對一道數(shù)學(xué)習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)

題目：如圖1，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上的一點 A1的正上方有一個光源A，AA1與球相切，AA1＝6，球在桌面上的投影是一個橢圓，則這個橢圓的離心率等于（ ）

A． B． C． D．

一、 直觀感知——定性

在完整、合理地解答這個題目前，首先要解決幾個認(rèn)知上的問題，對整個幾何體能夠定性．

問題1：如圖2，球的兩條切線AA1，AA2在球上的兩個切點D，E的連線DE是否為球的直徑？

問題解決：從該幾何體的正視圖來看，切點D，E的連線DE顯然不是球的直徑．

問題2：A與球心O1及橢圓中心O三點是否共線？

問題解決：如圖2，這個問題可以通過計算解決，由球的半徑為2知，A1D＝A1N，故AD＝AE＝4，假設(shè)A2N＝x，在Rt△AA1A2中，有62+（2+x）2＝（4+x）2，求得x=6，故橢圓的長軸為8，即A1A2=8，可求得ON=2，所以，AO21=AD2+DO21=42+22=20，O1O2=O1N2+ON2=22+22

=8，AO2=A1O2+AA21=42+62=52，即AO1=2，O1O=2，AO=2，而AO1+O1O≠AO，故三點不共線．

問題3：球的兩條切線AB1，AB2與球的兩個切點的連線是否為球的直徑？

問題解決：這是解決該題的關(guān)鍵，往往會有這樣的考慮，那么從A出發(fā)與B1，B2的連線也是從球最寬的地方（直徑）切過來的．事實上，在圖2上可以觀察得，切線AB1，AB2與球的兩個切點在AB1，AB2上，則必在△AB1B2所在的平面內(nèi)，結(jié)合問題2可知不可能通過球心O1．

二、 操作驗證——定量

1. 解決——球切線的特性

解法一：如圖2，由問題2的解決知橢圓的長軸為8，即A1A2＝8，假設(shè)橢圓短軸為2b，則OB2＝b，在△MAA1中，因為O1N＝2，AA1＝6，故＝＝，故MN＝1，因此AM＝＝3，B2M＝，AB2＝，又由球的切線性質(zhì)知，∠A1AO1＝∠B2AO1，而cos∠A1AO1＝，cos∠B2AO1=＝，求得b2＝12，又在橢圓中c2＝a2-b2＝4，所以e===．

點評：這個解法牢牢抓住了過球外一點向球作切線，切線段長相等，從AD=AE到∠A1AO1＝∠B2AO1兩個解題的關(guān)鍵點都用到了這一結(jié)論．

2. 提升——空間向量

解法二：同解法一求得A1A2=8，如圖3，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)橢圓短軸為2b，A（0，0，6），O1（0，2，2），B2（b，4，0），所以＝（0，2，-4），＝（b，4，-6），cos∠O1AB2＝＝＝，由球的切線性質(zhì)知∠A1AO1＝∠B2AO1，而cos∠A1AO1= ，＝，故b2=12，在橢圓中c2=a2-b2=4， ∴ e===．

點評：該解法雖然利用數(shù)形結(jié)合，用空間向量解決立體幾何問題，但解決問題的關(guān)鍵還是過球外一點向球作切線，切線段長相等．

3. 突破——三視圖法

解法三：如圖4，左側(cè)為該幾何體的正視圖，右側(cè)為該幾何體的左視圖，在正視圖中，AD＝AE＝4，A1D＝A1N＝2，A2N＝A2E＝x，故62+（2+x）2＝（4+x）2，求得x＝6，故橢圓的長軸為8，即a＝4，在左視圖由圓切線的性質(zhì)知，在Rt△APO1中，AP===2，由△APO1∽△AOB1，知＝，即＝，∴ OB1＝2＝b，在橢圓中c2＝a2-b2＝4， ∴ e===．

