讓線段的端點“長”起來

現 象

“認識線段”是蘇教版小學數學教材二年級上冊的內容。鑒于低年級兒童的認知特點，教材給出了“把線拉直，兩手之間的一段可以看成線段”的描述性定義。接著就給出了線段的表現形式，線段可以用 表示。

觀察眾多老師的課堂教學，基本也都是按照這樣的思路來設計教學的。首先通過情境抽離出線段是“直直的”這一基本屬性，然后說明兩手捏住的地方是線段的兩個端點，最后告知線段的圖形表示形式。課堂總結時，學生都記住了線段的兩個特點：線段是直直的，它長著兩個端點。

反 思

教師給予的是否科學？學生真的理解線段的特點了嗎？是否存在疑問但未能展現？

首先，線段的特點究竟是什么？“直直的”肯定是線段的首要特征，也是線段、直線、射線的共同特征。而“兩個端點”事實上指線段有一定的長度，從知識的發生發展過程以及兒童的認知需求來講，線段的第二特征是否可以說成“有長有短”，之后才是“兩個端點”？誠然，“有長有短”和“兩個端點”理論上是指同一個特征，但是考慮兒童的認知過程以及線段和直線、射線的關系，顯然將線段的特征描述為“直直的”、“有長有短”和“兩個端點”更為科學。

另外，在形象感知階段，教師告知學生“兩手捏住”的地方是線段的兩個端點。這時兒童的感知是正確的，那就是線段的端點指的是線段的起始位置和結束位置，形象地說，就是線段的頭和尾。但是當教師給出了圖形的表示形式 之后，學生心里建構的線段的端點又會是什么了呢？是否有可能就變成了那兩條小豎線了呢？假如學生有了這樣的建構，那到指認多邊形中的線段的環節，他們是否會產生認知沖突呢？（多邊形中的線段沒有兩條小豎線）

驗 證

帶著疑問，以一個孩子的家長、其他孩子的大朋友的身份，筆者組織了10位一年級的兒童，在輕松自如的環境中進行了驗證。

當給出線段的圖形表示形式時，所有孩子都在認真地觀察一位長者告訴他們的數學知識。不一會，一個孩子大膽地問：“你這條線段怎么兩頭是翹起來的啊？”另一個孩子也叫起來：“對啊，你的這條線段和我們手里的線段不一樣啊。”這時，其他孩子也發現了問題：“是啊，不一樣的。”“是不是我們手里的毛線兩頭也要翹起來啊？”竟然有一個孩子想到了解決問題的辦法。作為一名數學教師，筆者頓時急得渾身冒汗，急忙解釋：不，這兩小豎線只是用來表示線段的兩個端點的，不是說線段兩頭要翹起來，線段首先應該是直直的。

之后，雖然孩子們在指認身邊物體表面的線段時，已經感知了線段的端點是線段起始位置，但是在指認圖形中的線段時，卻依然有孩子提出“這里的線段為什么沒有端點？”等問題。

解 析

看似簡單的問題，在兒童心里卻存在著眾多疑點。此類接近本源的知識，卻似乎已經無法予以更多的解釋。真實的矛盾需要我們進行細致的分析。

一、線段緣何要有兩個“端點”？

由于線段有一定長度，線段的端點是現實存在的。但正因為是表示起始和結束位置的兩個點，它應該是無形的。當我們表示線段時，當我們畫完時，具有一定長度的線段就呈現出來了。而為何在表示線段時是用兩條小豎線來表示端點呢？因為我們無法真正意義上表示出無限長的直線和射線，而用“ ， ”來表示直線和射線。為區別于直線和射線的表示形式，也由于線段本身就是直線上兩點間的一部分，所以線段可以用 來表示。而正是由于其本質屬性和表示形式之間的差異，造成了兒童認知的障礙。

二、面對本源，我們教什么？

張奠宙說：教什么永遠比怎么教更重要。那么面對如此本源的知識，我們該教什么？是給孩子“知識、規定”，還是要讓他們通過經歷積累活動經驗？

小學數學中，本源性的知識很多。如：1個物體平均分成兩份，1份不能用自然數表示，而要用分數二分之一表示，寫作。面對這樣的問題，有人選擇簡而化之，直接告訴。但也有很多專家建議讓學生嘗試創造二分之一的表示形式，然后用自己的理解進行合理解釋，最終在交流的基礎上確定并欣賞數學家的表示形式。

