高三學生運用平面向量解決問題的影響因素分析

一、問題的提出

平面向量是在1997年人民教育出版社出版的B版高中數學教材中首次出現的，開始只在天津、河南、江西等小范圍內局部試驗使用，但仍引起了很大的爭議. 由于平面向量在高中數學體系中具有無可替代的教學價值，在2003年國家頒布的普通高中《數學課程標準》(以下簡稱“新課標”)中，平面向量被正式確定為高中數學必修內容. 數學解題歷來是數學活動的中心，是數學學習的重要組成部分，在培養學生的思維能力方面具有特殊的功效. 學生們天天都在解題，解大量的題，但并不是所有學生的解題能力都隨著習題量的增加而增長. 平面向量作為高中數學課程改革的標志性內容之一，既具有代數形式也具有幾何特征，因此，對平面向量的研究的意義可能超過其知識本身，也可能對學生全面提高其代數和幾何成績有一定的作用.

二、研究過程

1. 樣本的選擇

本研究樣本來自貴州地區省重點、市重點以及農村中學的高三年級各兩個班學生，要求任課教師對于平面向量內容都有過兩輪或以上的教學經驗，對該模塊知識相對比較熟悉，教學方法的選擇和教學內容的處理相對比較成熟. 目的是為了保證了學生掌握和運用平面向量解決問題有較高的外在因素.

本研究選擇高三學生是考慮到他們具有相對豐富的解題經驗，對不同層次的數學問題的解決方法有相對穩定的解題策略和模式，解題心理較為穩定，能夠反映高中學生運用平面向量解決問題時表現出來的普遍共性. 因而，本研究選擇的樣本具有一定的代表性.

2. 研究的內容

羅增儒認為，解題的成功取決于多種因素，其中最基本的有:解題的知識因素，解題的技能因素，解題的經驗因素和解題的非智力因素，而在知識因素中還包括需要學生積累不斷涌現的數學技巧. 數學活動的本質是數學解題活動 [1 ].

其中，知識因素中的知識主要包括基本概念、基本規律與原理(即公理、性質、定理、公式、法則等)，以及重要的數學思想方法 [2 ]. 平面向量中的基礎知識主要包括:平面向量的實際背景及基本概念;向量的線性運算;平面向量的基本定理及坐標表示;平面向量的數量積;向量的運用等等. 技能因素中的基本技能主要是指通過練習而形成的為完成某種任務所必須的活動方式或心智活動方式[2].. 平面向量中所要掌握的典型技能有:向量的平移、伸縮、建坐標系、分解與合成等.

需要指出的是數學解題中的非智力因素，是指有利于人們進行數學解題活動的智力因素以外的全部心理因素的總稱 [3 ]，主要包括動機、興趣、情感、意志、性格等. 學生在解題活動中，不僅需要智力因素的直接參與，對問題中包含的信息進行加工，而且也需要動機、情感、意志等非智力因素的啟動，加強維持和調節，才能使得解題活動順利展開. 但是因為測驗的操作性和外顯性特點，本研究沒有對非智力性因素深入研究.

在參考羅增儒教授關于解題的基本因素的基礎上，本研究主要集中于研究高中學生在運用平面向量解決問題中的知識、技能、題感經驗等方面的因素.

3. 研究的工具

問卷的編制:考查內容以新課標中關于平面向量內容對高中學生的要求為根據，根據多位專家和從事一線教學的教師共同研究編制的，試卷滿分為150分. 試卷的編制依據布盧姆目標分類理論、標準化考試理論、斯皮爾曼能力因素學說. 其中，本研究特別強調對斯皮爾曼有關能力學說中的“G”因素考察 [4 ].

(試卷內部一致性信度alf=0. 925>0. 8. 其中為均分. p為難度系數，計算方法:p=· M為每道題均分，M為該題滿分值. D為區分度，計算方法D=:，其中為高分組均分，L為低分組均分). 本次研究發放測試試卷357份，收回有效試卷326份，有效試卷約占發放試卷的總數的91. 3%. 這表明測試的結果有較高的可靠性.

從表1和成績分布圖可以看出:

(1)試卷編排比較合理，學生成績成正態分布，基本上符合從易到難的順序，難度保持一定的梯度.

(2)全部試題難度系數p>0. 20，主要集中在0. 35~0. 80之間，表明試題能夠區分學生的學習水平，具有一定的評價意義. 試卷的難度系數計算:

P=piWi=0.52(其中W為試卷的滿分值， pi和Wi分別為第i題的難度系數和滿分值. 同樣， p 越大，則難度越小， p 越小，則難度越大).

(3)除試題10、13、18外，試卷其他各題的區分度都在0. 4以上. 試題10、13、18題區分度不高，表明學生對開放性、探索性的試題的解答與成績高低影響不大. 試卷的區分度:試卷的區分度是指試卷總體對學生水平的區分程度，計算結果為:

D=DiWi=0.70> 0. 40(其中， W為試卷的滿分值，Di為第i 題的區分度， Wi為第i 題的滿分值，D為試卷的區分度)，由美國測量專家L. Ebel鑒別指數表明試卷的區分度很好，區分能力很強 [5 ]. 而且高分段考生的通過率高，低分段考生的通過率低.

(4)從試卷測驗結果看，學生成績略成負偏態正態分布，表明了該試卷編制的科學性和合理性.

統計工具:SPSS 11. 5.

