淺析初中生解一元一次不等式(組)應用題的困難及應對策略

王學海

【摘要】 現實世界既包含大量的相等關系，又存在許多不等關系. 解決實際問題的過程中，有時不能確定或無需確定某個量的具體取值，但可以求出或確定這個量的變化范圍，不等式（組）就是探求不等關系的基本工具. 列不等式（組）解決實際問題是初中數學中的難點，同時也是中考的熱點. 解這類題的關鍵是在實際問題中找出相等關系和不等關系，列出方程和不等式. 但在解不等式（組）時有的同學常因基礎不扎實、概念不清、粗心大意，而在解題過程中遇到各種困難.

【關鍵詞】 初中生；一元一次不等式（組）應用題；應對策略

對于“不等式（組）”，新課程標準的具體要求是：“能夠根據具體問題中的數量關系列出一元一次不等式和一元一次不等式組， 解決簡單的實際問題， 并體會不等式（組）也是描述實際問題的一個有效的數學模型.”

雖然同學們都能夠記住解題步驟，但是在解這類應用題時由于經驗不足、抓不到關鍵詞、概念混淆、思維定式等原因的存在，使學生們在解題過程中遇到困難，而不能得到正確的解.

一、解題中遇到的困難及常見錯誤

１． 生活經驗的不足及問題信息量大是造成初中生解應用題難的兩大屏障

例１ 地磚按每塊５．５元出售，地磚每邊長３５厘米，用這種磚鋪滿長７．８米、寬５．７米的房間，需花費多少錢購買地磚？

評析 要正確地解應用題，必須讀懂題目中語言文字表達的問題條件和問題要求. 本題中，學生必須清楚“地磚”、“出售”、“購買”、“鋪”等詞語的含義，否則不能讀懂題意.“地磚問題”中的事實知識包括長方形、正方形的概念，以及米與厘米之間的進率換算. 像這類與生活綜合知識聯系較緊的應用題還有很多，信息量大，經驗不足導致學生讀不懂題目，不知從何下手，是學生最傷腦筋的. 總之，學生的生活經驗、課外知識、社會知識的儲備量，已成為度量學生解答應用題思維厚度的一把標尺.

2． 思維定式造成設未知數出錯并帶來列式困難

例２ 蘇科版八年級下教科書２０頁練習第１題.

某班學生外出春游時合影留念，１張彩色底片的費用為１元，沖印１張彩照需０．６元. 如果每人預定１張彩照，且每人所花費用不超過０．８元，那么參加合影的學生至少有多少人？

錯解 設參加合影的學生至少有ｘ人， （錯誤原因：設未知數不確切，應改為設“參加合影的學生有ｘ人”）

則１ ＋ ０．６ｘ ≥ ０．８ｘ，（錯誤原因：列式時不等號反向）

解這個不等式，得 ｘ ≤ ５.

答：參加合影的學生有５人． （錯誤原因：認為此題結果是確定值，而此題結果是一個取值范圍）

評析 在列不等式解應用題中，學生設未知數時，往往受方程應用題的遷移，沿用求什么設什么的做法，常給列式帶來困難，甚至出錯．

3． 列不等式（組）時忽視關鍵詞

例３ （２０１１山東棗莊）某中學為落實市教育局提出的“全員育人，創辦特色學校”的會議精神，決心打造“書香校園”. 計劃用不超過１９００本科技類書籍和１６２０本人文類書籍，組建中、小型兩類圖書角共３０個．已知組建一個中型圖書角需科技類書籍８０本，人文類書籍５０本；組建一個小型圖書角需科技類書籍３０本，人文類書籍６０本．

