芻談“錯解”中合理成分的有效利用

董耀楊

在教學過程中會發現學生有許多“異想天開”的解題方法，犯一些“顯而易見”的錯誤。我們的一貫做法是對其講解正確的解題方法，而沒有具體分析哪些是錯的，哪些是正確的，甚至對學生的“錯誤解法”全盤否定。事實上，學生的“錯解”也有許多合理的成分，這些合理成分的利用可帶給我們意想不到的收獲。下面從三個方面談談筆者對“‘錯解中合理成分的有效利用”的認識。

一、挖掘“錯解”中合理成分，使作解者能得到同伴的賞識，從而增強其學習數學的信心

學生學習的成就感、自豪感，不僅是產生學習興趣和動力的根本源泉，而且是培養學生自尊、自信人格的重要途徑，同伴間的鼓勵與賞識顯得尤為珍貴，這對于激發學生學習興趣和保持學習熱情具有極其重要的作用。

例1：點(-1，2)關于直線y=x-l的對稱點坐標是()

A．（3，2） B．（-3，-2） C．（-3，2） D．（3，-2）

這是一個非常基礎、簡單的題目。常規方法是用“中垂線的性質”解決，答案是D。而在一次會考補弱課結束后，一位基礎較薄弱的學生對我講述了他的解法：把點(-1，2)中的“x=-1”代入“y= x-1”得：“y= -2”，“y=2”代入“y=x-l”得：“x=3”，所以選D。我一時不理解這是怎么回事，問他這樣解的依據是什么？他說不知道理由，反正答案是對的。粗看他的解題過程，可以發現，“對稱”的條件在他的解法中是毫無體現的，得出正確結論純屬是一種偶然。正因如此，他才會向我詢問，也希望我能幫他從中找到“正確”的理由。一般我們都會以“你錯了，你的解法同題目要求不符”來結束思考，然后給他正解。但是，他的一句“反正答案是對的”提醒了我：既然答案是正確的，是否有其內在的合理性？便嘗試著與他一起進行探究，此時我想到了一個相似的問題：若把題目改成“求點(-1，2)關于直線y=x的對稱點”這一特殊的對稱問題，通常用“反函數的性質”，只要把點（-1，2）的橫坐標與縱坐標對調就可以了，所求的對稱點為(2，-1)。我們能否對此“簡便方法”加以推廣呢？這個方法也可以這樣解釋：把“x =-1”代入“y=x”得：“y= -1”，“y=2”代入“y=x”得：“x=2”，這樣求得的對稱點坐標為(2，-1)。這樣的解釋剛好與這位同學的解法不謀而合。此時，我們都得到了莫大的鼓舞，這個“理由”似乎已經被找到。我繼續變式：

(1)點(-1，2)關于直線y=-x+l的對稱點是_________；

(2)點(-1，2)關于直線y=2x+l的對稱點是_________。

通過對稱問題的常規方法檢驗，發現變式(1)還是能適用的，但變式(2)就不適用了。這說明剛才的這種“特殊方法”僅適合于某些對稱軸方程比較特殊的題目。這又是一個新問題：“點P( ， )關于直線y=kx+b的對稱點坐標是_______”。根據上面的“特殊方法”得出的結果是“( (y0-b)/k，kx 0+b)”，而用對稱問題的常規方法，設對稱點為Q( ， )，得出的結論：只有當k=?時，x1=?y0-b)， y1=眡0+b，與“特殊方法”求得的結論一致。此時，我也看到了這位學生臉上得意的神色。正因為有了他的“異想天開”，才有我們進一步的思考，得到出入意料的推廣。在隨后的課堂中，我在全班同學面前大力贊賞了他的這種“簡便方法”，以及他的這種創新意識和敏銳的觀察能力，贏得了全班同學的贊許。在此后的學習中，這位同學學習數學一直都保持著很高的熱情。

