讓線段的端點(diǎn)“長(zhǎng)”起來(lái)

現(xiàn) 象

“認(rèn)識(shí)線段”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材二年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容。鑒于低年級(jí)兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，教材給出了“把線拉直，兩手之間的一段可以看成線段”的描述性定義。接著就給出了線段的表現(xiàn)形式，線段可以用 表示。

觀察眾多老師的課堂教學(xué)，基本也都是按照這樣的思路來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)的。首先通過(guò)情境抽離出線段是“直直的”這一基本屬性，然后說(shuō)明兩手捏住的地方是線段的兩個(gè)端點(diǎn)，最后告知線段的圖形表示形式。課堂總結(jié)時(shí)，學(xué)生都記住了線段的兩個(gè)特點(diǎn)：線段是直直的，它長(zhǎng)著兩個(gè)端點(diǎn)。

反 思

教師給予的是否科學(xué)？學(xué)生真的理解線段的特點(diǎn)了嗎？是否存在疑問(wèn)但未能展現(xiàn)？

首先，線段的特點(diǎn)究竟是什么？“直直的”肯定是線段的首要特征，也是線段、直線、射線的共同特征。而“兩個(gè)端點(diǎn)”事實(shí)上指線段有一定的長(zhǎng)度，從知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程以及兒童的認(rèn)知需求來(lái)講，線段的第二特征是否可以說(shuō)成“有長(zhǎng)有短”，之后才是“兩個(gè)端點(diǎn)”？誠(chéng)然，“有長(zhǎng)有短”和“兩個(gè)端點(diǎn)”理論上是指同一個(gè)特征，但是考慮兒童的認(rèn)知過(guò)程以及線段和直線、射線的關(guān)系，顯然將線段的特征描述為“直直的”、“有長(zhǎng)有短”和“兩個(gè)端點(diǎn)”更為科學(xué)。

另外，在形象感知階段，教師告知學(xué)生“兩手捏住”的地方是線段的兩個(gè)端點(diǎn)。這時(shí)兒童的感知是正確的，那就是線段的端點(diǎn)指的是線段的起始位置和結(jié)束位置，形象地說(shuō)，就是線段的頭和尾。但是當(dāng)教師給出了圖形的表示形式 之后，學(xué)生心里建構(gòu)的線段的端點(diǎn)又會(huì)是什么了呢？是否有可能就變成了那兩條小豎線了呢？假如學(xué)生有了這樣的建構(gòu)，那到指認(rèn)多邊形中的線段的環(huán)節(jié)，他們是否會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突呢？（多邊形中的線段沒(méi)有兩條小豎線）

驗(yàn) 證

帶著疑問(wèn)，以一個(gè)孩子的家長(zhǎng)、其他孩子的大朋友的身份，筆者組織了10位一年級(jí)的兒童，在輕松自如的環(huán)境中進(jìn)行了驗(yàn)證。

當(dāng)給出線段的圖形表示形式時(shí)，所有孩子都在認(rèn)真地觀察一位長(zhǎng)者告訴他們的數(shù)學(xué)知識(shí)。不一會(huì)，一個(gè)孩子大膽地問(wèn)：“你這條線段怎么兩頭是翹起來(lái)的??？”另一個(gè)孩子也叫起來(lái)：“對(duì)啊，你的這條線段和我們手里的線段不一樣啊。”這時(shí)，其他孩子也發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題：“是啊，不一樣的?！薄笆遣皇俏覀兪掷锏拿€兩頭也要翹起來(lái)??？”竟然有一個(gè)孩子想到了解決問(wèn)題的辦法。作為一名數(shù)學(xué)教師，筆者頓時(shí)急得渾身冒汗，急忙解釋：不，這兩小豎線只是用來(lái)表示線段的兩個(gè)端點(diǎn)的，不是說(shuō)線段兩頭要翹起來(lái)，線段首先應(yīng)該是直直的。

之后，雖然孩子們?cè)谥刚J(rèn)身邊物體表面的線段時(shí)，已經(jīng)感知了線段的端點(diǎn)是線段起始位置，但是在指認(rèn)圖形中的線段時(shí)，卻依然有孩子提出“這里的線段為什么沒(méi)有端點(diǎn)？”等問(wèn)題。

