數學教學應具有“四種含量”

高品位的數學教學應具有“四種含量”:科研含量、思維含量、文化含量、情感含量. 四種含量是一個不可分割、有機交融在一起的整體，當然在不同的教學情境中會有所側重. 本文結合教學案例“正弦定理及其應用”圍繞四種含量進行必要的述評.

一、教學過程

限于篇幅，且為了突出教學亮點，本文有選擇地展示若干精彩段落.

T:這里有一幅美妙絕倫的“嫦娥奔月”圖多媒體課件展示，請同學們伸展開思維和想象的雙翅，發表自己的感慨.

S:類似的飛天登月的神話故事很多，中國古代人的想象能力太豐富了!隨著現代高科技的迅猛發展，飛天登月已不再是幻想，而成為現實.雖然目前還只有美國、俄國的宇航員成功地登上了月球，但我國的宇航員也已實現了太空繞月飛行，相信不需多久，我國的宇航員也將驕傲地登上神秘的月面!

T:許多科學技術和理論的發明、發現和創造最初都源于幻想，通過不懈的追求和勇敢的探索，幻想終會成真!數學學習也是這樣，亟需一種敢想、敢干的精神.我們今天將要研究的內容，事先沒有預習吧，現在也別看書，大膽進入一個未知世界，完全通過自己的探索研究，有所發現，有所建樹，并解決實際問題.欲登月須先知道月球到地球的距離，但月球離我們那么遙遠，這個距離無法實際測量，用數學方法啊!今天的研究成果就可以使我們在基礎理論上理解這種測量方法的實質.

在Rt△ABC中，我們知道sinA=，sinB=，那么sinC=?

S:sinC=sin90°=1.(未預習，不看書，學生自然會得此結果)

T:能否將sinC也寫成兩個量比的形式?

S:sinC=.

T:我們有了三個彼此獨立的等式，能否將這三個等式串在一起，成為一個連等式呢?請注意這三個等式中處于關健位置的一個量.(必要的提示)

S:斜邊長c最關鍵，則得(c=) ==. ①

T(故意地):這就是我們今天研究的成果——正弦定理.

S:不行!這個結論只適用于直角三角形，對于任意三角形，還沒有獲得證明.

T:好啊，我太高興了!看來大家已經掌握了一定的數學科研規律……(對于任意三角形的證明從略.出示圖2)這才得到顛撲不破的數學真理——正弦定理.此定理源于直角三角形，經過拓展，推廣到任意三角形;而在對銳角三角形和鈍角三角形進行證明時，又都轉化回歸到直角三角形.這就是數學科研最典型的方法和數學思想最具代表性的精粹.

T(出乎學生意料，用紙將①式遮住)請說出正弦定理的內容.

S1(略停頓后，用符號語言和自然語言兩種方式說出定理的內容，略).

T:你太了不起了，剛得到的結論，你就記住了!說說你是怎么記住的，有什么訣竅?

S1(在教師的啟導下，共同小結得):分母“大”，分子“小”，加上正弦連比到.

T:顯示的就是數學的對稱和諧、神奇美妙!(課本和其他基礎練習的解答略，順應學生的心理需求)下面回到有關登月的測距問題，如圖3，P點代表月球，Q代表地球上一點，請大家來當設計師，給出一種測量PQ之間距離的數學方法.

S2:在地球上找點A，可測得QA=a，∠PQA=α，若∠PAQ=90°，則PQ=.(學生的一種很自然的設想，需要的是因勢利導)

T:若由于客觀原因，難以保證∠PAQ=90°，只能測得∠PAQ=β，怎么辦?這樣，問題才更具一般性和實用價值.

S3:由正弦定理，得=，所以PQ=.

若β=90°，即得PQ=，與上面的結果一致.

T:太妙了!數學的威力無窮啊!將來肯定會實現:乘坐飛船太空游，最近一站是月球.美麗嫦娥舒廣袖，吳剛捧出桂花酒!(教室里爆發出熱烈的笑聲)再看下題，如圖4，PQ代表一座山峰的高，底部不能到達，即不能直接測得PQ的高度和AQ的距離，請設計師們給出測量PQ高度的數學方法.

S4:在AQ的方向上取B點，可測得AB=a，∠PAQ=α，∠PBQ=β.

設PQ=x，則在Rt△PAQ中，AQ= . ①

在Rt△PBQ中，BQ=. ②

①-②，得AQ-BQ=-，

即a=x(-)，

解得 x= . ③

T:看來大家對直角三角形情有獨鐘，這一點也不奇怪，大家的初中數學學得太好了!(笑聲)但這里竟沒有用到正弦定理，多少覺得有點遺憾吧?

S5:可以用正弦定理，在△PAB中，由正弦定理，得=，則PB=，所以PQ=PB·sinβ=

S6:也可以這樣解，在△PAB中，由正弦定理，得=，則PA=，所以 PQ=PA·sinα =. ④

T:果然用正弦定理要簡單快捷些，真是“工欲善其事，必先利其器”啊!但問題隨之而來了，③④兩式的形態大不相同啊!能否將它們統一起來呢?

