對導數概念教學的思考

趙正強

摘要： 數學概念是構成數學知識體系的基本元素，概念的形成過程能夠體現數學知識來源于生活，是生活的高度抽象概括，是學生知識發展的源泉，同時對于培養學生認知能力、歸納推理等思維能力有著重要意義。數學教學中應摒棄機械系記憶概念的教學法，重視概念的產生背景及生成過程，使學生自然而然地產生概念，應用概念，在探索中發現、發展、創新地應用概念。

關鍵詞： 中學數學教學導數概念教學

選修1-1中有一道習題：“水波的半徑以50m/s的速度擴張，當半徑為250cm時，水波面的圓面積的膨脹率是多少？”本題學生拿到后感到很困惑，無從下手，似乎與本節內容無關，原因是水波半徑以50cm/s速度度擴張與圓面積的膨脹率之間關系，學生想不到，水波半徑擴張速度與水波圓面積膨脹率相對于哪一個變量（時間t），更是想不透。這兩個問題充分體現了導數概念教學的重要性，體現了導數的產生過程：平均變化率—瞬時變化率—導數。

概念教學往往容易被忽視，一些師生認為掌握解決問題的工具和方法就夠了，忽視了數學學習的過程就是不斷建立各種數學概念的過程。高中新課程標準指出：“發展數學應用意識和創新意識，力求對現實世界中蘊涵的一些數學模式進行思考和作出判斷。”而要實現這一目標就要求數學教育工作者在教學過程中讓學生經歷探索、發現和反思的過程，而不是將單一的知識，純粹的技巧和方法硬性地塞給學生，再通過機械重復的勞動去強化。這種做法大大抹殺了學生學習的創造性和主動性，也違背了數學學習的目標和宗旨，不符合新課程改革的精神，是極不可取的。

下面筆者就導數概念教學談談自己的看法。導數是抽象的概念，經歷平均變化率到瞬時變化率到導數的概念，使學生了解導數的概念的實際背景，體會導數思想及其用法。首先構建平均變化率的概念，列舉我們日常生活中息息相關的實例，如：登山、游覽車、氣溫變化等。這些實例學生都有生活經驗和實際感受，登山在某段陡峭的山路爬山的感覺比較吃力，游覽車從高處向下時人會感到驚險刺激，這些現象體現了變化速度比較快，從而引出了平均變化率的概念，顯得自然且學生易懂。平均變率是一個量的增量與另一個增量的比值，是兩個變量增量之間的比值，這個比值的絕對值的大與小，體現變化速度的快與慢。再回到教材，既然是變量的關系，就可利用函數數學工具進行研究，通過圖像直觀地體會平均變化率，最后通過量化計算平均變化率。回到登山問題，山勢陡峭時為何感到吃力，原因是高度變化量與水平距離的變化量比值大，也就是平均變化率大。同樣可以用平均變化率來解釋游覽車、氣溫變化等問題。體現教學源于生活、高于生活、服務于生活的理念。

平均變化率是引出導數的重要鋪墊。先通過大量的實際應用實例，如速度、膨脹率、效率、增長率來理解平均變化率，再引導學生發現平均變化率的粗糙而不精確性。如何才能夠精確地表達某一位置變化率呢？由此引入瞬時變化率。瞬時變化率事實上就是極限的思想，學生沒有這部分知識，如何用初等數學語言準確表達這一過程呢？我們采取無限逼近的思想，自變量增量無限趨近于零，但不等于零時，平均變化率趨向的那一個值。如位移對于時間的瞬時變化率就是速度，速度對于時間的瞬時變化率就是加速度。在教學過程中注重幾何直觀，反復用圖形去認識和感受瞬時變化率，使學生學會數學思考，認識概念的本質，同時培養學生的數形結合思想。學生對瞬時變化率認識清晰后，導數概念就不難理解了。通過這樣的教學過程，學生對導數的數學本質有了深刻的認識，它不只是深奧的理論，而是實際生活的提煉，體現數學來源于生活而服務于生活，感受學習數學的意義，從而更加熱愛數學。

由平均變化率到瞬時變化率到導數概念這樣一個自然流程，把微積分內容變得簡單化，易于理解。這是新課程改革的一大成就，是成功的數學概念教學法。在導數概念教學后再來研究本篇開頭的習題，自然就不難了。水波半徑以50cm/s過度擴張的是水波半徑對于時間的瞬時變化率，而水波半徑與面積具有函數關系，而要求的水波圓面積膨脹率就是水波圓面積對于時間的瞬時變化率，從而建立了膨脹率與水波半徑擴張速度之間的關系。這個問題在概念的指引下輕松地得到了解決。這樣的問題教材涉及很多，解法大致相同。

數學的概念教學是教學中的難點，高中數學必修1中還有一些抽象的概念，如函數的概念，函數單調性的概念等，使高一學生感到非常困惑，好多學生因此數學成績一落千丈。關鍵是教師沒有認真地研究概念教學法，對生活中函數實例不重視，不是從實例中抽象出函數的概念，沒有抓住概念的本質，而是將概念硬塞給學生，這樣學生在解決問題時自然就無從下手。還有，要對復雜的概念給予分解，比如函數的單調性可分解為：一個大前提加上三句話。大前提是函數的定義域，三句話是：（1）定義域子區間I上任取x，x，且x