二、挖掘“錯解”中合理成分，讓多數學生體會到自身的價值，從而鼓勵學生質疑

“問”是新舊知識產生碰撞后進行思維、想象的結果；是對所學知識的綜合分析，也是對新知識的渴求。同時，“問”也是思維活躍程度的一種反映，能對所學知識產生疑問，也是學習能力的一種表現。愛因斯坦曾經說過：在科學研究中，提出問題要比解決問題難得多，意義也大得多。因此，鼓勵學生敢問、會問、善問，從而使他們有興趣去學習，作為教師，我們責無旁貸。

例2：已知lim(2an+3bn)=5，lim(an-bn)，求lim(an-bn)。

在講解此題時，我先讓學生自己求解，多數學生的解法與下面的解法大同小異，

解：∵

∴

解得：

∴lim(an+bn)=liman+limbn=+=

對這樣的解法，我早已有了心理準備，便結合極限的運算法則指出：liman和limbn一定存在嗎？這時，部分學生若有所悟，但還是有不少學生一臉茫然。前者雖然感到解法有些不合情理，但還是不明白，當liman和limbn不存在時，為什么lim(2an+3bn)和lim(an-bn)會存在？針對學生的這些困惑，我舉了反例：an=1-n2，bn=1+n2，顯然liman和limbn 都不存在，但lim(2an+3bn)=5，存在！此時，多數學生都默認了我的觀點，明白了自己的“錯誤”。隨后我又指出：由題設我們不能判斷liman和limbn是否存在，從而上述解法缺乏依據，是錯誤的，關于這類問題，我們一般通過“待定系數法”求解。

解：設an+bn=x(2an+3bn)+y(an-bn)，

則(2xy-1)an+(3x-y-1)bn=0

，解得

∴lim(an+bn)=lim[(2an+3bn)+(an-bn)]

=lim(2an+3bn)+lim(an-bn)

=?+?=

雖然，這樣的講解既充分暴露了學生存在的問題，又鞏固了數列極限的運算法則。但我還是在心里嘀咕：學生的“錯解”與“正解”結果是一致的，這里面總隱含著某種說不清、道不明的瓜葛。當時，為了完成教學任務，也沒來得及去探究更深一層的聯系。當然，由于對這種問題自己心中也沒底，擔心會發展到難以控制的局面。課后，我擔心的事終究還是發生了，一位學生到辦公室對我說：老師，你上課舉的反例不成立！那個反例只滿足了一個條件lim(2an+3bn)=5，但不滿足另一個條件lim(an-bn)=2。所以，我們的解法是對的。我不得不承認，我舉的反例的確不恰當，同時，我更佩服這位同學的一種永不服輸的精神（雖然他說的“正確性”還得不到保障）。當然，我也不甘示弱，原來的反例不行，不就可以換一個嗎？在做了一些努力后，還是以失敗而告終。雖然找不到反例，但還得對“liman和limbn 不一定存在”有個交代呀！最后問題還是轉向了利用“待定系數法”，取得了成功。由an=(2an+3bn)+(an-bn)，bn=(2an+3bn)可知，lima和limb是都存在的！因此草率地講“liman和limbn不一定存在”是不負責任的。所以，在課堂上，學生中出現的“錯解”實際上也是有一定的立足之處的，只不過在邏輯上少了一個步驟，即檢驗“liman和limbn”的存在性。有了這個基礎，我與這位同學一起優化了解法，利用“換元法”更易說明問題：

另解：設An=2an+3bn，Bn=an-bn，則limAn，limBn=2，

且an=An+Bn，bn=An-Bn

∴lim(an+bn)=lim(An+Bn)