（１）符合題意的組建方案有幾種？請你幫學校設計出來；

（２）若組建一個中型圖書角的費用是８６０元，組建一個小型圖書角的費用是５７０元，試說明（１）中哪種方案費用最低，最低費用是多少元？

解 （１）設組建中型圖書角x個，則組建小型圖書角為（３０ － ｘ）個．由題意，得

８０ｘ ＋ ３０（３０ － ｘ） ≤ １９００，５０ｘ ＋ ６０（３０ － ｘ） ≤ １６２０，

解這個不等式組，得１８ ≤ ｘ ≤ ２０．

由于ｘ只能取整數，∴ ｘ的取值是１８，１９，２０．

當ｘ ＝ １８時，３０ － ｘ ＝ １２；當ｘ ＝ １９時，３０ － ｘ ＝ １１；當ｘ ＝ ２０時，３０ － ｘ ＝ １０．

故有三種組建方案：方案一，中型圖書角１８個，小型圖書角１２個；方案二，中型圖書角１９個，小型圖書角１１個；方案三，中型圖書角２０個，小型圖書角１０個．

（２）方案一的費用是：８６０ × １８ ＋ ５７０ × １２ ＝ ２２３２０（元）；

方案二的費用是：８６０ × １９ ＋ ５７０ × １１ ＝ ２２６１０（元）；

方案三的費用是：８６０ × ２０ ＋ ５７０ × １０ ＝ ２２９００（元）．

故方案一費用最低，最低費用是２２３２０元．

評析 解這類應用題的難點在于理清題意，尋找題目中的關鍵詞語. 例３中的兩個關鍵詞“不超過”、“ 不少于”是列不等式（組）的依據. 另外還要注意所設未知數受實際情況的制約，此例中中型圖書角的個數ｘ應是正整數．

不等式應用題的取材廣泛，又緊密結合實際生活，解這類題首先要理清題意，尋找關鍵詞，比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要節省”等，從而找到不等關系，列出不等式（組），通過解不等式確定不等式的解，最后要檢驗所求解是不是與實際問題相符合.

4． 移項或兩邊同乘（除）負值時不變號

根據題意正確地列出不等式（組）后，最重要的是解不等式（組）．

例４ 解不等式：２ｘ ＋ ４ ＞ ｘ － １．

錯解 移項，得２ｘ ＋ ｘ ＞ －１ ＋ ４．

即３ｘ ＞ ３，則ｘ ＞ １．

例５ 解不等式：－３ｘ ＋ ９ ＜ ０．

錯解 移項，得－３ｘ ＜ －９．

系數化為１，得ｘ ＜ ３．

評析 上面兩例均犯了不變號的錯誤. 例４、例５分別因“移項要變號”、“不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向應改變”這類知識點不能及時回應所致. 因而求解時應在掌握知識點的基礎上再加細心. 例４的正確結果應為ｘ ＞ －５，例５的正確結果應為ｘ ＞ ３.

5． 概念或意義不明確

例６ 求不等式 ２ｘ － ４ ＜ ０的非負整數解．

錯解 因為２ｘ － ４ ＜ 0的解為ｘ ＜ ２，所以它的非負整數解為１．

例７ 解不等式：｜ｘ｜ ＜ ３．

錯解 ｘ ＜ ３．

評析 例６和例７錯誤的原因主要是對某些概念不明確或混淆，如“非負整數解”、“絕對值”等. 非負整數應包括0和一切正整數，故例６正確解為：０和１. 絕對值的意義是指在數軸上某個數到原點的距離，故例７的正確解為：－３ ＜ ｘ ＜ ３.

6． 去括號時不遵守運算法則

例８ 解不等式：３ｘ － ２（１ － ２ｘ） ≥ ５．

錯解 去括號，得３ｘ － ２ － ２ｘ ≥ ５，

故ｘ ≥ ７．

評析 本題有括號，根據解不等式的步驟，要先去括號. 括號前的數要與括號里的各項相乘. 去括號時，除應遵循乘法的分配律不能漏乘外，還應遵循去括號法則：去括號時，括號前面為“－”，去括號要將括號里的各項都變號. 本題產生錯解的原因有兩點：括號外的數只與第一項相乘，括號前面是負號只對第一項變號. 因此本題的正確解應為ｘ ≥ １.

7． 去分母時，漏乘不含分母的項

例９ 解不等式： ＋ ２ ≥ －２ｘ．

錯解 去分母，得ｘ － １ ＋ ２ ≥ －４ｘ．

移項、合并同類項，得５ｘ ≥ －１，即ｘ ≥ －．

評析 本例的解答過程中沒有掌握不等式的運算性質，去分母時，不等式的兩邊同乘各分母的最小公倍數，漏乘不含分母的項，漏乘了常數項，這是解一元一次不等式（組）時常出的錯誤之一，應引起高度重視. 因此本題的正確解應為ｘ ≥ －.

