利用幾何畫板探究多項式函數的對稱性

在課程改革的不斷推進下，一線教師越來越重視信息技術與數學課程的整合，同時探究性學習已得到廣泛認同，基于信息技術條件下的數學探究性學習必然會進入我們的教學實踐. 利用幾何畫板這一有效的探究認知工具的優勢，教師可以更好地幫助學生主動地探究數學問題，學生更好地提出問題、分析問題和解決問題，有效地進行探究性學習. 筆者在教學中開展“利用幾何畫板進行數學探究”的選修課已經多年，發現學生十分喜歡這門選修課，從每次活動的過程和結果來看，學生利用幾何畫板工具，通過圖形的直觀和數據的動態處理，加快了探究的速度，拓寬了探究的廣度，基本形成了“問題情境—探究準備—動手操作—觀察猜想—實驗檢驗—推理論證—交流評價”的基于幾何畫板條件下的探究性學習活動模式. 本文以探究多項式函數的對稱性為例，談談在教師的指導下，學生如何利用幾何畫板進行自主的探究性學習.

一、問題情境

我們知道二次函數y=ax2+bx+c圖象關于直線x=-對稱，那么一般的多項式函數f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)的對稱性究竟怎樣呢?

二、探究準備

1. 知識準備

①若函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則函數f(x)圖象關于直線x=對稱;

②若函數y=f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=2c，則函數f(x)圖象關于點(，c)對稱.

2. 實驗準備

請打開幾何畫板，在x軸上任取一點M，同時選取點M和x軸，菜單欄“構造”—“垂線”，作出一條直線l，在直線l上任取六點A，B，C，D，E，F，并度量出它們的縱坐標，利用工具欄中的“文字工具”，將剛才A，B，C，D，E，F的縱坐標的標簽分別改為a，b，c，d，e，f，這些參數將作為多項式函數的系數，如圖1.

3. 探究指導

我們要探究多項式函數f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)的對稱性，可以從特殊到一般的方法來探究. 可以先通過探究二次函數(已知)、三次函數、四次函數、五次函數這些比較特殊的函數的對稱性，然后推廣到一般的多項式函數. 在探究的過程中我們借助幾何畫板作圖的簡便性和圖形、數據的動態性的優點，通過觀察多項式函數的系數變化與圖形變化之間的聯系，猜想多項式函數的對稱性，通過幾何畫板的再實驗，檢驗剛才的猜想是否成立，如果成立，進行推理論證;如果不成立，再進行實驗，提出新的猜想，······見圖2.

三、探究過程

問題1:三次函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖象的對稱性怎樣?

實驗:利用菜單欄“繪圖”—“新建函數圖象”，作出的圖象. 通過拖動點A，B，C，D來改變參數a，b，c，d的大小.

發現:在圖象的不斷變化中發現三次函數圖象沒有對稱軸，有沒有對稱點不好判斷. 為了進一步研究三次函數是否存在對稱點，我們的探究可以采用從特殊推廣到一般的研究思路開展.

(1) 三次函數y=ax3(a≠0)圖象的對稱性怎樣?

操作:將參數b，c，d的值都變為0. 在幾何畫板中選取點B和點M，菜單欄中“編輯”，“操作類按鈕”，“移動”，點擊“移動”按鈕，則點B移到點M位置，此時參數b的值變為0，同理操作點C，D，使得c和d的值變為0.

實驗:通過移動點A的位置，觀察函數y=ax3(a≠0)的圖象，見圖3，猜想其對稱性?

猜想:函數的圖象關于點(0，0)對稱.

檢驗:在幾何畫板中再次通過拖動點A多次改變參數a的值，發現猜想正確.

證明:由于函數y=ax3(a≠0)是奇函數，故圖象關于原點對稱.

(2) 三次函數y=ax3+cx(a≠0)圖象的對稱性怎樣?

實驗:把點C從點M處移開，通過移動點A和點C的位置，觀察函數y=ax3+cx(a≠0)的圖象，猜想其對稱性?

猜想:圖象也關于點(0，0)對稱.

檢驗:同(1)相同，略.

證明:同(1)相同，略.

(3) 三次函數y=ax3+bx2+cx+d圖象的對稱性怎樣?

實驗:再把點D從點M處移開，通過移動點A，C和D的位置，觀察函數y=ax3+cx+d(a≠0)的圖象，見圖4，猜想其對稱性?

猜想:函數y=ax3+cx+d(a≠0)的圖象關于(0，d)點對稱.

證明:函數y=ax3+cx+d(a≠0)的圖象是y=ax3+cx(a≠0)的圖象向上平移了d個單位，故圖象關于(0，d)點對稱.

(4) 三次函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖象的對稱性怎樣?

實驗:在前面的基礎上，再把點B從點M處移開，通過移動點A，B，C和D的位置，觀察函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象，見圖5，猜想其對稱性?

