走進數學視界,觸摸科學背后的風景

【內容摘要】數學思維是科學認知的基本方式。科學教學離不開數學，科學探究更需要數學思維的植入和參與。因此，本文即以數學解釋、數學篩選、數學測量和數學遷移等四個方面為切入點，走進數學視界，嘗試數學思維在科學教學中的創生性實踐，以豐富科學認知的內涵和素養。

【關鍵詞】數學思維 科學教學 創生性實踐

如何挖掘科學背后的數學，如何將數學思維創造性地應用于科學教學，這是當前科學教學亟須解決的一個重要命題。本文試從“數學解釋”、“數學篩選”、“數學測量”和“數學遷移”等四個方面，嘗試和探索數學思維在科學教學中的創生性實踐，以提高科學課的創新素養和思維品質。

一、運用“數學解釋”，演繹數理關系，讓科學探究走向豐富而深刻的思維探底。

科學教學需要引入數學思維進行問題解答和現象解釋，尤其對那些有著豐富的數理關系的問題，需要逐級推導和演繹，方能撥霧識途，抵達科學的真諦和本源。

1.直面現有素材，實施推理性解釋。

推理性解釋，就是以現實為基點，展開由此及彼、由淺入深的合乎邏輯的推導和演進，以取得合理的判斷和結論。科學教學上，我們可以運用這種解釋，從已有的現象和數據出發，通過變量或改變其他條件，來推導出事物的發展變化及其規律。比如：五（下）《建橋梁》一課，在最后一個“創新”環節里，面對一張無法搭成“橋面”的A4紙（A4紙質地較軟，放在兩個“橋墩”上就“塌”下來了）。“有辦法把‘橋面’搭起來嗎？”一些學生很快想出了給“橋面”加拱、在“橋面”下加橋墩、在“橋面”上粘紙筒、把A4紙折成紙槽狀、把A4紙折成扇子形等很多方法。其中，有些學生首先想到的是把“橋面”加厚，就是加兩張、3張或更多的A4紙，以為這樣橋面就不會“塌”下來了。這種做法看上去很有道理。但是，只要運用數學思維進行演進和推理，就很容易推翻這種設想。比如一張用A4紙做成的橋面，“橋面”置于“橋墩”上的兩個部分分別重0.005牛頓，懸于兩個“橋墩”之間的部分重0.02牛頓，那么，A4紙處在橋墩、橋中、橋墩三段的重量之比就是1：4：1。放上兩張A4紙把橋面加厚（“橋面”三段依次重0.01N、0.04N、0.01N），由于紙張的質地是一樣的，橋面三個部分之間的比重不變，仍然是1：4：1，只要是這種比率，放再多的A4紙，橋面仍然會“塌”下來。這種推理性解釋淺顯、直觀，既否定了“加厚”的可行性，又讓學生明白了其中的道理，使科學探究富有數學邏輯和思維內涵。

2.依據數學規則，實施原理性解釋。

數學上有很多被證實的定理和命題，若能靈活地應用于科學推論和解釋，必能簡化研究過程，直達問題的終點。仍以五（下）《建橋梁》一課為例，為了增大“平板橋”的承重能力，很多同學想到了將A4紙“橋面”折成紙扇形狀，然后再往“橋面”放重物做試驗，檢測的結果是承重能力明顯增強。為什么會這樣呢？學生很難知曉。但是，當我把紙扇形的“橋面”縱向對著學生時，學生頓時恍然大悟，個個急不可耐地說出了其中的道理：這張A4紙的“橋面”已經變成了許許多多的三角形結構。從數學規則中得知，三角形最具穩定性，用上它自然能加固“橋面”。