解 析

看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在兒童心里卻存在著眾多疑點(diǎn)。此類接近本源的知識(shí)，卻似乎已經(jīng)無(wú)法予以更多的解釋。真實(shí)的矛盾需要我們進(jìn)行細(xì)致的分析。

一、線段緣何要有兩個(gè)“端點(diǎn)”？

由于線段有一定長(zhǎng)度，線段的端點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)存在的。但正因?yàn)槭潜硎酒鹗己徒Y(jié)束位置的兩個(gè)點(diǎn)，它應(yīng)該是無(wú)形的。當(dāng)我們表示線段時(shí)，當(dāng)我們畫(huà)完時(shí)，具有一定長(zhǎng)度的線段就呈現(xiàn)出來(lái)了。而為何在表示線段時(shí)是用兩條小豎線來(lái)表示端點(diǎn)呢？因?yàn)槲覀儫o(wú)法真正意義上表示出無(wú)限長(zhǎng)的直線和射線，而用“ ， ”來(lái)表示直線和射線。為區(qū)別于直線和射線的表示形式，也由于線段本身就是直線上兩點(diǎn)間的一部分，所以線段可以用 來(lái)表示。而正是由于其本質(zhì)屬性和表示形式之間的差異，造成了兒童認(rèn)知的障礙。

二、面對(duì)本源，我們教什么？

張奠宙說(shuō)：教什么永遠(yuǎn)比怎么教更重要。那么面對(duì)如此本源的知識(shí)，我們?cè)摻淌裁?？是給孩子“知識(shí)、規(guī)定”，還是要讓他們通過(guò)經(jīng)歷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？

小學(xué)數(shù)學(xué)中，本源性的知識(shí)很多。如：1個(gè)物體平均分成兩份，1份不能用自然數(shù)表示，而要用分?jǐn)?shù)二分之一表示，寫(xiě)作。面對(duì)這樣的問(wèn)題，有人選擇簡(jiǎn)而化之，直接告訴。但也有很多專家建議讓學(xué)生嘗試創(chuàng)造二分之一的表示形式，然后用自己的理解進(jìn)行合理解釋，最終在交流的基礎(chǔ)上確定并欣賞數(shù)學(xué)家的表示形式。

策 略

如何讓線段端點(diǎn)不但存在于現(xiàn)實(shí)中，更構(gòu)建到學(xué)生的理解中，而且在表示線段時(shí)自然地生長(zhǎng)出來(lái)，是我們要回答的問(wèn)題。

在拉直毛線和比較毛線的長(zhǎng)短的過(guò)程中，教師就可以抽象出線段的“直直的”和“有長(zhǎng)有短”兩個(gè)基本屬性。正因?yàn)橛虚L(zhǎng)短，所以教師可以讓學(xué)生指出幾條不同的毛線線段分別是“從哪兒到哪兒”。這兩個(gè)“哪兒”正是線段本質(zhì)意義上的兩個(gè)端點(diǎn)，教師可以抓住契機(jī)告知學(xué)生這兩個(gè)點(diǎn)是線段的端點(diǎn)。通過(guò)對(duì)身邊線段的指認(rèn)，“×××是直直的”，“它有這么長(zhǎng)”，“它的兩個(gè)端點(diǎn)在這兒”，可以進(jìn)一步促進(jìn)兒童“同化”與“順應(yīng)”的過(guò)程，使其達(dá)成與新知的平衡。

“如何畫(huà)線段？”這個(gè)問(wèn)題顯然就是接下來(lái)值得探究的問(wèn)題。它促使學(xué)生從一個(gè)平衡狀態(tài)向另一個(gè)平衡狀態(tài)過(guò)渡。根據(jù)線段“直”的特性，學(xué)生自然能想到用有直的邊線的物體來(lái)畫(huà)線段。如果讓學(xué)生畫(huà)，一般情況下，畫(huà)出的卻是一條數(shù)學(xué)上的直線。而老師卻無(wú)法告訴學(xué)生他們畫(huà)的是一條直線，而不是一條線段。（直線和射線的內(nèi)容在四年級(jí)學(xué)）如何讓端點(diǎn)自然地在“線段”上長(zhǎng)出來(lái)呢？面對(duì)二年級(jí)的學(xué)生，無(wú)法進(jìn)行理論解釋，怎么辦？