點評：這個解法源于在定性過程中對問題1的思考，問題1的解決用到了幾何體的三視圖．事實上，三視圖的教學(xué)過程中要重視三視圖對認(rèn)知幾何體的作用．

三、 抽象歸納——回歸“本源”

這個習(xí)題來源于哪個數(shù)學(xué)問題？有沒有更一般的結(jié)論？能不能用我們研究的方法推廣出結(jié)論呢？翻開人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1，在第43頁我們欣喜地找到了答案．

如圖5，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓． 那么，為什么截口曲線是橢圓呢？

歷史上，許多人從純幾何角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin的方法非常巧妙．

在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切． 兩個球分別與截面相切于點E，F(xiàn)，在截面曲線上任取一點A，過點A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點C，B． 由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道AE=AC，AF＝AB，于是AE+AF＝AB+AC＝BC．

由切點B，C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離BC是定值． 這樣，截口曲線上任意一點A到兩個定點E，F(xiàn)的距離之和為常數(shù)．

由橢圓的定義可知，截口曲線是橢圓．

進一步，通過對習(xí)題的探究，我們發(fā)現(xiàn)球與截面的交點正好是橢圓的焦點． 下面用歸納推理的思想方法證明這個結(jié)論．

如圖6，一個半徑為r的球放在桌面上，桌面上的一點A1的正上方有一個光源A，AA1與球相切，切點為N，球在桌面上的投影是一個橢圓（長軸為2a，短軸為2b），求證：切點N為橢圓的焦點．

證明：如圖7，左視圖左側(cè)為該幾何體的正視圖，右側(cè)正視圖為該幾何體的左視圖，在正視圖中，假設(shè)ON=x，AD=y． 故AD=AE=y，A1D＝A1N＝a-x，A2N＝A2E＝a+x，故（a-x+y）2+（2a）2＝（y+a+x）2，求得y=，在左視圖由切線的性質(zhì)知，在Rt△APO1中，AP2＝AO21-O1P2＝（）2-（a-x）2，由△APO1∽△AOB1，知＝，等價于＝，即＝，解得x2=a2-b2，即切點N為橢圓的焦點．

四、 題后思考——幾點感想

1． “直觀感知、操作驗證、抽象歸納”是我們認(rèn)知新的數(shù)學(xué)問題的必經(jīng)之路

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》中強調(diào)的人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程，筆者在實際教學(xué)過程中往往先通過大量的具體實例引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，再讓學(xué)生獨立操作，自己動手，那樣的體驗才更加真實，最后讓學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上抽象概括出相關(guān)的知識內(nèi)容． 這樣的教學(xué)才能更好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．

2． 要重視教材的作用

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實施和新教材的試用，我們發(fā)現(xiàn)新教材中去掉了舊教材中部分知識板塊，調(diào)整了部分知識結(jié)構(gòu)，新增了很多知識內(nèi)容，同時滲透了研究性學(xué)習(xí)這一新的思維學(xué)習(xí)模式．與舊教材相比，新教材樣式設(shè)計新穎，增設(shè)了舊教材不具有的欄目，如：章頭圖、閱讀材料、研究性學(xué)習(xí)課題等，這些內(nèi)容的加入滲透著編者對教材的理解，充分地利用這些資源能夠讓讀者提升一個層次．

3． 體現(xiàn)學(xué)習(xí)“推理與證明”的重要性

新課程加入了推理與證明這一章節(jié)，許多學(xué)生甚至是教師都覺得這一章節(jié)可學(xué)可不學(xué)，新的知識點很少，碰到的數(shù)學(xué)問題也都是其他已學(xué)的數(shù)學(xué)知識． 筆者認(rèn)為這一章節(jié)的學(xué)習(xí)恰恰是我們認(rèn)識數(shù)學(xué)的來源、理解數(shù)學(xué)的作用、增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣的很好的途徑． 我們要善于用合情推理提出問題、發(fā)現(xiàn)問題，用演繹推理解決問題，讓數(shù)學(xué)更好地服務(wù)于生活．