讓學生自己“織網”

“數學好玩”，會玩才好玩。讓學生寫對數學學習的感受，結果發現學得輕松的學生都有一句相同的話：我覺得數學很好玩。這些學生掌握了數學思維建構的方法，會玩。但也有的學生寫的是：我覺得數學有點難，我學數學下了很多工夫，但還是沒有學好。這些學生沒有掌握好數學思維的建構方法，不會玩，就無法喜歡數學、學好數學。學生思維建構現狀中存在的問題主要有：知識如果找不到和學生原有圖式的切合點，學生容易出現理解困難；數學學習單憑簡單模仿，缺乏深度的比較思考，學生容易出現認知錯位；學生缺乏知識的整理融合，缺少應用化的理解，容易出現學無以用的情況。

針對學生思維建構中出現的問題，筆者在實踐過程中，引導學生將自己的學習過程變成“織網”的過程，就是結合已有的知識網絡，把數學知識編織成有機的網絡。通過連接相似的、沖突的、變化的知識，讓學生領悟知識的實質，精準掌握知識。貫通知識的來龍去脈，連接知識與生活，讓學生體會知識之間的邏輯關系。在“織網”的過程中，實現從“點”到“鏈”再到“網”的逐步提升，從局部到整體，讓學生不斷感受數學思維的準確性、邏輯性、系統性、整體性、應用性，形成互相連通、具有個性和較強吸納力的知識結構。

一、織點成鏈

讓學生自己“織網”，教師首先要了解學生的圖式，包括學生已有的知識基礎、生活經驗和認知習慣，結合學生的認知圖式提供適合的學習材料。其次，教師要熟悉各個學段教材，明白知識的準確位置、因果關系和來龍去脈，在教學中引導學生構建明晰的知識結構。

1.與已有知識相織——新知變舊知。

教學中不同程度地存在著重情境創設、輕已有知識結構的現象。數學知識大多是呈螺旋狀，呈現系統性。例如，整數的運算法則、運算律對小數也同樣適用。學生發現整數加減法末尾對齊就是數位對齊，但小數加減法是末尾對齊還是小數點對齊呢？這就產生了認知沖突。學生進一步思考后發現：小數的末尾對齊有時不能保證數位對齊，而小數點對齊數位才能對齊。

整數、小數加減法——數位對齊——右邊算起。

學生在已有知識結構的基礎上理解了新知識，有基礎，也容易接受。

2.與已有的生活相織——抽象變形象。

生活圖式存在于學生的頭腦中但往往不被發現，教師要牽線搭橋，穿梭于數學和生活之間，引導學生在已有圖式上生長出新的圖式，促進數學知識的個性化建構。

例如：五年級上冊《除法各部分之間的變化規律》是學生容易混淆的內容。筆者發現學生喜歡拿蛋糕到教室過生日，于是便引導學生借助這個生活現象理解除法的規律。

師：假如老師請全班同學平均分吃一個蛋糕，如果拿來的蛋糕這有這么大。（老師比劃一個比較小的蛋糕）

生：那我們每個人估計只能吃一小口了。

師：如果拿來的蛋糕有這么大呢？（老師比劃一個很大的蛋糕）

生：我們吃的比剛才的要多了。

師：咱們分的這個蛋糕相當于被除數，分的份數相當于除數，每個人吃的相當于商，你能說說這個規律么？

生：人數不變，蛋糕越大，平均每人吃的越多。也就是除數不變，被除數越大，商越大。

師：還能聯想到其他情況么？

生：如果蛋糕不變，人越少平均每人吃的就越多。就是被除數不變，除數越小商就越大。

教學中，教師應允許學生用自己的語言來描述數學規律，鼓勵學生個性化的接受方法，拓展認知空間，使新知更適合學生的圖式。“只有當學生通過自己的思考，建立起自己的數學理解力時，才能真正學好數學”。

3.將沖突的材料相織——錯位變精準。

有的認知錯位是因為只對材料的局部事實進行概括，所進行的抽象未能反映事物的特征本質。教師應針對學生發現的一些偽特征、假本質，安排一些能暴露認知沖突的材料讓學生去體驗。

例如：五年級《分數的意義》一課讓學生辨析分數的意義：①第一根繩子用去了全長的。②第二根繩子用去了米。

（教師引導學生比劃，并進行交流。）

隨著師生之間的對話，把它們的區別整理如下：

全長的→全長是單位“1”→長度不確定→反映兩個量之間的關系用去米→1米是單位“1”→長度確定→不反映兩個量之間的關系

教師從學生的認知習慣出發，引導學生比劃體驗，原本模糊的認識變得涇渭分明。

4.將相似的材料相織——現象變本質。

數學具有高度的抽象性，學習數學的過程就是要把具體的問題抽象起來，從而找到問題的原型和本質，進而解決。

例如：五年級數學《小數的性質》

教師通常只會重點讓學生區別整數和小數末尾添上0，而筆者則讓學生進一步去探索兩者之間的聯系。

師：為什么整數的末尾添上0大小會發生變化，例如3的末尾添上0，而小數的末尾添上0大小不會發生變化？例如3.0的末尾。

生：整數后面添0就像是把3往前擠了，小數的0沒有把3往前擠。

師：說得很形象，擠了導致什么發生了變化？

生：3原來在個位上，后來被擠到十位上，是數位變了。

師：小數的數位為什么不會被擠呢？

生：小數的數位是固定的，因為有小數點把它給固定住了。

師：如果想在整數的末尾添上0又要不改變大小可以怎么做？

生：在整數的末尾先點上一個小數點把數位固定住。

整數→末尾添0→數位變化→數的大小變化

末尾添上小數點

小數→末尾添0→數位沒有變化→數的大小不變

學生不再需要耗費腦筋去區分，而是通過建立體系發現了兩個知識之間的相同本質，感受到數學的奧妙。

5.將知識與體驗相織——模糊變清晰。

有時候教師講得頭頭是道，題題細細分析，學生作業中仍然是錯誤百出。著名數學教師馬明把這種現象比喻為：教師把知識“拋”得越快，學生忘得越快。看來老師的講解和強調并不等于學生真正的掌握。教學中，教師要引導學生采用各種方法比較體驗，發現知識間的區別以及導致區別的原因，就能有效避免“指鹿為馬”。

