圓“滿”的結局

解婉貞

新一輪的中考又將開始了，回顧上屆九年級學生的中考復習，筆者將自己在數學教學復習過程中認為值得保留的資料整理了一下，特別是將有關知識歸類、整理，結合學生的實際情況，設計了多節專題復習課。現將關于圓在直線、角的頂點處、幾何圖形中的運動問題，通過問題背景、解決過程、反思過程等方式呈現出來，希望對數學教學有所借鑒.

一、問題背景

在學生練習中碰到這樣一道選擇題（2009年佛山市中考題），將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一枚，而另一枚則沿著其邊緣滾動一周，這時滾動的硬幣滾動了（）

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈

對于本題，可以說大部分學生無從下手，在不會做的情況下只能靠蒙，還有一部分會動腦的學生可能會拿出兩個硬幣模擬實驗.新課程要求學生必須具備實踐與操作的能力，在教學過程中，有些問題既考查學生的空間想象能力和邏輯分析能力，又提倡學生通過實踐操作來解決.很顯然此題用一個硬幣繞另一個固定的硬幣滾動，難度很大.那是否可借助于其他兩個圓形的工具呢？比如兩個圓形紙板，或者兩頂草帽，相比較這些工具操作起來稍微容易點，學生可以去嘗試一下.但在考試中，不能借助就近的工具解決問題，可能得不償失，我認為此題缺乏操作性.而任何操作過程都有理論依據，更何況數學強調的是一種思維的嚴謹性，那么從理論角度該如何闡釋呢？此題不僅考查學生初步的建模思想和綜合運用與圓有關的知識的能力，還能有效考查學生的空間觀念、圖形的直覺判斷能力和邏輯推理能力.

近年來與圓有關的動態問題成為中考命題的熱點，其主要探究圓在運動中與幾何圖形的位置關系和數量關系，題型有很強的綜合性、靈活性和多樣性.比如（2009年安徽桐城白馬中學模擬三）：如圖1，一個等邊三角形的邊長和與它的一邊相外切的圓的周長相等，當這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉，直至回到原出發位置時，則這個圓共轉了（）

A.4圈B.3圈C.5圈D.3.5圈

（答案：D）

又如（2009年深圳市數學模擬試卷）如圖2，將半徑為1cm的圓形紙板，沿著邊長分別為8cm和6cm的矩形的外側滾動一周并回到開始的位置，圓心所經過的路線長度為？搖？搖cm.（精確到0.01cm）（答案：34.28）

圖2

這兩題很顯然都是關于圓繞圖形運動的典型問題，對于這類問題的解答涉及除與圓有關的基本知識外，還要結合三角形、四邊形等綜合知識的應用.如果將圓運動的問題稍作變式，便又有形成新的題型.如（2009江蘇通州通西一模試卷）：圖3，將半徑為1、圓心角為60°的扇形紙片AOB，在直線l上向右作無滑動的滾動至扇形AOB處，則頂點O經過的路線總長為？搖？搖.（答案：■π）

圖3

又如（2010臺州中考題）：如圖4，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直線l上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個頂點旋轉60°叫一次操作，則經過36次這樣的操作菱形中心O所經過的路徑總長為（結果保留π）？搖 ？搖.（答案：（8■+4）π）

圖4

此兩題都是求點運動的路程，它們的本質可以說是求圓的圓心運動的軌跡，就是各段弧長之和。所以這類問題的解決都可以說是圓動態問題的姊妹篇，如果學生能認識幾何圖形變換過程中的規律，那么就能舉一反三，對問題的解決也就能駕輕就熟了。

二、問題解決

由上述問題可以發現，此類型就是圓關于在直線、角的頂點處、幾何圖形的運動問題，筆者就結合09年河北省中考卷的閱讀理解題，略作改編，以便為學生消除困惑。

如圖13-1至圖13-5，⊙O均做無滑動滾動，⊙O■、⊙O■、⊙O■、⊙O■均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點時刻的位置，⊙O的周長為c.