=limAn+limBn

=?+?=

存在的，就有其合理的原因。我們許多教師都長期堅持著類似于“liman和limbn 不一定存在”這樣的“信念”，卻很少有人去進一步弄清這種“不一定”中的“確定性”。這除了有知識、邏輯的因素外，對多數人來說，恐怕還有一個“人云亦云”、迷信權威、迷信刊物的思維定勢。其實，充分挖掘學生錯解中的合理成份，就是對學生勞動成果的充分肯定和人格的尊重，這種在教學過程中常常被多數教師所忽視的情感交流，與不分青紅皂白地對學生一頓訓斥更形成了強烈的反差。實踐告訴我們，這種忽視和訓斥往往會影響糾錯教學的效果和學生學習數學的興趣和熱情。

三、挖掘“錯解”中合理成分，暴露矛盾，從而引發當事者的自我反省

從心理學的角度來分析，正常情況下，學生的心理處于一種平衡的狀態。當學生與周圍環境進行交互作用時，就會出現各種各樣的問題、困難以及相互之間的認識差異，也就是認知沖突；當人心里失去平衡時，本能地會產生一種需要平衡的需求，從學習的意義上講，就會產生新的學習需要，通過進一步的學習建立心理平衡。由此可見在數學課堂教學中，教師要善于創設問題情境，使學生產生認知沖突，提高學生學習的內需，從而提高課堂教學的有效性。

例3：已知a<0，解關x的不等式：>a+。

這是某市高三模考試題中解答題的第一題，許多學生的解法是：

解：∵a<0，∴a+≤-2，當且僅當a=1時取等號，

∴>-2，即>0，∴原不等式的解集為：{x|x>0}

這樣的解法，顯然混淆了“解不等式”與“不等式恒成立”問題，違背了解不等式的“等價變形”原則。

正解：原不等式→（x-a） >0

當a=即a=-1時，不等式的解集為{x|x>0}

當a>即-10}

當a<即a<-1時，不等式的解集為{x|a0}

但我們并不能在“正解”完成的同時，結束講解。“沒有功勞，亦有苦勞”，學生去做，雖然錯了，但至少還能說明他們去嘗試過、努力過。如果遇到錯解，就對他們進行全盤否定，久而久之，必然會使他們失去解題的信心。那么，我們拿什么去“肯定”和“褒獎”他們呢？挖掘“錯解”中的合理成份！通過正誤對比，仔細分析“錯解”產生的原因與“錯解”的結果，不難發現：

(1)能看到“a+”這一結構，聯想到均值定理的應用。

(2)“正解”討論了“a<0”的所有可能的值，而“錯解”只解決了“a=-1”時的情形，但也解出了這個不等式的一小部分。

(3)將問題改為“不等式：>a+對一切a<0恒成立，求x的范圍”，則這一解法是完全正確了。

在糾錯的過程中，正面指出錯誤的地方，具體分析錯誤的性質，是錯題分析的一個重要環節。而通過以上(2)、(3)兩點的正誤對比，使學生產生認知沖突，這不僅可以使學生對自己“錯解”有一個全面的認識，而且“有助于學生掌握元認知知識，獲得元認知體驗和進行元認知調控”，從而增強此類問題防錯的免疫力。

人們常說：治病不如防病。只有讓學生親身經歷知識的發生、發展和形成過程，才能激發學生的學習熱情和學習興趣，滿足學生的獵奇心理和求知欲望，遵循學生的認知規律，深化學生對知識的認識和理解，才能防止學生對知識理解掌握得支離破碎。根據心理學理論，當學生平時接受的正面信息越多，學生的創新思維就越容易發揮，反之，就越會扼殺學生的創新意識。在學生出現“錯解”時，我們不應該一味地否定和指責學生，而應首先在“錯解”中去尋找、挖掘其合理成分，去肯定學生，給學生多一份肯定，學生就多一份成就感，多一份自信。

教師要尋求防止錯誤發生的有效對策，就要利用好錯解中的合理成分，這就要求教師經常思考學生產生錯誤的原因。在“錯解”中欣賞優點，這也是教師自身成長的一次機會。在師生互動糾錯的過程中，不僅教師幫學生增長了知識和提高能力，而且學生也會使教師的知識和能力得到提高。

（責任編輯 易 凡）