分類討論思想在數學解題中的應用

皇甫琴

摘要： 在解數學問題時，應用分類討論思想，通過正確分類，可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.分類討論的思想在解決某些數學問題時，其解決過程包括多種情形，需要根據所研究的對象存在的差別，按一定標準把原問題分為幾個不同的種類，并對每一類逐一加以分析和討論，再把每一類結果和結論進行匯總，最終使得整個問題在總體上得到解決.

關鍵詞： 分類討論思想中學數學教學應用

一、分類討論思想

針對研究問題過程中出現的不同情況進行分類研究的思想，稱之為分類討論思想，其實質是一種邏輯劃分的思想，是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略.

分類討論思想，是一種重要的數學思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略.分類討論思想具有較高的邏輯性及很強的綜合性，有利于提高學生對數學學習的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性，所以在數學解題中占有重要的位置.

二、分類討論的要求、原則及其意義

分類討論的要求：正確應用分類討論思想，是完整解題的基礎.應用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學、統一，不重復，不遺漏，在此基礎上減少分類，簡化分類討論過程.

為了分類的正確性，分類討論必須遵循一定的原則，在中學階段，經常運用以下四大原則.

（一）同一性原則

分類應按同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的另類根據.

如：把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形是滿足要求的.但是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等邊三角形、等腰三角形，這種分類就不正確，此種分類同時用了按邊、按角兩種分類標準.

（二）互斥性原則

分類后的每個子項應當互不相容，即做到各子項相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個子項，又屬于另一子項.

如：某班有9個同學參加球類和田徑兩項比賽，其中有6人參加球類比賽，5人參加田徑比賽，如把這9個人分成參加球類比賽和參加田徑比賽兩類，這就犯了子項相容的邏輯錯誤.因為必須有2人既參加球類比賽，又參加田徑比賽.

（三）相稱性原則

分類應當相稱，即劃分后子項外延的總和，應當與母項的外延相等.

如：某人把有理數分為正有理數和負有理數兩類，這個分類是不相稱的，因為子項的外延總和小于母項的外延.事實上有理數中還包括零.

（四）層次性原則

分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對被討論對象只分類一次；多次分類是把分類后的所有的子項作為母項，再次進行分類，直到滿足需要為止.

如：對數進行劃分，最大層次是實數，實數又分為有理數與無理數，有理數可以分為正有理數、負有理數和零，無理數可以分為正無理數和負無理數，當然，還可以繼續深化.

（五）意義

分類討論的意義：在解決數學問題時，對于因為存在一些不確定因素無法解答或者結論不能給予統一表述的數學問題，我們往往將問題按某個標準劃分為若干類或若干個局部問題來解決，通過正確的分類，能夠克服思維的片面性，使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.

三、分類討論思想在中學數學中的應用（以初中數學為例）

（一）分類討論思想在不等式中的應用

例如：解方程|x+2|+|3-x|=5

解析：對于絕對值問題，往往要將絕對值符號內的對象區分為正數、負數、零三種，在此方程中出現兩個數的絕對值；即|x+2|和|3-x|，對于|x+2|應分為x=-2，x<-2，x>-2；對|3-x|應分為x=3，x<3，x>3，把上述范圍畫在數軸上，可見對這一問題應劃分為三種情形：①x>-2，②-2≤x≤3，③x>3，得解如下：

①當x<-2時，化簡-（x+2）+3-x=5得x=-2，這與x<-2矛盾，故x<-2時方程無解.

②當-2≤x≤3時，原方程x+2+3-x=5恒成立，故滿足-2≤x≤3的一切實數x都是方程的解.

③當x>3時，化為x+2-（3-x）=5，得x=3，這與x>3矛盾，故x>3時無解.

綜上所述，原方程的解為在-2≤x≤3范圍內的任意實數.

（二）分類討論思想在函數中的應用

例如：已知函救y=（m-1）x+（m-2）x-1（m是實數）.如果函數的圖像和x軸只有一個交點，求m的值.

分析：這里從函數分類的角度討論，分m-1=0和m-1≠0兩種情況來研究解決問題.

解：當m=l時，函數就是一個一次函數y=-x-1，它與x軸只有一個交點（-1，0）.

當m-1≠0時，函數就是一個二次函數y=（m-1）x+（m-2）x-1.

由△=（m-2）+4（m-1）=0，得m=0.

拋物線y=-x-2x-1的頂點（-1，0）在x軸上.

（三）分類討論思想在幾何中的應用

如：直線和圓根據直線與圓的交點個數可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交.

又例如：已知直角三角形兩條邊長為3和4，則第三邊長為？搖 ？搖.

分析：分類討論：當4為直角邊時，則另外一直角邊為3，則第三邊長為5；當4為斜邊時，則另一直角邊為3，那么第三邊長為.

（四）分類討論思想在實際問題中的應用

近幾年來，考試命題從知識轉向能力測試，出現了大量有鮮活背景的實際應用題，這種應用題，往往需要有分類討論的思想才能順利解決.其解題思路是：用數學的語言加以表達和交流，敏捷地接受試題所提供的信息，并和所學的有關知識相結合，確定適當的分類標準，把一個復雜的應用題分解成幾個較簡單的問題，從而使問題獲解.

四、結論

通過探討分類討論思想在初中數學中的不等式，函數，幾何圖形，以及實際生活中的應用，我們可以知道應該使用正確的分類討論思想，對不同情況進行分類研究，使問題化整為零，各個擊破，再積零為整，從而使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.

分類討論的思想方法在解決某些數學問題時，其解決過程包括多種情形，不可一概而論，難以用統一的形式或同一種方法進行處理.需要根據研究對象所存在的差別，按一定標準把原問題分為幾個不同的種類，并對每一類逐一地加以分析和討論，再把每一類結果和結論進行匯總，最終使得問題在總體上得到解決.

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