S7:由③，得

x===.

T:這就叫做形異質同、實現溝通，殊途同歸、異曲同工，數學理性精神的光輝彰顯無遺!

二、簡單評析

我們確信，此節課的基本教學內容幾乎所有高中數學教師都能想到，在課堂教學實施中也可基本保證“進展順利、任務完成”. 但若欲向教學精品，乃至教學極品進擊，僅僅滿足于此是遠遠不夠的，必須有所突破，有所提升，實現飛躍，依靠的就是“四種含量”.

1. 科研含量

新課標指出:“應鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與. 既要有教師的指導，也有學生的自主探索與合作交流. 教師要創設適當的問題情境，鼓勵學生發現數學的規律和解決問題的途徑，使他們經歷知識形成的過程.”

按此理念，數學教學應成為學生在教師的指導下積極自主進行的“發現規律和解決問題”的一種數學科學研究探索活動.此節課體現的理念與筆者完全一致，即不要求，甚至“不準”學生在課前預習.必須闡明以下五方面的理論依據.

其一，當今學生的學習負擔之重可說是“災難性”的，課前的預習，課后的練習，鋪天蓋地的教輔資料，“小考三、六、九，大考周周有”，學生真的是不堪重負. “不準”預習，在一定程度上來說，對學生來說是一種解脫，那么在極力贊同之余，他們就會在沒有任何壓力的情境下，以更高漲的熱情、更充沛的精力和智慧投入課堂的即時探究之中.

其二，南京師范大學著名教授涂榮豹先生在文[1]中介紹了著名特級教師孫維剛“不要求學生預習，并獲得巨大成功”的做法:“不預習，他面臨的就是新問題、新情境，那他就有可能‘從無到有’地去探究.”對此，筆者深有所感.既為數學科研，那么學生面臨的就應該是一個嶄新的、陌生的未知世界，他們才會以極強的求知欲、懸疑感去發現、去構建、去應用，并在此過程盡情地享受認知的快樂和解決問題的成就.

其三，偉大教育家蘇霍姆林斯基有句名言:“掩蓋教育意圖是取得教育效果的最佳方法.”課前不預習，學生不知道這節課將要研究什么、怎么研究、要解決哪些問題，事先將教育意圖掩蓋得嚴嚴實實，一切問題都是當堂提出、當堂解決，取得的也就是彌足珍貴的即時效果.

其四，學生課前預習和課堂上閱讀教材都是一種自學，從根本來說，這兩種自學都沒有走出“注入式”的窠臼，都不能稱為數學科研.筆者和全國許多教師曾實施過一種叫做“導學案”的數學教學法，收到了很好的教學效果. 此節課雖沒有給學生印發具體的“導學案”，但究其實質，乃是將這個“導學案”悄悄地融入全節課的教學之中. “導學案”最突出的精髓就是源于課本，又不囿于課本，精心設計的是一個個具有開放性的問題，探究的是結論，重視的是過程，強調的是探索性.

其五，現在的中學生，不管他們將來從事什么職業，在他們的工作和創業中，都要面臨大量的新問題、新情境，都沒有現成的答案可依，需要不斷地去發現問題、分析問題、總結規律、形成理論、建構系統、應用理論，取得事業發展乃至騰飛的先機. 若在中學階段，就在這方面打下堅實深厚的基礎，對未來的發展可產生積極和深遠的影響.

用以上五方面理論來考量，此節課堪稱引領學生進行數學科研的精品.

簡單回顧梳理一下整節課的流程:①復習直角三角形中的簡單知識;②提出核心問題，能否寫成連等式的形式;③初步得結論;④進一步完善結論;⑤用所得結論獨立自主地、由淺入深地解決實際問題;⑥發現矛盾，解決矛盾，深化認識. 特別是給出了圖2這個科學研究最一般的途徑，具有極其深刻的意義和價值.學生肯定不是第一次，也決不是最后一次接觸這類圖，要求學生一次性地深刻理解、熟練駕馭這類圖當然是很不現實的，須要適當的重復和反復強化，不過重復須巧妙，強化須科學.圖2中的“直角三角形”、“任意三角形”，在不同的教學內容中，就應該換成相應的研究對象，這樣，就大大地拓展了圖2的蘊涵量.

2. 思維含量

思維是高等智慧動物——人類大腦特有的功能，數學是思維的科學，發展提高學生的思維水平和能力是數學教學最根本的職責.人們的活動有機械化、程式化和非機械化、非程式化之分. 在前者的活動中，較少甚至沒有大腦思維的參與，像“機器人”一樣地進行操作;而在后者的活動中，眼、手和嘴的一切活動都與大腦有著千絲萬縷的聯系. 大腦指揮人的有關器官進行操作，在操作的過程中又作用于大腦，內外結合、互相刺激，人的大腦的功能就得到不斷優化發展了. 發展提高學生的思維水平和能力是一項系統工程，須將這項任務分解貫串到整個數學教學過程之中，每節課都應有所擔當.