3.反求物象成因，實施歸因性解釋。

科學上，為了破解物象的成因，讓學生明理悟道，需要借助數學思想，運用相關的數學概念和知識，對科學現象追根求源，以獲取合理的解析和印證。科學課上，有些問題的探究，僅停留在“怎么樣”上，而未能對“為什么這樣”進行深入的研究和探索，使學生在進行科學探究時缺乏應有的心智歷練和思維張力。比如：為了增大“平板橋”（A4紙）的承重能力，有些學生想到了用“粘紙筒”的方法，比如把卷好的兩個紙筒用雙面膠依次粘貼在A4紙做成的“橋面”上，這樣，“橋面”不光不會塌下去，還能承受一些重物。這的確是一種不錯的辦法，可惜的是，一些老師并沒有對這種辦法背后的原因作出解釋。其實，為什么能夠增大平板橋的承重能力，以及承重能力增大以后的平板橋有什么特點，這才是科學探究最有價值和最值得玩味的地方。為了揭示其中的奧秘，我在教學這一環節時，便以圖形轉換的方式，巧妙地進行數學解釋，學生很容易就破解了其中的“玄機”。

一種情況是紙筒完全粘在“橋面”上，一種情況是紙筒一端雖離開“橋面”，但依然使用繩索與“橋面”相連（作用不變），一種情況是紙筒垂直地堅立在“橋面”上，身體仍以繩索與“橋面”相連。最后一種情況，就是一座“斜拉橋”。經過這樣的圖形轉換和處理，學生豁然開朗，其中的道理和緣由不說自破：粘上紙筒的“平板橋”已然具有“斜拉橋”的性質。當然，這樣的圖形轉換還有其他形式，比如紙筒先從中間凸起，凸起部分用繩索與“橋面”連接，這也是一座“斜拉橋”，更有“拱橋”的特性。這種數學解釋的創生和應用，易于引發學生對事物本質屬性的求索，從而培養學生的問題意識和創新品質。

二、運用“數學篩選”，精簡實驗因子，讓科學探究走向精準而便捷的核心追問。

科學探究追求簡捷和準確，常需要在冗雜的數字環境和背景材料中，進行必要的精簡和取舍，以獲取簡捷清晰的探究線路，使各種探究活動直達問題的核心。

1.理清數量關系，去掉無用的。

科學上，若要簡明快捷地處理和解決問題，需要對現有的條件進行去偽存真的篩選，選取有價值和必需的，剔除無用和多余的。比如在“研究概率”這一問題時，有這樣一道題目：盒子里有大小相同的3只小球和1只黑球，若從中隨機摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是多少？

在這里，“1只黑球”是障眼法，根本就沒有任何意義。這樣，隨機摸出兩只球，顏色不同的概率當然是1/2。可見，理清數量關系，剔除無用的數據和信息，這是簡化問題、解決問題的關鍵。

2.關注數值效度，優選最佳的。

科學探究的本質在于求真，需要操作的規范和數值的精確。運用數學思維，可以以數值效度統觀科學探究，優選最佳的探究方法和路徑，從而取得理想的探究效果。比如：研究“替代測量”這一問題，對于如何測出一個螺帽的體積，學生想出了很多辦法。有的把螺帽系上一根線，把它放進裝有水的量筒里，水位上升的高度就是螺帽的體積；有的將螺帽先放進量筒，再往里面倒入一定量的水，取出螺帽，量筒里水位下降的體積就是螺帽的體積；有的把螺帽放進盛滿水的燒杯里，從燒杯里溢出的水的體積就是螺帽的體積；有的先將螺帽放在燒杯里，然后用水把燒杯倒滿，再把螺帽取出，用量筒里的水將燒杯里的水加滿，量筒里減少的水的體積就是螺帽的體積……測量螺帽體積的方法有七八種之多，從理論上看，這些方法都是正確的、科學的，但是，從數學上看，只有第一種方法是最有效的，因為只有它才最接近螺帽的真實體積。而其他幾種方法，都會存在較大的誤差。因此，從數學思維出發，以數學的嚴密和精準效度去優選最佳方案，這是保證探究活動的真實有效所必需的。

