解析幾何中“判別式”的處理

朱遠軍

解析幾何是高中數(shù)學教學的重要內(nèi)容，每年全國各地的高考題中，除了填空題或選擇題有解析幾何的內(nèi)容外，幾乎都有一道解析幾何的大題，而且大多在最后兩題中.在考題中直線與圓錐曲線的位置關系的考查最為常見.這就涉及判別式的問題.怎樣處理其中的判別式才能使運算簡便呢？是否一定要解不等式Δ>0呢？是否一定要求判別式呢？這些都是值得注意的問題，本人在教學過程中，總結(jié)得出了以下三種類型，現(xiàn)分別用例題加以說明.

一、驗而不解

例1 給定雙曲線x2-y2[]2=1，過點B(1，1)能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q1及Q2，且點B是線段Q1Q2的中點?這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

解 根據(jù)題意可設直線m的方程為y=k(x-1)+1,

代入雙曲線方程2x2-y2=2，

整理，得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,

其判別式Δ=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3).

設Q1(x1,y1)，Q2(x2,y2)，由中點公式和韋達定理有1=獂1+x2[]2=k2-k[]k2-2，解得k=2.以k=2代入Δ，得Δ=-8<0，故上述關于x的一元二次方程無實根，所以符合題設條件的直線m不存在.

注 本題中如果解不等式Δ>0，就比較復雜了，其實，只要把k=2值代入看是否有Δ≥0就可以了，本題還可采用如下更簡便的方法：

由點Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)在雙曲線x2-y2[]2=1上，得x21-y21[]2=1,①

x22-y22[]2=1,②

①-②，得(x1+x2)(x1-x2)=1[]2(y1+y2)(y1-y2).

∵Q(1,1)是Q1Q2的中點.∴x1+x2=2，y1+y2=2.

∴直線Q1Q2的斜率k=y1-y2[]x1-x2=2，

又 直線Q1Q2經(jīng)過點B，∴直線Q1Q2的方程為y=2x-1.

將其代入雙曲線方程得-2x2+4x-3=0，顯然Δ<0，故滿足題設條件的直線m不存在.

注 本解法中很多同學得到直線y=2x-1就結(jié)束了，忘記了將直線代入雙曲線方程會驗證Δ的值，從而得出“存在”的錯誤結(jié)論，這一定要引起重視.

二、解而不驗

例2 已知l1,l2是過點P(-2,0)的兩條互相垂直的直線，且l1,l2與雙曲線y2-x2=1各有兩個交點，分別為A1,B1和A2,B2，求l1的斜率k的取值范圍.

解 根據(jù)題意可設l1,l2的方程分別為

y=k(x+2)(k≠0),①

y=-1[]k(x+2).②

以①,②兩式代入雙曲線方程y2-x2=1，分別可得

(k2-1)x2+22k2x+2k2-1=0,③

1[]k2-1x2+22[]k2x+2[]k2-1=0，④

則③的判別式Δ1=4(3k2-1)>0，

④的判別式Δ2=43[]k2-1>0.

解上面的兩個不等式，注意到k≠±1（否則l1與雙曲線只有一個交點），易得k∈(-3,-1)∪-1,-3[]3∪3[]3,1∪(1,3).

注 本題思路很明顯，只要③中Δ1>0時，l1與雙曲線有兩個交點，且只要④中Δ2>0時，l2與雙曲線有兩個交點，最后求其交集.

三、不解也不驗

例3 （2006福建卷）已知橢圓x2[]2+y2=1的左焦點為F，O為坐標原點.（1）求過點O,F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；（2）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.

解 （1）略.

（2）設直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0).

由x2[]2+y2=1,

y=k(x+1)，

得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.

∵直線AB過橢圓的左焦點F，

∴方程有兩個不等實根，記A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB中點N(x0,y0)，

則x1+x2=-4k2[]2k2+1，x0=1[]2(x1+x2)=-2k2[]2k2+1,﹜0=猭(x0+1)=k·-2k2[]2k2+1+1=k[]2k2+1.

∴AB的垂直平分線NG的方程為y-y0=-1[]k(x-x0).

令y=0得

x璆=x0+ky0=-2k2[]2k2+1+k2[]2k2+1=-k2[]2k2+1=-1[]2+1[]4k2+2.

∵k≠0，∴-1[]2

ァ嗟鉍橫坐標的取值范圍為-1[]2,0.

注 本題中由于直線AB過F，而F在橢圓內(nèi)，故無論k取何值，直線AB都與橢圓相交，故不需解也不需驗證判別式Δ>0，解題過程很簡潔.

從上面的三種類型可知，直線與圓錐曲線聯(lián)立方程消去未知數(shù)之后總能得到二次方程，其中判別式是高考考查的重點內(nèi)容之一.解題過程中一定要想到判別式，處理判別式時一定要根據(jù)題目的特點注意選擇適當?shù)姆椒ǎ朔晃肚螃?gt;0的盲目性，優(yōu)化解題過程.