例談化歸法例談化歸法

何昊 韋華全 梅述兵

【摘要】化歸方法是中學數(shù)學一種重要的數(shù)學思想方法.把未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結為一類比較容易解決的問題中去，獲得原問題解答的一種手段和方法.應用化歸方法解題常常分為兩步：第一步解決原問題的一個特殊情況.第二步將原問題化歸為特殊問題.

【關鍵詞】化歸原則；化歸方法；化歸應用オ

一、引 言

匈牙利著名數(shù)學家羅莎·彼得(Rosza Peter)在她的名著《無窮的玩藝》一書中寫過這樣一個有趣的事例:“假設在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在的任務是要燒水，你應當怎樣去做？”正確的回答是：“在水壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上.”接著羅莎又提出第二個問題：“假設所有的條件都不變，只是水壺中已有了足夠的水，這時你應該怎樣去做?”對此，人們往往回答說：“點燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上.”但羅莎認為這并不是最好的回答，因為“只有物理學家才這樣做，而數(shù)學家則會倒去壺中的水，并且聲稱我已經(jīng)把后一問題化歸成先前的問題了”.

二、化歸的定義

“化歸”，從字面上看，可理解為轉(zhuǎn)化、歸結的意思.數(shù)學方法論中所論及的“化歸”方法是指數(shù)學家們把所要解決的原有問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得的結果作用于原有問題，從而使原有問題得解.這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法.

利用化歸法解決問題的過程可以簡單地用框圖表示（見右圖）.

三、化歸的應用

1.通過條件的變換實現(xiàn)化歸

例1 大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了一個有趣的問題.書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”

這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)有35個頭,從下面數(shù)有94只腳.求籠中各有幾只雞和兔？

解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨角雞”，每只兔就變成了“雙┙磐謾.

這樣，（1）雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成了47只；

（2）如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1.

因此，腳的總只數(shù)47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)，即47－35＝12（只）.

顯然，雞的只數(shù)就是35－12＝23（只）了.

2.通過問題的變換實現(xiàn)化歸

例2 在邊長為4的正方形內(nèi)，任意放置5個點，求證其中必存在兩個點，它們之間的距離不大于22.

分析 首先我們注意到距離22這個數(shù)值，它使我們聯(lián)想到邊長為2的正方形的對角線長.在邊長為2的正方形中，任意兩點間的距離都不大于對角線的長22.從而原問題可轉(zhuǎn)化為：證明在原條件下，至少有兩個點落在同一個邊長為2的正方形中.如圖，我們將邊長為4的正方形分成四個邊長為2的正方形，從而問題又轉(zhuǎn)化為：在圖中的四個邊長為2的正方形中放置5個點，至少有兩個點在同一個正方形內(nèi)（含邊界）.而這個問題是直觀明確的，因而問題得證.

3.通過圖形變換實現(xiàn)化歸

例3 已知矩形的面積公式,求：

（1）平行四邊形的面積公式；

（2）三角形面積公式；

（3）多邊形面積公式.

分析 （1)由于掌握了矩形的面積公式,因而可以應用割補法,將鰽BCD轉(zhuǎn)化為與之等級的矩形AEFD,從而得到平行四邊形的面積公式（圖（玜））.

（2）由（1）得到平行四邊形的面積公式，于是應用拼接法，將一個與已知△FGH全等的三角形與之拼接成平行四邊形FGHK，從而得到三角形面積公式（圖（玝））.

(3）由(2）我們知道了三角形的面積公式，于是將多邊形分割為若干個三角形，各三角形的面積之和即為多邊形的面積（圖（c））.

4.通過數(shù)量關系的變換實現(xiàn)化歸

例4 已知△ABC的三邊為a，b，c，且a2+b2+ヽ2=゛b+猘c+bc，試判斷△ABC的形狀.

解 ∵a2+b2+c2=ab+ac+bc,

∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc.

即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.

∴a=b，a=c，b=c.

∴△ABC為等邊三角形.

四、化歸的作用

1.化生疏為熟悉

數(shù)學的習題是海量的，沒有人可以做完所有的題目.對于碰到的那些表面上生疏的習題，我們先不要埋頭解題，而是想想可不可以運用化歸的思想，將它們轉(zhuǎn)化為我們熟悉類型的題目，多回想，多聯(lián)系，不經(jīng)意間或許你會有新的發(fā)現(xiàn).

2.化復雜為簡單

大廈，不是一夜而起，它需要用磚一塊一塊堆積起來.對于那些復雜的數(shù)學問題，它也是由簡單的問題結合在一起產(chǎn)生的.我們可以利用化歸的思想，反其道而行，將難題抽絲剝繭，轉(zhuǎn)化為一個個簡單的問題，最終通過解答每一個簡單的小問題，從而達到解決難題的目的.

3.化抽象為直觀

抽象——數(shù)學最美的地方，正因為這個最美，讓很多學生苦惱不堪，甚至使學生喪失了對數(shù)學的熱愛.對于那些抽象的問題，學生從內(nèi)心上就開始畏懼，更別談如何解決這些抽象的問題.然而化歸的思想應用，可以讓我們在抽象與直觀之間架設了一座橋梁，將抽象化為直觀，降低解題的難度.

五、化歸方法解題的注意點

1.牢固掌握基礎知識是運用化歸方法解題的基礎

數(shù)學基礎知識扎實、知識結構完整是實現(xiàn)順利化歸的基礎.只有牢固的基礎知識作為依托，才可以在解題的過程中靈活地轉(zhuǎn)化，不至于思維堵塞、混亂.

2.注意化歸的等價關系，保證邏輯上的正確性

化歸包括等價化歸和非等價化歸.等價化歸要求轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的又是必要的，以保證轉(zhuǎn)化后的結果為原題的結果.

3.注意化歸的多次性與多向性

化歸的過程往往是復雜的，主要表現(xiàn)在多次性與多向性兩方面，多次性即從原問題的化歸并不總是一步就到位的，往往需要經(jīng)過問題Ⅰ、問題Ⅱ……

結 論

化歸方法是一種重要的數(shù)學思想方法，也是一種分析問題解決問題的基本思想方法.在解題過程中，我們有意識地運用這種思想，這對解題能力、思維能力的提高起到重要的作用但并非萬能的方法，并不是所有的問題都可以通過化歸得到解決的.化歸思想的成功應用是以“數(shù)學發(fā)現(xiàn)”為前提的.因此，我們不能停留在化歸的分析，而必須有創(chuàng)新的精神，不斷地進行新的研究，在研究中獲得新方法、新理論.

【參考文獻】オ

［1］陳鼎興.數(shù)學思維與方法——研究式數(shù)學［M］.南京:東南大學出版社,2001.

［2］鄭毓信.數(shù)學方法論［M］.桂林：廣西教育出版社,1996.

［3］鄭隆忻,毛鄂涴.數(shù)學思維與數(shù)學方法論概論［M］.武漢：華中理工大學出版社,1997.