傳遞矩陣法求解變厚度旋轉圓盤

陳偉 管婕妤

1.引 言

旋轉圓盤是化工機械中的重要零件之一，由于這些機械以每分鐘幾千轉至幾萬轉做高速旋轉，因此這些圓盤的強度問題備受人們關注.旋轉圓盤中的應力與位移分析對圓盤的強度設計及結構優化有重要的實際意義.

關于旋轉圓盤的應力分析與位移計算問題，國內外眾多學者進行了研究［1-4］.在文獻［5］中曾以一節的篇幅來討論等厚度圓盤旋轉與變厚度圓盤旋轉的解析解，但對于厚度的變化不符合某一數學規律的圓盤，便無法得到其解析解.本文利用已有的簡單盤的應力計算系數和邊界條件，建立待定常數的傳遞矩陣，求得應力與位移，適用于任意輪廓的變厚度圓盤，方法簡便實用.

2.求解算法

將旋轉圓盤離散成若干個等厚度圓盤，如圖1所示，這些圓盤的厚度均不相等.對于每個等厚度圓盤，其應力分量與位移由下式給出：

圖1 圓盤的離散化

σ﹔i=-3+μ[]8ρω2r2+A璱[]2+B璱[]r2.(1)

σ│萯=-1+3μ[]8ρω2r2+A璱[]2-B璱[]r2.(2)

u璱=-1-μ2[]8Eρω2r3+A璱r[]2E(1-μ)+B璱[]Er(1+μ).(3)

將最外面的等厚度圓盤視為第一個，應力、位移分量表示為σ﹔1，σ│1,u1以此類推，采用由外面的圓盤向中心逐個計算的方法.對于第i+1個圓盤，其內徑是第i個圓盤的外徑，根據同一界面處總徑向應力和位移相等可得

h﹊+1σ﹔﹊+1=h璱σ﹔璱,u﹊+1=u璱,i=1,2…N-1.（4）

整理可得

1-μ[]2A﹊+1-(1+μ)N[]Na-ia2B﹊+1=1-μ[]2A璱-(1+μ)N[]Na-ia2B璱，

h﹊+1猍]2A﹊+1+h﹊+1狽[]Na-ia2B﹊+1=h璱[]2A璱+h璱N[]Na-ia2B璱+3+μ[]8ρω2N[]Na-ia2（h﹊+1-h璱).

每個圓盤的厚度取一個平均厚度，即h璱=t璱+t﹊+1猍]2,i=1,2…N-1，靠近中心處的圓盤的厚度取為h璑=t璑.其中，

t璱=C(N+1-i)a[]N琻,i=1,2，…，N.

聯立以上方程組求解后寫成傳遞矩陣形式，即

A﹊+1B﹊+1

=1-μ[]2+h璱(1+μ)[]2h﹊+1 N[]Na-ia2(h璱-h﹊+1）(1+μ)[]h﹊+1

N[]Na-ia2(1-μ)(h璱-h﹊+1)[]4h﹊+1 h璱(1-μ)[]2h﹊+1+1+μ[]2

.

A璱B璱

+ρω2Na-ia[]N2(3+μ)(1+μ)(h﹊+1-h璱)[]8h﹊+1

ρω2Na-ia[]N4(3+μ)(1-μ)(h﹊+1-h璱)[]16h﹊+1

邊界條件為在外邊界（r=a）時徑向應力為零，可得

│要﹔1獆﹔=a=-3+μ[]8ρω2a2+A璱[]2+B璱[]a2=0在中心處的應力分量為有限值，故B璑=0.

3.數值算例

一實心旋轉變厚度圓盤，其厚度h=cr-1，μ=0.3，劃分單元數N=20，為方便起見，將位移和應力寫成如下形式:

﹗=αρω2a3[]E,σ璻=βρω2a2,σθ=β1ρω2a2,

就可以計算出各點的u,σ璻,σθ，式中各系數α,β,β1的精確解與本文解，如表1所示，再將三組數據比較.從表1可以看出，本文的近似解完全能夠獲得實際上足夠精確的結果.ケ1 α,β,β1本文解與精確解結果對比

r[]a[]α[]β[]β1

4.結 論

本文將變厚度勻速旋轉的圓盤離散化為若干個等厚度圓盤，利用簡單圓盤的應力計算系數和變厚度盤的邊界條件，建立待定常數之間的傳遞矩陣，進而求得旋轉變厚度盤的應力與位移解.從實例精確解與本文解的對比可以看出，該方法計算簡潔方便、計算精度較高、計算量小，為計算具有任意輪廓的變厚度旋轉圓盤的應力與位移提供了較為精確的解法.