三、研究結果

根據試卷測驗結果的統計，筆者把試卷按成績從高到低分別取27%、46%、27%，劃分為高成績組、中等成績組、底成績組，分析學生在運用平面向量解決問題時知識因素、經驗因素、技能因素等方面對其解題的影響:

1. 學生運用平面向量解決問題能力與知識因素相關性分析

從表1可以看出，學生在運用平面向量解決問題時，各成績組間對知識因素影響差異顯著. 而通過試卷反饋出來的信息表明，在知識因素方面學生得分不高的主要原因是基礎知識不夠全面，沒有形成良好的知識結構;運算不扎實，特別是向量的代數運算;概念不清，許多數學基本思想、基本方法掌握不好，表現出學生缺乏對數學思想方法的本質的理解，未能形成良好的解題策略.

2. 學生運用平面向量解決問題能力與技能因素相關性分析

從表2可以看出高成績組和低成績組在技能因素方面有極其顯著的差異，中等成績組和低成績組也有明顯的差異，但是高成績組合中的成績組在技能運用方面沒有明顯差異. 通過試卷檢測，進一步明確細分后，學生在技能方面各因素具體得分情況如表3.

從表3可以看出，高成績組和其他成績組主要差異體現在向量的代數分解技能方面，而在運用其他技能上則沒有顯著差異.

3. 學生運用平面向量解決問題能力與題感經驗因素相關性分析

從表4可以看出高成績組和中等成績組、低成績組在題感經驗因素方面有極其顯著的差異，中等成績組和低成績組也沒有明顯的差異. 在題感經驗因素得分偏低的學生主要表現出來的問題是對一些情境比較陌生的試題，不能夠靈活運用所學的知識，對問題進行重新表述，并將問題恰當地分解和組合，從而實現對問題的轉化，缺乏必要的解題策略，不知道在解題過程中應該注意什么問題，如何捕捉問題的重點所在，這說明學生平時的解題訓練缺乏反思總結. 而且，隨著知識的綜合度加大，學生明顯體現出思路不清晰，思維目標不明確等問題，在學生缺乏綜合和靈活運用所學的知識解題.

四、結論

1. 定勢思維負遷移易干擾學生選擇恰當的運算律

由表1可知，各成績組在平面向量知識掌握的程度上均存在顯著性差異，通過分析試卷可知，學生在解決與平面向量有關的問題時，容易出錯的地方是把實數的運算律直接類比為向量的數量積的運算律. 因為平面向量作為高中學生所要接受的一種新信息，但學生從小學就建立起來的實數運算律在學生中已經形成了強大的思維定勢，一旦遇到量的的運算，實數運算律的圖示就率先被激活了，這種思維定勢負遷移明顯干擾了學生運用平面向量解決問題.

2. 向量的代數分解技能是難點

數學技能是順利地完成數學教學活動的方式. 由表2，表3可知，學生在運用平面向量解決問題時，在平移、拉伸、合成、建立坐標系等解決問題的技能方面，不同成績組的學生并不具有明顯的差異性，有差異表現的是向量的分解技能.

從試卷檢測結果看，學生對有向線段平移、拉伸與合成，向量坐標形式的合成，坐標法掌握較好，而對于有向線段的代數分解掌握得不夠好. 可能的原因是平面向量在論域上的二維特征導致向量分解的多樣性與解題目標的確定性存在矛盾.

3. 題感經驗因素對解題技能有正向促進作用

從表4可以看出，題感經驗豐富的學生解題能力明顯優于解題經驗一般的學生. 所謂解題經驗，就是某些數學知識、某些解題方法與某些條件的有序組合 [1 ]. 成功是一種有效的有序組合，失敗是一種無效的無序組合. 從試卷解答來看，如16題，許多學生都是從“幾何問題代數化”的角度來考慮，這樣只要建立坐標通過計算就可以實現問題的證明了.

在這種轉化當中，建立不同的坐標系就使解題有了簡繁之分，但由于平面圖形所固有的性質是不依賴于坐標系的建立，也就是不管建立怎樣的坐標系，其結論都是一樣的. 但如何建立一個恰當的坐標系，這和學生是否具有一定的題感經驗成正相關. 坐標系建立得恰當，避繁就簡，既減少了運算量，又降低了解題長度，也就降低了解題難度，能夠有效地節省學生的思維和時間.

4. 非智力因素

本研究雖然沒有對學生的非智力因素進一步探討，但是從試卷的解答過程可以看出課程改革倡導的三維目標之一——情感、態度與價值觀培養在實踐中落實還是存在一定的問題. 比如，在試卷解答中，大量存在如下問題:解答題推理不嚴謹，半途而廢，甚至有少數學生把自己得出正確解答的部分也涂抹掉，這說明一些學生對自己解決問題的能力信心不足;有些同學干脆留下空白，沒有嘗試著努力解決問題，缺乏積極進取的精神和一絲不茍的解題態度等等，從而喪失了得分可能.

本研究集中于學生運用平面向量解決問題影響因素的三個方面，但是解決問題的影響因素很多，包括課堂教學模式、教學環境、家庭環境以及師資水平等等都會影響學生學習的活動結果——解題，這些因素尚需要進一步思考.

參考文獻:

[1]羅增儒. 數學解題引論[M]. 西安:陜西師范大學出版社，2001:18-19.

[2]季素月. 數學教學概論[M]. 南京:東南大學出版社，2000:12.

[3]周春荔，張景斌. 數學學科教育學[M]. 北京:首都師范大學出版社，2003:152.

[4]任子朝. 中學生數學學業測試研究[M]. 北京:教育科學出版社，2001:29-36.

[5]吳成秋，棟梁. SPSS for Windows 在試卷分析中的應用探討[J]. 西北醫學教育，2006(1):401- 403.