追及問題之解題研究

張花麗

追及問題是運動學中比較常見的一類問題，此類問題的綜合性強，往往涉及兩個或兩個以上物體的運動過程，每個物體的運動規律又不盡相同，追及問題的解題方法較多，題目常常可以一題多解，從而培養考生的思維能力和解題能力.

一、追及問題的特點分析

1.追上與追不上的臨界條件

兩物體（追與被追）的速度相等常是追上、追不上及兩者距離有極值的臨界條件.

2.常見的兩類追及形式

（1）速度大者減速（如勻減速直線運動）追速度小者（如勻速運動）

①兩者速度相等時，若追者位移仍小于被追者位移與初始兩者間距之和，則永遠追不上，此時兩者間距最小.

②兩者速度相等時，若追者位移恰等于被追者位移與初始兩者間距之和，則剛好追上，也是兩者避免碰撞的臨界條件.

③若相遇時追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還能再一次與追者相遇，兩者速度相等時，兩者間距離有一個較大值.

（2）速度小者加速（如初速度為零的勻加速直線運動）追速度大者（如勻速運動）.

①一定能追上，當兩者速度相等時兩者間有最大距離.

②當追者位移等于被追者位移與初始兩者間距之和時，后者追上前者即相遇.

二、追及問題的解題思路及方法

1.物理分析法

分析追及問題，其實質就是分析兩物體在相同時間內是否到達同一位置.所以，在分析追及問題時，要緊抓“一個圖三個關系式”，即過程示意圖，速度關系式、時間關系式和位移關系式，同時，要注意抓住題目中的關鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等.解決追及問題的思路如下：

2，數學方法

所謂數學方法就是對物理問題的分析和處理運用數學關系式來解決，解答追及問題常用的數學方法有不等式、二次函數的極值、一元二次方程的判別式等.

3.圖像法

圖像在中學物理解題中應用十分廣泛，它能形象地表達物理規律，直觀地敘述物理過程，并簡潔地表示物理量間的各種關系.在追及問題中，一般根據兩物體的運動情況，畫出運動物體的位移—時間圖像或者速度—時間圖像，然后根據它們的運動關系解題.

4.相對運動法

我們研究物體的運動情況，通常選取地面作為參考系.有時為了研究方便，可以靈活選取參考系.當選取其他物體作為參考系時，被研究的物體的運動就是相對這個物體的.

【例1】在水平軌道上有兩列火車A和B相距x，A車在后面做初速度為v、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同.要使兩車不相撞，則A車的初速度v應滿足什么條件？

解析：解法一：（物理分析法）A、B車的運動過程（如圖），設經過t時間兩車剛好不相撞，利用位移公式、速度公式求解.

對A車有

x=vt+×（-2a）×t

v=v+（-2a）×t

對B車有x=at

v=at

兩車有x=x-x

追上時，兩車不相撞的臨界條件是v=v

聯立以上各式解得v=

故要使兩車不相撞，A車的初速度v應滿足的條件是v≤.

解法二：（數學分析法）利用判別式求解，由解法一可知兩車恰不相撞時，x=x+x，即vt+×（-2a）×t=x+at，整理得3at-2vt+2x=0，這是一個關于時間t的一元二次方程，當根的判別式Δ=（2v）-4×3a×2x<0時，t無實數解，即兩車不相撞，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v應滿足的條件是v≤.

解法三：（圖像法）利用速度—時間圖像求解，先作A、B兩車的速度—時間圖像，其圖像如圖所示，設經過t時間兩車剛好不相撞，則

對A車有v=v=v-2at

對B車有v=v=at

以上兩式聯立解得t=

經t時間兩車發生的位移之差，即為原來兩車間的距離x，它可用圖中的陰影面積表示，由圖像可知x=v·t=v·=，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v應滿足的條件是v≤.

解法四：（相對運動法）選取B車為參考系，認為B車靜止不動.A車相對B車做勻減速運動，A車的相對初速度為v，相對加速度為a′=-2a-a=-3a，相對位移為x，A車追上B車且剛好不相撞的條件是：A車相對B車的末速度v=0

由運動學公式v-v=2as得：0-v=2（-3a）x

所以v=

即要使兩車不相撞，A車的初速度v應滿足的條件是v≤.

小結：解法一注重對運動過程的分析，抓住兩物體間距離有極值時速度應相等這一關鍵條件來求解；解法二由位移關系得到一元二次方程，然后利用根的判別式來確定方程中各系數間的關系，這也是中學物理中常用的數學方法；解法三通過圖像使兩物體的位移關系更直觀、簡捷；解法四通過巧選參考系，使兩物體的運動關系變得簡明，求解更快捷.

