Mathematica軟件在高等數(shù)學教學中的應(yīng)用

左占飛

摘要： 本文通過一些具體的例子，介紹了Mathematica軟件在高等數(shù)學教學中的應(yīng)用。說明在高等數(shù)學教學中融入軟件的學習，不僅使得抽象概念變得形象生動，而且能避免冗長繁雜的計算，從而激發(fā)學生學習高等數(shù)學的興趣。

關(guān)鍵字： Mathematica軟件高等數(shù)學教學應(yīng)用

一、引言

極限、導(dǎo)數(shù)、定積分等概念，可以說是高等數(shù)學中最重要、最具有代表性的概念，它們體現(xiàn)了應(yīng)用微積分的思想和方法，其應(yīng)用幾乎涵蓋了所有的自然學科。但上述概念對于學生來說也是最難理解的，因為從本質(zhì)上來說它們有三種表示形態(tài)：邏輯形態(tài)、算法形態(tài)和直觀形態(tài)。大學老師呈現(xiàn)最多的是前兩種形態(tài)，因此造成大部分學生覺得高等數(shù)學的學習抽象枯燥，運算繁瑣冗長。為了幫助學生解決認知中的困難，首先通過數(shù)學軟件的直觀演示，加深學生對一些重要概念的理解，然后再詳細地介紹它們的邏輯形態(tài)和算法形態(tài)，這樣使得抽象概念的學習更加形象生動。下面就Mathematica軟件在教學中的具體應(yīng)用談?wù)勑牡皿w會。

二、Mathematica軟件在高等數(shù)學教學中的應(yīng)用

1.運用軟件演繹極限的概念

在同濟版的高等數(shù)學教材中，數(shù)列極限的引入借用的是劉徽的割圓術(shù)，即利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓的面積，具體過程如下：

設(shè)有半徑為r的圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A■；再作內(nèi)接正十二邊形，其面積為A■；循此下去，每次邊數(shù)加倍，一般的把內(nèi)接正6×2■邊形的面積記為A■。當n越大，內(nèi)接正n邊形與圓的差別就越小，從而用其內(nèi)接正n邊形的面積A■逼近圓面積S，由圖1經(jīng)過計算可知A■=nr■sin■cos■（n=3，4，5，…），當n無限增大時，A■無限逼近S。上述的文字敘述過程在課本中非常繁瑣，如果我們只用語言表達，學生理解起來會比較吃力，因為他們看不到n無限增大時，A■與S逼近的程度。如果用Mathematica軟件，在圖1中用動畫的方式將上述過程演示出來，學生就會更加直觀地看到上述逼近的過程，從而對極限概念有一個更直接的感官認識。用這樣的幾何直觀再配合理論推導(dǎo)，學生反映普遍較好，取得了比較明顯的教學效果。

圖1

2.運用軟件演繹導(dǎo)數(shù)的定義

在高等數(shù)學中，導(dǎo)數(shù)概念的引入主要是來源于兩個問題：瞬時速度的計算和切線問題。我們在教學中采用了第二個問題，用Mathematica來演繹導(dǎo)數(shù)的定義。首先給出函數(shù)在點x■導(dǎo)數(shù)的定義：

■■=■■=f′（x■）

單從定義上去看，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的極限，學生理解起來還是有些困難.如果借助圖2，從導(dǎo)數(shù)的幾何意義去講解就會比較容易，而且可以利用Mathematica選中上面的所有圖形，并從菜單中演示動畫（如圖3），從中注意觀察割線逼近切線的過程及割線斜率逼近導(dǎo)數(shù)值的過程，讓學生直觀地了解切線為一系列的割線運動的極限位置。

