數(shù)學分析中的三個不動點迭代公式

岳靜

摘要： 本文討論了閉區(qū)間上嚴格非擴張映射的不動點迭代公式的構造問題.

關鍵詞： 嚴格非擴展映射不動點迭代

文章通過對迭代公式中系數(shù)參量的變化，討論了閉區(qū)間上嚴格非擴張映射的不動點的具體構造方法，從而得到三個數(shù)學分析中的相關結果.

第一部分：引理

引理：若函數(shù)f滿足

（ⅰ）f（[a，b]）？奐[a，b]；

（ⅱ）？坌x，y∈[a，b]，x≠y，有|f（x）-f（y）|<|x-y|；

（ⅲ）任取x∈[a，b]并令

x=αx+（1-α）f（x），（≤α<1，n=1，2，…）.

則{x}為[a，b]上的單調數(shù)列.

證明：由條件（ⅰ）（ⅱ）可知f在[a，b]上存在唯一的不動點，設為.分x=，x<，x>三種情況討論：

若x=，則x≡，即{x}為常數(shù)列，結論顯然；

若x<，則由條件（ⅱ）有|f（x）-f（）|<|x-|

即

|f（x）-|<|x-|=-x

即

x

于是

x=αx+（1-α）f（x）

>αx+（1-α）x

=x

x=αx+（1-α）f（x）

<αx+（1-α）（2-x）

=2-2α（-x）-x（≤α<1）

≤2-2×（-x）-x

=2-+x-x

=

即

x

類似地有

x

即{x}在[a，b]上嚴格單調遞增.

若x>，類似可證{x}在[a，b]上嚴格單調遞減.

第二部分：主要結論

1985年徐州師范大學研究生入學試題中有這樣一道題：

設函數(shù)f在[a，b]上連續(xù)，且有

f（[a，b]）？奐[a，b]

試證（ⅰ）？堝x∈[a，b]使得f（x）=x；

（ⅱ）若f單調遞減則（ⅰ）中的x是唯一的；

（ⅲ）若？坌x，y∈[a，b].x≠y，有|f（x）-f（y）|<|x-y|.

則（ⅰ）中的x是唯一的.

這道試題涉及了不動點的存在性和唯一性卻沒有給出不動點的具體構造方法.我們通過數(shù)學分析中的方法，給出下面的三個定理.從而依次給出不動點的三個迭代公式.

定理1：設函數(shù)f滿足

（ⅰ）f（[a，b]）？奐[a，b]；

（ⅱ）？坌x，y∈[a，b]，x≠y.有|f（x）-f（y）|<|x-y|；

（ⅲ）任取x∈[a，b].并令x=[x+f（x）].n=1，2，…，則有唯一的∈[a，b]，使

x=且f（）=.

證明：易證函數(shù)f有唯一的不動點，不妨令為.

須證x=

即證|x-|=0

若x=，則顯然有x=

若x<.則

0<|x-|=|[x+f（x）]-|

=|（x-）+[f（x-f（）]|

≤|x-|+|f（x）-f（）|

<|x-|

即{|x-|∶n=1，2，3…}嚴格單調遞減有下界，據(jù)單調有界定理知

|x-|=m

存在.易知m=0.若不然，則m>0.由引理，令α=（n=1，2，…）.即知{x}是單調的，于是？坌ε>0，？堝N∈N.當n>N時，

m-ε

即有

+m-ε

即

x=+m（或x=-m）

由條件（ⅲ）有

x=[x+f（x）]

=x+f（x）

=（+m）+f（+m）

=+m

（或x=（-m）+f（-m）=-m）

即有

f（+m）=+m.（或f（-m）=-m）

即有+m（或-m）也是f的一個不動點，這與的唯一性矛盾.

故m=0.

把本定理中迭代公式的系數(shù)參量加以變化有：

定理2：設函數(shù)f滿足定理1中的條件（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）任取x∈[a，b].并令

x=αx+（1-α）f（x）（≤α<1，n=1，2，…）

則有唯一的∈[a，b]使

x=且f（）=.

證明：證法與定理1完全類似.

把本定理中的條件（ⅲ）再加以變化可得到如下結果：

定理3：設函數(shù)f滿足定理1中條件（ⅰ），（ⅱ）且有

（ⅲ）任取x∈[a，b].并令

x=αx+（1-α）f（x）（≤α<1，n=1，2，…）.

其中α=α（≤α<1）.

則有唯一的∈[a，b]，使

x=，且f（）=.

證明：的存在性和唯一性易證

須證x=.

類似于定理1中的證明有

|x-|=m

存在，則m=0，不然有m>0.類似于定理1中的證明，有

x=+m（或x=-m）

有條件（ⅲ）有

x=[αx+（1-α）f（x）]

=α·x+（1-α）f（x）

=α（+m）+（1-α）f（+m）

=+m

（或x=α（-m）+（1-α）f（-m）=-m）

于是有

f（+m）=（+m）（或f（-m）=-m）

這與是f的唯一不動點矛盾，故m=0.

參考文獻：

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