三、類追及問題的例析

狹義的追及問題指兩交通工具（如自行車、汽車等）在公路上相互追趕所涉及的追及、相遇問題，廣義的追及問題指兩運動物體在同一直線或封閉圖形上運動所涉及的追及、相遇問題.我們把兩運動物體發生相互作用所涉及運動學規律的問題都可以看成是類追及問題.這類問題可以用追及問題的解題思路和解題方法來解決.

【例2】在水平長直的軌道上，有一長度為L=2m的平板車在外力控制下始終保持速度v=4m/s做勻速直線運動.某時刻將一質量為m=1kg的小滑塊輕放到車面的中點，已知滑塊與車面間的動摩擦因數為μ=0.2（g=10m/s）.

（1）當滑塊放到車面中點的同時對該滑塊施加一個與車運動方向相同的恒力F，要保證滑塊不從車的左端掉下，恒力F大小應該滿足什么條件？

（2）在（1）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時間應該在什么范圍內？

解析：（1）物理分析法

根據滑塊和平板車的運動情況，畫出它們的過程示意圖（一個草圖），如圖所示：

滑塊在恒力F和摩擦力f共同作用下以加速度a向右勻加速運動，平板車保持速度v做勻速直線運動.滑塊恰好不從平板車的左端滑下來的條件是當滑塊相對平板車向左運動到左端時速度剛好為v（速度關系）.

由牛頓第二定律得：F+μmg=ma

設滑塊經過時間t（時間關系）剛好運動到平板車的左端，速度為v，則t=

滑塊的位移s=at

平板車在水平面上運動的位移s=vt

由圖可知：s-s=L/2（位移關系）

聯立以上各式解得：F=6N

要保證滑塊不從平板車的左端掉下，恒力F大小應該滿足：F≥6N.

（2）解法一：圖像法

根據題意畫出滑塊做勻加速運動的速度—時間圖線（如圖線①），經過時間t滑塊剛好運動到平板車的左端，其速度大小為v.在t時間內平板車做勻速直線運動（如圖線②）.由速度—時間圖像的物理意義可知，滑塊經過的位移大小等于△OBC的面積，而平板車經過的位移大小等于矩形OABC的面積，而△OAB面積的大小為L/2.

由運動學公式和圖像的幾何關系可得：t=0.5s（解略）

滑塊運動到平板車左端后，在水平恒力F的作用下，以加速度大小a向右勻加速運動（如圖線③），經過一段時間t后撤去F，滑塊在摩擦力作用下以加速度大小a向右勻減速運動（如圖線④），滑到平板車右端的速度為v，則此情況下，F的作用時間最長，平板車一直做勻速運動（如圖線⑤）.由速度—時間圖像的物理意義可知，滑塊經過的位移大小等于多邊形OADBC的面積，而平板車經過的位移大小等于矩形OABC的面積，而△DAB面積的大小為L.

根據牛頓第二定律有：F-μmg=ma，μmg=ma

由運動學公式和圖像的幾何關系可得：t=s=0.58s（解略）

力F=6N，要保證滑塊不從平板車上掉下，力F的作用時間t應該取的范圍為：t

即0.5s

解法二：相對運動法

選取平板車作為參考系，要使滑塊不從平板車的左端掉下來：

滑塊相對平板車從車面中點開始向左做勻減速運動，滑塊的相對初速度為-v，相對加速度為a，相對位移為L/2，滑塊剛好不從平板車的左端掉下來的速度條件是：滑塊的相對末速度v=0

由運動學公式：v=v+at

所以t==0.5s

選取平板車作為參考系，要使滑塊不從平板車的右端掉下來：

滑塊相對平板車從左端開始向右運動，滑塊的相對初速度為0，先做相對加速度為a的勻加速運動，達到最大相對速度v，然后開始做相對加速度為a的勻減速運動，滑塊剛好不從平板車的右端掉下來的速度條件是：滑塊的相對末速度v=0

由運動學公式可得：+=L，所以v=m/s

則t==s=0.58s

綜上所述，要保證滑塊不從平板車上掉下，力F的作用時間t應該取的范圍為：t

即0.5s

發散類比：（1）水平傳送帶.傳送帶也可看做是受力做勻速直線運動的木板，如圖（a）所示；

（2）直桿在豎直方向做自由落體運動，環套在粗糙的豎直直桿上，直桿和環套在豎直方向運動，直桿可看做木板，如圖（b）所示.

學習貴在舉一反三，通過一個問題的透徹分析，掌握同類及相近問題的特點、思路和方法，只有這樣不斷感悟、總結，解題能力才能逐漸提高.