教師創(chuàng)設(shè)立定跳遠(yuǎn)情境：想一想，老師從一個(gè)位置跳到另一個(gè)位置，是否也創(chuàng)造了一條線段呢？這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在哪兒？

教師演示立定跳遠(yuǎn)（跳完故意走開(kāi)）。問(wèn)：有沒(méi)有形成一條線段？?jī)蓚€(gè)端點(diǎn)在哪兒？讓學(xué)生指，當(dāng)學(xué)生不能準(zhǔn)確指出時(shí)說(shuō)：看來(lái)這里似乎出了點(diǎn)問(wèn)題，我們把這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的準(zhǔn)確位置給丟了。如果老師再跳一次，你有辦法準(zhǔn)確地在地上畫(huà)出這條線段嗎？

引導(dǎo)學(xué)生討論，得出：需要標(biāo)出起跳的位置（一個(gè)端點(diǎn)），跳到哪里也需要標(biāo)出來(lái)（另一個(gè)端點(diǎn)），把兩個(gè)端點(diǎn)連起來(lái)，這條線段就畫(huà)出來(lái)了。

請(qǐng)學(xué)生幫忙用粉筆畫(huà)端點(diǎn)，教師再次跳，師生合作畫(huà)線段。

小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線段：看來(lái)，畫(huà)一條線段，不但要畫(huà)得直直的，而且要把線段的什么也表示出來(lái)？（端點(diǎn)）你能在紙上也畫(huà)一條線段嗎？

展示作品，教學(xué)畫(huà)法：同學(xué)們有的用小圓點(diǎn)，有的用短豎來(lái)表示線段的端點(diǎn)，盡管表示方法各不相同，但基本想法都是一樣的。那就是在畫(huà)線段時(shí)，需要把線段畫(huà)得直直的，也需要表示出線段的端點(diǎn)。但是在數(shù)學(xué)上，線段的畫(huà)法是有所規(guī)定的。教師示范線段畫(huà)法，指出線段的兩個(gè)端點(diǎn)通常用小豎線來(lái)表示。請(qǐng)同學(xué)們用規(guī)范的畫(huà)法在紙上再畫(huà)一條線段。

以上過(guò)程中，教師首先是激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生了表示端點(diǎn)的需要，其次是讓學(xué)生用自己的辦法表示端點(diǎn)，最后才告知規(guī)范的表示方法，把端點(diǎn)的本質(zhì)意義和表現(xiàn)形式進(jìn)行了合理的溝通?？此坪?jiǎn)單的問(wèn)題，卻讓學(xué)生在過(guò)程的經(jīng)歷中激發(fā)了思維，積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)也為以后直線、射線的表示方法的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。

認(rèn) 識(shí)

對(duì)于兒童來(lái)說(shuō)知識(shí)是抽象的，但教師的教學(xué)卻不能是抽象的。它必須要和兒童的經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，才能讓兒童順利地進(jìn)行“同化”和“順應(yīng)”，才能理解數(shù)學(xué)中眾多的規(guī)定，也才有可能在過(guò)程中激發(fā)兒童的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)造意識(shí)。吳正憲老師說(shuō)，要讓小學(xué)生學(xué)能聽(tīng)得懂的數(shù)學(xué)。要讓小學(xué)生能聽(tīng)得懂?dāng)?shù)學(xué)，一是要讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容貼近兒童實(shí)際，讓教學(xué)方法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；二是要把數(shù)學(xué)變得簡(jiǎn)單些、樸實(shí)些。就是用“熟悉的”去解釋“陌生的”，用“具體的”去理解“抽象的”。蹲下身子，聽(tīng)聽(tīng)孩子們?cè)趺聪耄銓?huì)發(fā)現(xiàn)他們想的可能會(huì)和你不一樣。你也將發(fā)現(xiàn)，其實(shí)他們有好多問(wèn)題，他們會(huì)問(wèn)問(wèn)題，他們也有很多辦法去解決問(wèn)題。尊重兒童、理解兒童，給他們機(jī)會(huì)，讓他們創(chuàng)造，無(wú)限精彩就會(huì)自然顯現(xiàn)。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市惠山區(qū)教育局教研室）