８. 分子是多項式，去分母時忽視了分數線的括號作用

例１０ 解不等式： －＞ ０．

錯解 去分母，得４ｘ － １ － ３ｘ － １ ＞ ０，

移項、合并同類項，得ｘ ＞ ２．

評析 去分母時， 當分子是多項式時，各分式的分子必須看成一個整體. 忽視分數線的括號作用也是解一元一次不等式時常出的錯誤之一.為避免出這類錯，應分別對分子添加括號，再運用去括號法則. 例10中沒有添加括號導致了錯誤.

正確 去分母，得２（２ｘ － １） － ３（ｘ － ２） ＞ ０．

去括號，得４ｘ － ２ － ３ｘ ＋ ６ ＞ ０，

移項、合并同類項，得ｘ ＞ －４．

二、學好解一元一次不等式（組）及應用題的策略

1． 理解有關的概念

① 不等式：用“＜”或“＞”號表示大小關系的式子，叫做不等式.

② 一元一次不等式：含有一個未知數，未知數的次數是１的不等式，叫做一元一次不等式. 分母中不能含有未知數.

③ 不等式的解：在含有未知數的不等式中，把使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解. 不等式若有解，一般它的解有無數個.

④ 不等式的解集：如果一個不等式有解，能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集. 不等式的解集包括所有能使不等式成立的未知數的值.

２． 領悟不等式的三個基本性質

① 不等式的兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變.

② 不等式兩邊同乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.

③ 不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

不等式的三個基本性質是進行不等式變形的根本依據，其中前兩個性質類似于等式的性質，而在運用性質③時，要注意必須改變不等號的方向，這是不等式特有的性質.

3． 牢固掌握不等式（組）的解法

解一元一次不等式的一般步驟與解一元一次方程相同：① 去分母；② 去括號；③ 移項；④ 合并同類項；⑤ 系數化成１.

各步需注意事項：① 去分母：不要漏乘不含分母的項，是否改變不等號的方向；② 去括號：括號前是負號時，括號內各項均要變號；③ 移項：移項要變號；④ 合并同類項：系數相加，字母及字母指數不變；⑤ 系數化成１：是否改變不等號的方向.

4． 牢固掌握列不等式（組）解應用題的步驟，抓住不等關系關鍵詞，挖掘隱含的不等關系

在能構建不等式的題目中往往有表示不等關系的詞語，如“大于、小于、不大于、不小于、超過、不超過”等．我們一定要利用好這些關鍵信息，列出不等式（組）以解決實際問題.

有些題目中無明顯表示不等關系的關鍵詞，而是深藏于題意中，這就要求老師引導學生根據問題的實際意義，深入挖掘蘊含其中的不等關系．

5. 重視不等式（組）應用題的教學

在平時的教學過程中， 教師既要注重知識的傳授和題目的解答，也要重視學生的實踐性活動的開展和教學，這樣才會避免數學和實際生活脫節，同時教學中要不斷地增加新的背景和內容， 跟上時代，彌補生活經驗的不足，激發學生學習的熱情．對于不等式（組）應用題文字較多學生獲得信息困難的問題，教師平常在教學中在應用題上要多停留，有耐心.

在實際問題中，有許多用方程很難解決的問題，而用不等式去處理則可輕易解決. 應用題是初中數學的重點，列不等式解應用題是初中數學的難點，根據題意正確地列出不等式（組），解應用題就成功了一半. 一元一次不等式（組）的解法十分重要，它與一元一次方程的解法有許多相似之處，但又有其自身特點，同學們要認清兩者解法的聯系與區別. 正確應對學生在解題過程中遇到的困難，提高學習的積極性，增加學習數學的興趣，才有可能應用一元一次不等式（組）去解決生活中的實際問題.

【參考文獻】

［１］鐘山．不再讓學生的困惑成為課堂教學的遺憾——《一元一次不等式組》教學片段所感［Ｊ］.學生之友（初中版）（下）,２０１０（１１）．

［２］趙春祥．列一元一次不等式解應用題［Ｊ］.初中生，２００９（６）．

［３］石衛東．解一元一次不等式的常見錯誤分析［Ｊ］.中學生數學，２００３（１０）．

［４］任保平． 解一元一次不等式常見錯誤剖析［Ｊ］.數理化學習（初中版），２００３（３）．

［５］欒緒友．學好一元一次不等式［Ｊ］.中學生數學，２００９（１４）．