3.核定物量比例，組合精準的。

實驗是科學探究的主要方式，在研究各種物質變化和化學反應的時候，需要對置入反應的物質作出數量的核定與搭配，以避免出現反應不充分或大量浪費的現象。比如《白醋和小蘇打》一課，在做“混合白醋和小蘇打”實驗時，一般老師只關注兩種物質混合后的反應情況。至于兩種物品各取多少為宜，卻不在老師的關注之內。由于缺乏對混合比例的要求和指導，學生實驗時隨意性很大。我在執教這一課之前，多次小容量試驗兩種物品之間的搭配比例，結果發現2克小蘇打和10毫升白醋正好反應完。于是，在學生實驗時，我指導他們每次按照1：5的搭配比例進行操作，這樣既不浪費，又能使反應徹底，現象明顯。精準的組合，應該成為科學學習與科學生活的一種方式和習慣。

三、運用“數學測量”，描摹物象勢態，讓科學探究走向簡易而清晰的系統認知。

將“數學測量”應用于科學教學，可以將物象變化情況清晰地表達出來，給人以鮮明的可視性和認知感。

1.數學統計，于顯像中揭示事物的本質。

科學教學上，借助于數學統計，能夠把實驗探究中的許多數量關系用直觀的圖示表達出來，這樣就會在顯像中鮮明地揭示出事物的本質，給人以曉暢通達之感。比如四（下）《小車的運動》一課，在研究“影響小車速度的因素”時，學生分別就“重物”和“拉力”的改變對小車的影響做了一組實驗，得到一些數據。

形成的表格呈現了三組數據之間的比例關系，但卻無法知曉沒有實驗的數據之間究竟會是什么關系。如果將這兩份數據用數學曲線表達出來，就能很快看清小車速度與重物及拉力之間的數量關系了（反比與正比），而且每一次量變引出的對應數值及其變化規律也就很自然地凸顯出來。如下圖：

2.數學計算，于變式中破解問題的屬性。

數學計算是科學探究的重要方法和手段，它常通過一定的數學規則，進行數據的合理推演，以形成科學的認知結論。但科學探究中的數學計算，多是一種超常規的思維，往往需要一定的創新和變通，方能取得實質性效果。

尤其對于日月星辰的運行速度的計算，更需要數學思維的介入和變式求解，才能測算出它們的運行快慢。比如：讓學生測算出月球的公轉速度，他們會一時不知所措。但是，只要將數學圖形和比例尺求解規則運用起來，問題的解決并不困難。首先引導學生搭建一個觀察網格，要求在距離網格1米處觀察月球在天空中的位移情況。為了獲取月球位移的明顯數據，可以用五天作為一個時間單位，即從第一天某個時間點開始，在網格上記下月球位置，到第六天晚上的同一時間點止，測量出月球五天后位置移動的距離。用這個距離按照1:380000000比例尺，計算出月球實際運行的大概距離N，最后用這個實際距離N除以5天所用的216000秒，就可以計算出月球的公轉速度了。

四、運用“數學遷移”，創生思維路徑，讓科學探究走向新奇而自然的問題求解。

數學遷移，就是通過數量關系的變化，引發學生新的關注和思考，并由此步入一個新的探究路徑，展開新的研究和探索。科學教學中，教師可以用“數學遷移”，凸顯問題情境，將學生帶入一個新的探索天地，讓學生興味盎然、孜孜以求。

