一類數陣問題的探索與思考

徐學芹

【摘要】等差數列或是等比數列按照一定的規律把取出來的元素排成一個數陣，每行元素的個數成等差或等比數列，求第n行元素之和S璶.

【關鍵詞】數陣;數學歸納法オ

最近我們的學生學到數學歸納法這一章節，書后習題中出現了這樣的一類題目：一個等差數列或是等比數列按照一定的規律把取出來的元素排成一個數陣，每行元素的個數成等差或等比數列，求第n行元素之和S璶，難一點的，還會在某幾個S璶的和上做文章.下面我們一起來探討一下這類問題.

蘇教版高中《數學》選修2-2的第91頁第9題：將正整數作如下分組：（1），（2,3），（4,5,6），（7,8,9,10），（11,12,13,14,15），（16,17,18,19,20,21），…，分別計算各組所包含的正整數的和如下，試用不完全歸納法猜測S1+S3+㏒5+…+S2n-1的結果，并用數學歸納法證明.

S1=1

S2=2+3=5

S3=4+5+6=15

S4=7+8+9+10=34

S5=11+12+13+14+15=65

S6=16+17+18+19+20+21=111

……

解答本題的關鍵是弄清M﹌+1=M璳+S2k+1這一關系式，則要有M璶=n4(n∈N*)的猜想以及弄清第n行元素的和S璶如何求這兩個問題.

我引導學生思考這樣的幾個問題：

(1）題中所給的每一行的元素有什么特征？

(2）題中所給的每一行的元素個數有什么特點？

(3）題中所給的每一行的首位元素或末尾元素有何特點？能否將第n行的首位元素或末尾元素寫出來？

(4）能否將第n行元素的和S璶表示出來？

觀察思考了幾分鐘之后，學生開始活躍起來，問題的答案也呼之欲出了.不難發現：

(1)將所有元素放在一起構成一個以1為首項、公差為1的等差數列；

(2)每一行的元素個數就是它的行數；

(3)第n行的末尾元素即為前n行的元素總個數n(n+1)[]2，第n行的首位元素即為第n-1行的末尾元素加1即前n-1行的元素總個數加1，即n(n-1)[]2+1.

(4)S璶=n(n-1)[]2+1+n(n-1)[]2+2+…+n(n-1)[]2+n

=n(n-1)[]2+1+n(n+1)[]2·n[]2=n3+n[]2.

解 記M璶=S1+S3+…+S2n-1，由已知得M1=1,M2=16,M3=81,M4=256.猜想M璶=n4(n∈N*).ブっ

(1）當n=1,M1=1時，猜想成立.

(2）設當n=k(k∈N*)時命題成立，

即M璶=S1+S3+…+S2n-1=k4.

下面證明n=k+1時猜想也成立.

事實上，由題設及上述分析可知：

S璶=n(n-1)[]2+1+n(n+1)[]2·n[]2=n3+n[]2，

則S2k+1=(2k+1)3+(2k+1)[]2=4k3+6k2+4k+1，

從而M﹌+1=M璳+S2k+1=k4+(4k3+6k2+4k+1)=(k+1)4，所以n=k+1時猜想也成立.

綜合(1）(2），猜想對任何n∈N*都成立，忽然想起蘇教版高中《數學》必修5《數列》的第44頁第12題，觀察：

1

1+2+1

1+2+3+2+1

1+2+3+4+3+2+1

……

（1） 第100行是多少個數的和？這些數的和是多少？

（2） 計算第n行的值.

觀察一下可以發現：

(1） 第100行是199個數的和，這些數的和是2（1+2+3+…+100）-100=10000.

(2） 第n行的值是1+2+3+…+n+…+2+1=2（1+2+3+…+n）-n=n2.

倘若加上第三問，比如：假設第n行的值為S璶，設M璶=S1+S2+…+S璶，求出M1,M2,M3,M4,試用不完全歸納法猜測M璶的結果，并用數學歸納法證明.這樣不就變成一個完整的數學歸納法證明了嗎？猜想的過程可參照蘇教版高中“數學”選修2-2的第72~74頁案例賞析的第一個案例正整數平方和公式的推導，具體的數學歸納法證明可參照蘇教版高中《數學》選修2-2的第87頁例3.想起我對我的學生常念叨的兩句話：把課本用好，基礎不等于簡單.試想，我們的高考題不就是基于課本源于課本，某種程度上可以高于課本嗎？