圖13-1

圖13-2

圖13-3

閱讀理解：

（1）如圖13-1，⊙O從⊙O■的位置出發，沿AB滾動到⊙O■的位置，當AB=c時，圓心O移動的路程為？搖？搖，⊙O恰好自轉？搖？搖周.（答案：c；1）

（2）如圖13-2，∠ABC相鄰的補角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滾動，在點B處，必須由⊙O■的位置旋轉到⊙O■的位置，⊙O繞點B旋轉的角∠O■BO■=n°，則圓心O的移動的路程為？搖？搖，⊙O在點B處自轉？搖？搖周.

（答案：■c；■）

設計意圖：原中考題中此兩題是直接給出圓自轉周數的，也沒有要求計算圓心的移動路程.很顯然圓在直線上或角的頂點處無滑動滾動時，圓自轉周數與圓的周長、無滑動滾動距離或角的度數之間有關系.筆者將題目分解，讓學生獨立嘗試解決圓滾動的距離或角的度數.讓學生體會圓在運動過程的本質即圓在運動過程中它的形狀和大小是不變的，通過增加求圓心的移動路程這個環節，將圖形的運動轉化為點的運動.學生通過這兩題的解答會發現題目中存在的規律，圓心移動的路程與圓自轉周數之間的關系.

關于圓做無滑動滾動的問題，需要先進行分類，即在直線上或角的頂點處無滑動滾動，圓自轉的周數等于圓心移動的路程，這是利用本例的關鍵。而對于下面問題的解決可以直接應用（1）、（2）兩題得到的規律：圓自轉周數與圓的周長、無滑動滾動距離或角的度數之間的關系式.

實踐應用：

（1）在閱讀理解的（1）中，若AB=2c，則圓心O移動的路程為？搖？搖，⊙O自轉？搖？搖周；（答案：2c；2）

若AB=l，則圓心O移動的路程為？搖？搖，⊙O自轉？搖？搖周.（答案：l；■）

在閱讀理解的（2）中，若∠ABC=120°，則圓心O移動的路程為？搖？搖，⊙O在點B處自轉？搖？搖周；（答案：■c；■）

若∠ABC=60°，則圓心O移動的路程為？搖？搖，⊙O在點B處自轉？搖？搖周.（答案：■c；■）.

（2）如圖13-3，∠ABC=90°，AB=BC=■c.⊙O從⊙O■的位置出發，在∠ABC外部沿A-B-C滾動到⊙O■的位置，圓心O移動的路程為？搖？搖，⊙O自轉？搖？搖周.

（答案：■c；■）

說明：通過實踐應用這一環節，讓學生更加深入的理解動圓問題的實質。第（1）題學生直接應用兩個規律，第（2）題是兩個規律的綜合應用，學生解答應該是游刃有余了。

拓展聯想：

（1）如圖13-4，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切于點D的位置出發，在△ABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，⊙O自轉了多少周？請說明理由.

答案：（1）∵△ABC的周長為l，∴⊙O在三邊上自轉了■周.

又∵三角形的外角和是360°，

∴在三個頂點處，⊙O自轉了■=1（周）.

∴⊙O共自轉了（■+1）周.

圖13-4圖13-5

（2）如圖13-5，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊相切于點D的位置出發，在多邊形外部，按順時針方向沿多邊形滾動，又回到與該邊相切于點D的位置，直接寫出⊙O自轉的周數.（答案：■+1）

說明：學生解答這兩題，需要掌握三角形和多邊形的相關知識，首先要對圓的運動方式進行分類，將有關線段的和轉化為多邊形的周長，有關的角度轉化為多邊形的外角和再運用上述結論.

回顧本題圓的動態問題類型，圓在沿直線、角的頂點、多邊形做無滑動滾動過程中都有一個共性，圓運動的路程與圓心運動的路程是相等的，抓住這個關鍵點也就找到了同一種類型題的解題方法和所用的數學思想，所謂多題歸一吧.因此，對于解決兩個硬幣問題，自然水到渠成.