猜想:圖象若有對稱點，則圖象上任意一點的對稱點仍然在原圖象上，圖5中的兩個峰谷點G和H應該關于該對稱點對稱，則點G，H的中點為對稱點.

檢驗:連接點G和H線段，選取線段GH的中點I，在三次函數上任取一點J，作點J關于點I的對稱點J'，拖動點J，發現點J'一直在三次函數圖象上，猜想成立.

求解:假設三次函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象關于點(m，n)對稱，則有

f(m+x)+f(m-x)=2n恒成立.

即a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d+a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d=2n，

(3ma+b)x3+am3+bm2+cm+d=n恒成立.

?圯m=-，n=f(m)=f(-).

故三次函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖象關于點(-，f(-))對稱.

問題2:四次函數y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)圖象的對稱性怎樣?

(1) 四次函數y=ax4+cx2+e(a≠0)圖象的對稱性怎樣?

操作:將參數b， d的值都變為0. 選取點B和點M，菜單欄中“編輯”，“操作類按鈕”，“移動”，點擊“移動”按鈕，則點B移到點M位置，此時參數b的值變為0，同理操作點D，使得d的值也變為0.

實驗:通過移動點A，C，E的位置，觀察函數y=ax4+cx2+e(a≠0)的圖象，猜想其對稱性?

猜想:函數圖象關于y軸對稱.

證明:四次函數y=ax4+cx2+e(a≠0)為偶函數.

(2) 四次函數y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)圖象的對稱性怎樣?

實驗:將點B和D從點M處移開，通過移動點A，B，C，D，E的位置，觀察函數的圖象變化.

發現:從實驗操作可以看出，四次函數不一定有對稱軸，如圖6;但是也有可能有對稱軸，如圖7，那么在什么條件下，四次函數有對稱軸呢?

求解:假設四次函數y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)的圖象有對稱軸x=m，則

f(x+m)=f(m-x)恒成立.

a(x+m)4+b(x+m)3+c(x+m)2+d(x+m)+e

=a(m-x)4+b(m-x)3+c(m-x)2+d(m-x)+e

(4ma+b)x3+(4m3a+3m2b+2mc+d)x=0恒成立

4ma+b=0，4m3+3m2+2mc+d=0?圯m=-，d=-(b2-4ac)，

即當參數a，b，c，d，e滿足d=-(b2-4ac)條件時，四次函數y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)圖象有對稱軸x=-.

問題3:探究五次函數y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)圖象的對稱性.

實驗:移動點A，B，C，D，E的位置，觀察五次函數的圖象變化，探究其對稱性.

發現:從圖8和圖9可以看出，五次函數圖象沒有對稱軸，有可能有對稱點，也有可能沒有對稱點.

求解:假設函數y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)圖象的對稱點為(m，n)，

則f(m+x)+f(m-x)=2n.

a(m+x)5+b(m+x)4+c(m+x)3+d(m+x)2+e(m+x)+f+a(m-x)5+b(m-x)4+c(m-x)3+d(m-x)2+e(m+x)+f=2n.

(5ma+b)x4+(10m3a+6bm2+3cm+d)x2+am5+bm4+cm3+dm2+em+f=n.

?圯m=-，n=f(m)=f(-)，d=-(4b2-15ac)，

當d=-(4b2-15ac)時，五次函數y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)的對稱點為(-，f(-)).

探究結論:二次函數圖象有對稱軸，三次函數圖象有對稱點;而四次函數、五次函數等圖象不一定具有對稱性，在它們的系數滿足某種特定的條件下才有對稱點或對稱軸，且最高次數是奇數(大于1)的多項式函數圖象若對稱，則關于點(-，f(-))對稱;最高次數是偶數的多項式函數圖象若對稱，則關于直線x=-對稱.

四、活動體會

在本次探究活動中，學生把幾何畫板作為構建知識的工具，利用幾何畫板進行數學實驗，學生根據自己的直覺或判斷，然后再進行合理猜想，或者說是“大膽而冒險”的猜想，最后對猜想給予嚴格的證明. 在這個學習過程中，利用幾何畫板這一有效的學習工具，不斷地提出和檢驗自己的猜想，使自己的猜想一個一個變成了事實，同時也排除了錯誤猜想，最后通過論證獲得新的知識，這種“實驗—猜想—驗證—論證”的探究學習模式，讓學生獲得了知識建構的親身體驗，而且比我預期要講授的知識更多，更重要的是獲得了探究這類問題的方法. 如果采用傳統的“結論—證明”的學習模式，較難啟發他們進行比較深入的探究，更主要的是，學生應有的觀察、實驗、發現、猜想等實踐部分，就被教師滔滔不絕的講解所替代，學生在很大程度上失去了知識主動建構的機會. 在新一輪的課程改革中，我們可以在選修課中設置一些利用幾何畫板進行數學學習的課程，開展一些有效的數學探究活動，即拓寬了數學視野，又豐富和活躍了我們的數學課堂，真可謂一舉兩得.