1.“挑剔”數量變化，引發問題。

科學探究中，饒有興味的問題情境的鋪陳或懸念的產生，在很大程度上來自于物量的變化。科學教學中，需要老師以數學遷移為手段，引導學生聚焦物量變化，并以挑剔的眼光去主動質疑問難，尋求新的探究方向和思維路徑。比如《植物的生長》一課，主要介紹“光合作用”的形成及其作用。上課伊始，我不直接解釋“光合作用”這一概念，而是以一盆花草引出研究主題：一只花盆，里面的土壤重2千克，栽上一株重50克的花草。過了幾個月后，花草移栽時測得的重量為500克。這株花草增加的重量從哪里來的呢？很多學生不假思索地回答：是從土壤里吸收了養分。那土壤的重量會減輕多少呢？學生堅信：花草增加的重量，就是土壤消耗的重量。接下來，老師出示了土壤的變化，這時土壤的重量為1.95千克。很顯然，土壤減輕的50克，相比這株花草增加的450克差距太大了。那么，這株花草多出的400克重量從哪里來的呢？很自然地，這種“數學遷移”就把學生順利地帶入了“光合作用”的研究線路上，學生的探究興致頓時高漲起來。這樣的“遷移”既自然貼切，又饒有興味，很能激發學生的探究熱情。

2.“反目”數學常理，解決問題。

“數學常理”，一般按照常規思維進行推導和演繹，注重于數量關系的處理和厘析。而“反目”數學常理，則是以異樣或相反的方式處理數量關系，目的在于解決“根本問題”。比如：學習了《蠶的一生》后，學生知道一條蠶一生需吃桑葉約24克，我給養蠶小組的每位同學分發了500克保鮮桑葉，然后讓他們來領蠶苗。這500克桑葉可以養多少條蠶呢？按常理計算就是：500÷24=20…20，也就是能喂養20條蠶，還余20克桑葉，如果只喂20條蠶，這余下的20克桑葉不就白白浪費掉了嗎？這就是一種不科學的做法。相反，500÷24=21…-4，多喂一條蠶就多了一份收獲，這才是我們一切學習活動的最終目的。對于缺少的4克桑葉，21條蠶只需稍作節儉即可應付，也可以就地以野桑或萵苣葉補充。這種反向數學思維的運用，就是為了使探究活動更趨科學，更加優化。

3.“審問”樹形解構，研究問題。

科學教學中，利用“樹形解構”，可以把事物的特性進行有規則的數據分解，并在分解過程中直觀地傳達出事物的存在形式和變化規律，讓學生很容易搞清楚問題的本質。比如：四（下）《摩擦力》一課，很多學生認為：在接觸面光滑程度不變的情況下，同一物體運動時產生的摩擦力就不變，而且這個摩擦力的大小就等于該物體勻速運動時所需用的拉力。其實不然。如下圖：一個重10牛頓的物體在光滑程度相同的面上作運動，情況分為以下三種（圖1、圖2和圖3）。圖1是物體在水平面上運動，這時物體重力垂直向下壓在接觸面上，假如摩擦力是8牛頓，那么，拉力和摩擦力一樣也是8牛頓。圖2則把這個面斜放，物體向坡上運動。這時物體的重力不再是垂直壓在接觸面上，而是向左傾斜，這時，這個重力就可以分為兩個力，一個是反拉力，即和拉力相反的力（6牛頓），一個是直接壓向接觸面的壓力（8牛頓），這個壓力產生的摩擦力如果為6.5牛頓，那么，把物體拉上去所需要的拉力就是6+6.5=12.5牛頓。同樣的，圖3中壓向接觸面的壓力也是8牛頓，摩擦力也為6.5牛頓，但另一個分解出的6牛頓力卻與拉力方向相同，于是，物體運動時所需的拉力可以計算為：6.5-6=0.5牛頓。

這種圖示和數據解構，清晰地表達出摩擦力和拉力的變化情況，將抽象的事理解析得非常明了，很能訓練學生的科學思維，引發學生的問題意識和反思精神。

數學思維是科學的基本思維形式，它深深地扎根于科學的土壤，是科學教學汲取不盡的營養。開啟科學背后的數學，創新數學規則和數理演進，必能大大提升探究活動的內涵和品質，從而促進科學教學的深度發展，讓科學課呈現出別樣的風景和色彩。

注：本文獲2011年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省江陰市華士實驗小學）