由sinA=，sinB=，sinC=，得==，是此節課的核心內容，自學或教師直接告知，都不能算是學生自己智慧勞動的成果.教師至多只能略微提醒學生關注關鍵量c，在多媒體課件或黑板上讓c處于某種特殊地位，學生則利用思維的敏捷性、深刻性和創造性，發揮c的紐帶作用，獲得突破.當在直角三角形中得到結論時，教師貿然宣布“得到正弦定理”了，這種對學生思維的良性刺激，促使學生認識的全面和深化.

圖2揭示了數學思維最普遍的規律，即從特殊到一般，再從一般到特殊，體現的是最重要的轉化回歸的數學思想.

圖4所對應的實際問題，不是靠簡單的操作就可解決的.利用現有的工具，可測得AB=a，∠PAQ=α，∠PBQ=β，如何架構起一座從a，α，β通往PQ的橋梁，除必要的知識基礎外，更需要的是一定的思維含量.果然學生提出幾種風格不同的思路，得到兩種截然不同的結果，激發起學生進一步探究的熱情.待發現不同結果其實質原本相同時，思維綻放出喜人的、絢麗的花朵.

3. 文化含量

新課標在開頭就明確指出:“數學是人類文化的重要組成部分，數學素質是公民所必須具備的一種基本素質.”據此理念，我們應該將數學教育的目標定位于:發展思維，提高能力，文理融合，德智兼顧，完善人格.所以文[2]說:“在當前更應該著力于用數學文化來塑造學生的靈魂，在數學教學的全過程中體現對學生的人文關懷. 數學文化則是其所蘊涵的精神、理念、思想、品質、審美觀念、人文價值、創造性，以及對思維發展和世界科學技術進步所產生的巨大作用的統稱.”說文化含量，決不是指離開數學內容空泛的奢談，而是與數學教學內容密切配合、有機聯系達到水乳交融的一種舉措.

本節課，教者從嫦娥奔月的神話故事，談到隨著現代高科技的迅猛發展，飛天登月不再是幻想，而已成為現實，繼而拓展性地指出:許多科學技術和理論的發明、發現和創造最初都源于幻想，通過不懈的追求和勇敢的探索，幻想終會成真!這是科學技術也是數學科學的精髓，激發起學生為人類的進步事業追求真理、發現真理、應用真理的科學精神. 正是正弦定理對稱和諧、奇妙優美的表達式使人們很容易形成自然的記憶，并總結出朗朗上口的口訣.在測量許多不達的事物的距離問題時，正弦定理發揮了神奇美妙的作用，充分顯示數學的魅力和威力. “乘坐飛船太空游，最近一站是月球.美麗嫦娥舒廣袖，吳剛捧出桂花酒”更是將神話與現實聯系，科學理性與浪漫色彩聯系，引發學生無限的遐想，堪稱學生喜聞樂見的情感抒發. 在學生激烈思考、緊張勞動的數學課堂上，這些富有人文色彩的內容猶如冬日的暖陽、和煦的春風，可使學生在心頭蕩起陣陣漣漪，在腦際掀起層層波瀾，詩情畫意的美妙圖景將記憶終生.

4. 情感含量

心態決定狀態，狀態決定成敗，而心態須受情緒和情感的制約. 在數學教學課堂上，學生的情緒和情感應有如下的發展推進過程:

冰冷→預熱→加溫→升溫→興奮→亢奮

上述過程，必須有教者情感的參與. 就本節課來看，教師的情感參與體現在如下三個方面:

第一、教師時時處處用自己的人格魅力感染學生.教師的一笑一顰、一舉一動都飽含對教育的愛、對數學的愛、對學生的愛，且這種愛是濃郁的、誠摯的、持久的和發自內心的.

第二、有效地激發學生祖國和民族的自豪感.提到飛天登月后，教者深情地說:我國的宇航員也已經實現了太空繞月飛行，不需多久，我國的宇航員也將驕傲地登上神秘的月面!所以教室里爆發出熱烈的掌聲. 可貴的是，這決不是作秀式的表演，而是與學生心理預期的一種有效接軌.

第三、將成功的機會和喜悅完全交給學生.正弦定理的發現、論證、記憶和應用，基本都是由學生在不預習、不看書、不被動接受教師告知的情境下完成的，且不時地對學生進行熱情的褒獎、鼓勵和鞭策，傾注了教師對學生成長、進步的關愛.在解決實際問題時，教師稱學生為“設計師”，這決不是戲言，寄予了對學生的厚望與期待.

事實上，教師的情感取得了豐厚的回報，學生熱情高漲、智力興奮，進入了一種科研探索、發現問題、提出問題、解決問題的最佳狀態，在成功中獲得幸福感和成就感.

參與文獻:

[1] 涂榮豹. 談提高數學教學的認識[J]. 中學數學教學參考(高中)，2006(1-2).

[2] 黃安成.人文關懷，數學教學的重要使命[J]. 教育研究與評論(中學教育數學版)，2009(2).