例如：五年級《多邊形的面積》：

①一個平行四邊形通過剪拼轉化成一個長方形，（ ）沒變，（ ）變了。

②一個長方形的相框通過拉成一個平行四邊形，（ ）沒變，（ ）變了。

筆者給學生提供了一張平行四邊形的紙和一個活動的長方形框架。學生通過動手操作，體驗紙剪拼后面積不變，框架拉伸后周長不變。

進一步探尋原因發現：

平行四邊形剪拼成長方形→面積固定→周長變小→高小于斜邊

長方形拉成平行四邊形→周長固定→面積變小→底不變，高變小

學生通過外部的操作活動推動內部的心理活動，重新搭建起知識與各方面因素間的關系網絡，將知識結構中的相關知識建立聯系，最終獲得知識的意義。

二、織鏈成網

學生把串起的知識鏈再通過整理，織成知識網絡。把握知識的主線，理清知識的脈絡；選取網中一個點進行聯想，推動網絡發散，為解決問題提供更多的素材；鼓勵學生溯本求源，貫通更多的網絡通道；結合變化的情境，實現網絡的融會貫通。

1.整理——實現網絡聚合。

數學學科有自身的邏輯體系，數學學習是系統性工程。所以要引導學生明晰知識脈絡，建立知識體系，在遇到問題的時候，能夠借助這個體系，運用相關的內容去解決。小學生抽象理解能力不強，搭建知識體系的能力較弱。教師要有意識地鼓勵并幫助學生把每節課的內容內化到自己的數學學習結構中，織成一張數學之網。比如學到分數的基本性質聯想到商不變的性質，從除法、分數、比的關系把思維鋪開，以實現對知識的意義建構，學生在建構中學得更深刻，獲得更好的感悟和發展。

例如：隨著除法、分數和比的學習，學生逐漸形成的知識圖式如下：

學生把知識以網絡交錯的形式貯存于大腦，做到排列有序、結構清晰，這樣有利于提取運用，在不同的問題情境中，也能通過聯想猜測，調出相聯系的知識，找到解決的方法。

2.聯想——促進網絡發散。

形成了知識體系，要想熟練運用，還要學會利用一個結點發散，學生根據一個結點聯想到的東西越多，對于學生解決問題所能提供的信息就越多。經常進行頭腦風暴式的訓練，學生尋找知識網之間的通道的能力就變得越來越熟練，可以從一個知識點順利迅速到達另一個知識點。教學中經常讓學生看著條件或者一個名詞進行聯想，沒有限制，學生想的內容就會非常豐富。

例如：老師出示“平行四邊形”，讓學生聯想。

學生喜歡這樣的思維體操，也喜歡用這種形式玩游戲，在不知不覺中，知識之間的通道越來越多，就會給學生解決問題提供極大的便利。

3.變化——推動網絡融合。

數學知識間要實現融合，因為綜合地運用知識去解決問題才能真正提高解決問題的能力。課堂中的重復練習浪費了學生的時間，也讓學生養成思維的惰性。有的學生不讀題，只是照著例題的樣子模仿，碰到綜合性較強的練習往往就會無從下手。

例如：五年級《分數的意義》，請在圖1中表示出三分之一。學生大部分化成圖2的樣子：

因為中心點學生不會找，大部分學生畫的圖形很不規范。為什么學生一定要這樣分呢？原來學生見過的平均分都是形狀一樣的，所以會認為只有形狀一樣才算是平均分。

把這個等邊三角形變成一個普通的三角形，請學生表示出它的三分之一。學生開始變得困惑。

師：我們以前學的知識有沒有可以把這個三角形平均分成3份的？

生：把下面的那條邊平均分成3份。

師：這3個三角形看起來形狀一點都不一樣啊，它們真的相等嗎？

生：相等，因為它們的底是一樣長的，高也是一樣的，等底等高，所以面積就一樣大。

師：對，我們可以利用三角形面積的知識來解決這個問題。

從等邊三角形變化到普通三角形，打破了學生對于平均分的片面認識。通過與已有三角形面積的知識相融合，創造出新的分法，加深了學生對于平均分的認識。皮亞杰認為：學生建構的新認知圖式，不僅僅是原有圖式的延續，不能采用信息的機械累積。教師要創設促進學生理解的情境，學生在突破新知與原圖式之間矛盾的過程中，形成更加完美的知識網絡。

美國教育家貝斯特說：“真正的教育就是智慧的訓練。”杜威認為：“學習就是要學會思維，形成清醒的、細心的、透徹的思維習慣。”筆者引導學生結合數學的特點學習數學，讓學生自己“織網”，在織網的過程中，將零散的知識點織成有序的知識鏈，織成緊密的知識網，同時，學生也會經歷比較辨析、歸納整理、聚合發散、融會貫通等深度思維的過程，最終將知識與技能、思想與方法融為一體，感受到數學的獨特魅力。

注：本文獲2011年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區第二實驗小學）