新課程下高中數學解題中的化歸方法教學探析

李長偉

數學解題中的化歸思想方法就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將未知問題通過變換使之轉化歸結為已知的數學問題，進而達到解決問題的一種方法.一般地，是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題，甚至轉化為人們所熟知的具有既定解決方法和程序的問題，最終求得原問題的解決.

目前解題教學中，教師關心的往往是每個題目的各種不同方法的解答或證明，一個例題總要給好幾種解法，結果對同一問題的解法越來越多，也越來越巧，教師備課時就不再是認真地仔細鉆研教材，落實好教材中所體現的通用解法，而是翻閱各種復習資料、雜志去尋求巧法妙解，無形中忽視了基本技能、基本方法的訓練，削弱了對數學基本思想方法的啟迪和訓練.

一、挖掘教材中實現化歸方法的因素

數學思想是教材體系的靈魂，它支配著整個教材.化歸思想方法融入數學教材的基礎知識之中，并不像定義、定理、公式、法則那樣具體.由于教材邏輯體系的限制，不能完整地表達數學知識中的化歸思想方法，教師要把隱含于具體知識中的化歸思想方法明朗化、清晰化，這樣既有利于教師的教也有利于學生學習掌握.化歸方法在高中數學教材中出現的頻數相當大，滲透在高中階段的代數、幾何的教學中.

在立體幾何中，定義、定理及問題的解決基本體現、應用了化歸思想.化歸的手段常常是通過平移、旋轉、作截面、側面展開等，將空間問題轉化為平面內的問題而加以解決.在代數中，如解方程問題，無論是無理方程、指數方程、對數方程，還是分式方程，都是通過同解變形轉化為一元一次方程或一元二次方程后求解的；不等式的處理也是如此，把高次不等式、分式不等式、無理不等式轉化為一元一次或一元二次不等式來求解；又如復數間的運算是轉化為實數間的運算來進行的.

二、明確轉化原理，把握轉化策略

數學是一個有機整體，它的各部分之間相互聯系、相互依存、相互滲透，使之構成了縱橫交錯的立體空間，我們在研究數學問題的過程中，常需要利用這些聯系對問題進行適當轉化，使之達到簡單化、熟悉化的目的.要實施轉化，首先須明確轉化的一般原理（化歸的一般模式），掌握基本的化歸思想和方法，并通過典型的問題加以鞏固和練習.

一般來說，實施化歸的一般步驟為：

①根據問題結構，分析解決問題的難點，確定轉化目標，尋求新的問題情境.

②將問題的條件、結論等價地轉化到新的情境中（特殊情況可以進行非等價轉化）.

例 求玸in210°+玸in10°·玞os40°+玞os240°的值.

轉化一 從基本等式入手，利用和角的三角展開式，通過恒等變形求解.

化歸一（綜合法）

∵玞os40°=玞os（30°+10°）=3[]2玞os10°-1[]2玸in10°，

∴玞os40°+1[]2玸in10°=3[]2玞os10°.①

①式平方，得：玞os240°+1[]4玸in210°+玸in10°玞os40°=┆3[]4cos210°.

∴玸in210°+玸in10°玞os40°+玞os240°=3[]4.

注 這種方法運算量小，便于理解，具有一般性.

轉化二 從乘法公式、三倍角公式的變形運用出發求解.

化歸二（添分母湊式法）

由玸in3α=3玸inα-4玸in3α，玞os3α=3玞osα-4玞os3α,

得玸in3α=1[]4（3玸inα-玸in3α），玞os3α=1[]4（3玞osα-玞os3α）.

∴原式=（玸in10°-玞os40°）（玸in210°+玸in10°·玞os40°+玞os240°）[]玸in10°-玞os40°

=玸in310°-玞os340°玔]玸in10°-玞os40°=3[]4.

注 這種代數恒等變形與三角恒等變形相結合，不但起到了降冪化簡的作用，同時體現了數學解題美，有利于提高學生靈活運用公式的解題能力.

轉化三 考慮到玞os40°=玸in50°，又10°+50°+120°=180°，以10°,50°,120°為內角構造三角形，由正、余弦定理可以求解.

化歸三 設10°,50°,120°角的對邊分別為a,b,c，外接圓半徑為R，由正弦定理有：

a=2R玸in10°，b=2R玸in50°，c=2R玸in120°=3R.

由余弦定理得：

（3R）2=4R2玸in210°+4R2玸in250°-2（2R）2玸in10°·玸in50°玞os120°，

3=4玸in210°+4玞os240°+4玸in10°玞os40°.

∴玸in210°+玸in10°·玞os40°+玞os240°=3[]4.

注 此種方法數形結合，思路別開生面.

通過一題多解、觸類旁通，或一題多變、舉一反三，進行有效的變式教學既是我國數學教學的一個優良傳統，也是新課程背景下化歸方法的重要途徑.

三、注意轉化的多樣性，設計合理的轉化方案

在轉化過程中，同一轉化目標的達到，往往可能采取多種轉化途徑和方法.因此研究設計合理、簡捷的轉化途徑是十分必要的，必須避免什么問題都死搬硬套，造成繁難不堪.

例3 求證：對任何矩形A，總存在一個矩形B，使得矩形A與矩形B的周長比與面積比都等于常數k(k≥1).

分析 對這個比較復雜的問題，如果僅從問題本身出發，無疑要用幾何方法來證明，如果這樣做，結果會讓人大失所望.所以該用代數方法證明.假設矩形A和B的長和寬分別為a,b及x,y，為證明滿足要求的矩形B存在，只要證明方程組x+y=k(a+b)，

xy=kab有正實數解即可.這樣實現了從方法的轉換到目標的轉換，使得原問題變得簡單明了.這個例子說明設計合理轉化方案的重要性，目標的轉換與方法轉換是相輔相成又互相制約的，但其目的卻是一致的，那就是通過化歸達到以簡馭繁的最終目的.