zhǎng)的兩倍.

評(píng)注 本題設(shè)計(jì)意圖：首先是“數(shù)學(xué)的”，探究等腰三角形的內(nèi)接矩形之周長(zhǎng)問題；其次是“活動(dòng)的”，可操作的，通過學(xué)生的動(dòng)手操作，尋求特殊位置解決問題；再次也是經(jīng)驗(yàn)的體現(xiàn)，由于條件中所給等腰三角形邊長(zhǎng)的特殊性，具有一定“數(shù)感”的學(xué)生就能對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尋求解題策略.

培養(yǎng)學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)關(guān)注的是“經(jīng)歷過程”，動(dòng)手操作的過程、思考的過程、探究的過程，從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，根據(jù)解選擇題的常用方法、矩形運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)、圖形特點(diǎn)及條件的特殊性等，確定解題方案.同時(shí)，還應(yīng)關(guān)注學(xué)生“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的積累，即通過本題的解決，學(xué)生能得到什么啟示，包括條件中矩形的不確定性對(duì)制定解題策略的影響，“數(shù)感”的初步體驗(yàn)等.

例5 如圖6，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30°內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無縫隙）． 若①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為24cm2，四邊形ABCD面積是20cm2，則①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（ ）

A. 64cmB. 48cm

C. 32cmD. 24cm

評(píng)注 “數(shù)學(xué)基本活動(dòng)”的主體是學(xué)生，在教學(xué)中，通過學(xué)生充分的討論，合作交流和動(dòng)手操作，在實(shí)踐中獲取經(jīng)驗(yàn)；“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是一個(gè)累積的過程，聯(lián)想到樓梯鋪設(shè)地毯?jiǎn)栴}的解題方法，憑經(jīng)驗(yàn)和直覺，求結(jié)論中的周長(zhǎng)總和應(yīng)采用的是整體思想，應(yīng)通過分析圖形整體的特點(diǎn)來解決；其次本題是已知面積求周長(zhǎng)，應(yīng)思考如何將已知的面積轉(zhuǎn)化為已知線段長(zhǎng)度，通過引導(dǎo)學(xué)生探究、小組合作活動(dòng)，得出解題方法.本題還涉及轉(zhuǎn)化思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等在解題中的應(yīng)用.

總之，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的核心內(nèi)容與主要目標(biāo)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)最為重要的組成部分． 在例題教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷回顧和梳理舊知的過程、經(jīng)歷基本技能應(yīng)用的過程、經(jīng)歷總結(jié)和反思基本解題方法的過程、經(jīng)歷積累和豐富基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程，只有這樣才能最終形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力．