策 略

如何讓線段端點不但存在于現實中，更構建到學生的理解中，而且在表示線段時自然地生長出來，是我們要回答的問題。

在拉直毛線和比較毛線的長短的過程中，教師就可以抽象出線段的“直直的”和“有長有短”兩個基本屬性。正因為有長短，所以教師可以讓學生指出幾條不同的毛線線段分別是“從哪兒到哪兒”。這兩個“哪兒”正是線段本質意義上的兩個端點，教師可以抓住契機告知學生這兩個點是線段的端點。通過對身邊線段的指認，“×××是直直的”，“它有這么長”，“它的兩個端點在這兒”，可以進一步促進兒童“同化”與“順應”的過程，使其達成與新知的平衡。

“如何畫線段？”這個問題顯然就是接下來值得探究的問題。它促使學生從一個平衡狀態向另一個平衡狀態過渡。根據線段“直”的特性，學生自然能想到用有直的邊線的物體來畫線段。如果讓學生畫，一般情況下，畫出的卻是一條數學上的直線。而老師卻無法告訴學生他們畫的是一條直線，而不是一條線段。（直線和射線的內容在四年級學）如何讓端點自然地在“線段”上長出來呢？面對二年級的學生，無法進行理論解釋，怎么辦？

教師創設立定跳遠情境：想一想，老師從一個位置跳到另一個位置，是否也創造了一條線段呢？這條線段的兩個端點分別在哪兒？

教師演示立定跳遠（跳完故意走開）。問：有沒有形成一條線段？兩個端點在哪兒？讓學生指，當學生不能準確指出時說：看來這里似乎出了點問題，我們把這條線段的兩個端點的準確位置給丟了。如果老師再跳一次，你有辦法準確地在地上畫出這條線段嗎？

引導學生討論，得出：需要標出起跳的位置（一個端點），跳到哪里也需要標出來（另一個端點），把兩個端點連起來，這條線段就畫出來了。

請學生幫忙用粉筆畫端點，教師再次跳，師生合作畫線段。

小結引導學生畫線段：看來，畫一條線段，不但要畫得直直的，而且要把線段的什么也表示出來？（端點）你能在紙上也畫一條線段嗎？

展示作品，教學畫法：同學們有的用小圓點，有的用短豎來表示線段的端點，盡管表示方法各不相同，但基本想法都是一樣的。那就是在畫線段時，需要把線段畫得直直的，也需要表示出線段的端點。但是在數學上，線段的畫法是有所規定的。教師示范線段畫法，指出線段的兩個端點通常用小豎線來表示。請同學們用規范的畫法在紙上再畫一條線段。

以上過程中，教師首先是激發學生產生了表示端點的需要，其次是讓學生用自己的辦法表示端點，最后才告知規范的表示方法，把端點的本質意義和表現形式進行了合理的溝通。看似簡單的問題，卻讓學生在過程的經歷中激發了思維，積累了活動經驗。同時也為以后直線、射線的表示方法的學習埋下了伏筆。

認 識

對于兒童來說知識是抽象的，但教師的教學卻不能是抽象的。它必須要和兒童的經驗建立聯系，才能讓兒童順利地進行“同化”和“順應”，才能理解數學中眾多的規定，也才有可能在過程中激發兒童的問題意識和創造意識。吳正憲老師說，要讓小學生學能聽得懂的數學。要讓小學生能聽得懂數學，一是要讓數學學習內容貼近兒童實際，讓教學方法符合學生的認知規律；二是要把數學變得簡單些、樸實些。就是用“熟悉的”去解釋“陌生的”，用“具體的”去理解“抽象的”。蹲下身子，聽聽孩子們怎么想，你將會發現他們想的可能會和你不一樣。你也將發現，其實他們有好多問題，他們會問問題，他們也有很多辦法去解決問題。尊重兒童、理解兒童，給他們機會，讓他們創造，無限精彩就會自然顯現。

（作者單位：江蘇省無錫市惠山區教育局教研室）