圖2圖3

3.運用軟件演繹定積分的定義

定積分的定義是高等數(shù)學里比較難理解的一個概念，因為它和曲邊梯形的面積求法密切相關(guān)，步驟比較復(fù)雜。估算函數(shù)的積分值，教材中一般采用的矩形法，所謂矩形法就是把函數(shù)曲線下方的區(qū)域分成許多小矩形，再根據(jù)這些矩形面積的總和估計出函數(shù)的積分值。雖然Mathematica沒有內(nèi)置與矩形法相關(guān)的命令，但是我們可以利用其強大的圖形功能，編制程序?qū)崿F(xiàn)矩形法，具體的程序可參閱文獻[1]。我們以函數(shù)f（x）=sinx在區(qū)間[0，π]上的定積分為例，通過直觀圖4發(fā)現(xiàn)，當n不斷增大時，黎曼和不斷接近積分真實值2，而且這種差距，即二者之差的絕對值（稱之為誤差——Error）隨著n的增大而越來越小。需要說明的是，在實際教學中上述圖形陰影部分和曲線的顏色是不同色彩的，并且以動畫的形式給出，學生反映效果極佳。

圖4

4.軟件在基本運算方面的應(yīng)用

高等數(shù)學除了基本概念的學習，還有一項就是掌握基本的運算，包括計算極限，導(dǎo)數(shù)和積分（定積分和不定積分）等。Mathematica強大的計算功能，可以幫助學生們輕松地解決一些難題，例如一些復(fù)雜函數(shù)的極限問題。

例1：判斷函數(shù)■在0是否存在極限，如果存在求出極限值。

研究生入學考試中存在不少這樣的題型，如果用傳統(tǒng)的方法，計算起來是非常困難的，甚至有沒有極限我們都不敢保證。運用Mathematica的基本命令limit[■，x→0]很容易得到極限的結(jié)果1/6。有了這個結(jié)果再去猜想解題的方法。這樣的逆向思維方式在數(shù)學的學習中經(jīng)常用到，而且一旦學生掌握了，就會產(chǎn)生去嘗試解決比較困難習題的沖動，因而調(diào)動了學生學習高等數(shù)學的積極性。當然對于導(dǎo)數(shù)和積分，用Mathematica計算也很方便，特別是求一些復(fù)雜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)和積分問題，軟件的運算優(yōu)勢就表現(xiàn)得非常明顯。

例2：計算sinx■y對x的2階偏導(dǎo)數(shù)。

我們只需要輸入D[sin[x^100*y]，{x，2}]很快便得到結(jié)果：

9900x■ycosx■y-10000x■y■sinx■y

如果我們把偏導(dǎo)的階數(shù)提高到10階或者更高再來對比，軟件的運算優(yōu)勢就會表現(xiàn)得非常明顯，限于篇幅的關(guān)系就不列舉了，有興趣的學生可以自己嘗試一下。

例3：計算定積分

此題中被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，用一元函數(shù)的積分方法無法求解，若是借助軟件運行命令NIntegrate[Exp[-x^2]，{x，0，3}]，則很容易得到其數(shù)值解0.886207，并且我們還可以自己調(diào)節(jié)精度。

但我們也應(yīng)清醒地認識到，數(shù)學運算是教學中的重要環(huán)節(jié)，是提高學生素質(zhì)的重要手段。如果學生過分依賴計算機，而忽視數(shù)學基本運算能力的培養(yǎng)，反而不利于教學質(zhì)量的提高。在引進Mathematica進行計算的同時，我們不能忽視學生的數(shù)學運算能力，應(yīng)該在基本概念、基本運算按大綱要求講解完成后，將Mathematica作為鞏固已學知識、提高學生知識運用能力的有利工具。

三、結(jié)語

引入Mathematica軟件進行高等數(shù)學教學，給傳統(tǒng)的教學注入了活力，使得抽象概念變得形象生動，冗長繁雜的計算變得簡單。今后還要對Mathematica軟件如何深入地與教學相結(jié)合的問題做進一步探討，提高信息技術(shù)與數(shù)學教學整合的實效性，提高教學的質(zhì)量與效率。

參考文獻：

[1]鄭靖波.將數(shù)學軟件和數(shù)學實驗融入微積分教學的實踐.安徽工業(yè)大學學報[J].2003（1）：82-83.

[2]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2006.