那再來回顧一開始的問題：將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一枚，而另一枚則沿著其邊緣滾動一周，這時滾動的硬幣滾動了（）

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈

我們可以將兩枚同樣大小的硬幣看做半徑為r的圓，則滾動的硬幣沿著固定硬幣邊緣滾動一周，圓心移動的弧長為4πr，而本身滾動一周為2πr，所以滾動的硬幣滾動了2圈。問題輕而易舉解決了.

如果題目變為如圖，如果⊙O的周長為20πcm，有兩個同樣大小的小球A，B，其半徑為2cm，小球A沿⊙O的內壁滾動，小球B沿⊙O的外壁滾動，問小球A，B各轉動幾圈后才能回到原來的位置？

此題可以說是與上題相同的問題。因為小球A或B本身沿⊙O的內壁和外壁滾動一周時，圓心A或B移動的弧長為4πcm，又⊙O的半徑為10cm，所以圓心A在以O為圓心，8cm為半徑的圓上，而圓心B在以O為圓心，12cm為半徑的圓上，所以小球A沿⊙O的內壁滾動一圈后回到原來的位置時，圓心A移動的弧長為16πcm，小球B沿⊙O的外壁滾動一圈后回到原來的位置時，圓心B移動的弧長為24πcm，所以小球A轉了4圈，小球B轉了6圈.

筆者當時把這種解決方法的過程呈現給學生的時候，他們都覺得，兩個硬幣問題也不過是與圓有關的知識應用，不像一開始拿到題時那樣束手無策了.學習數學只要掌握了方法，解決任何問題都是有可能的，正所謂“授人之漁”，學會學習.

又如2010山東威海的中考題。如圖，在？荀ABCD中，∠DAB=60°，AB=15cm.已知⊙O的半徑等于3cm，AB，AD分別與⊙O相切于點E，F.⊙O在？荀ABCD內沿AB方向滾動，與BC邊相切時運動停止.試求⊙O滾過的路程.

可以發現此題也是圓在直線運動和角的頂點處的運動問題，而⊙O滾過的路程就是⊙O與BC邊相切時，又與AB相切時的切點和點E的距離.找到這個關鍵點此題就不難解決了.

如下答案：

連接OE，OA.

∵AB，AD分別與⊙O相切于點E，F.

∴OE⊥AB，OE=3cm.

∵∠DAB=60°，

∴∠OAE=30°.

在Rt△AOE中，AE=■=■=3■cm.

∵AD∥BC，∠DAB=60°，

∴∠ABC=120°.

設當運動停止時，⊙O與BC，AB分別相切于點M，N，連接ON，OB.

同理可得BN=■cm.

∴EN=AB-AE-BN=15-3■-■=（15-4■）cm.

∴⊙O滾過的路程為（15-4■）cm.

三、反思

縱觀幾何問題中的動態問題，一般分為三種類型：動點問題、動線問題、動形問題。而這三類問題都可以相互轉化，比如圓的運動問題可以轉化為圓心的運動，上述舉例中2010臺州中考題菱形無滑動的問題也是轉化為動點問題.這就要求在教學過程中要引導學生通過實驗、操作、觀察、空間想象等方法掌握運動的本質，不要被“動”所迷惑，而是要在“動”中求“靜”，化“動”為“靜”，抓住它運動中的某一瞬間，尋找確定的關系式，那就能找到解決問題的途徑.

與圓有關的動態問題有很多，筆者只是選取了一部分，在解這類題型過程中，既需要幾何知識又離不開代數知識，可以說是數與形的完美體現.涉及的幾何知識有圓的基本知識和三角形、四邊形、全等形、相似形，等；代數方面涉及的知識有方程、函數、不等式、坐標、三角函數等；運用到的數學基本思想主要有轉化思想、數形結合、分類討論、方程思想、函數思想等.這些涉及的基本知識、基本技能、基本思想方法，概括能力、推理能力，以及數學建模的理解能力等可以說就是對學生綜合能力的考查，也是新課標提倡的追求對數學整體素養的評價效度和信度.