淺論數學金融學中關于期權定價的問題

崔連香

摘要：期權是指對未來選購某種商品的選擇權，簡單得說就是購買方向出售方支付一定的定金后，獲得在一個約定到期日內按提前協定價格購買或出售一定數量商品標的資產權力。在我國金融業發展過程中，金融期權不但能有效地轉移金融風險，還能保護廣大投資者的資金安全，使廣大投資者能立于不敗之地，所以金融期權是一種非常具有發展前途的金融創新工具。我們通過對金融行業發展的研究發現，期權的定價模型，一直都被認為期權理論中的一個難點。對于金融期權一些書籍只是簡單的介紹，沒有使用數學方法深層次推導，本文簡單地分析了數學金融學中的期權定價問題，闡明了研究這一問題的有力工具是倒向隨機微分方程和正倒向隨機微分方程。

關鍵詞：股票市場;期權定價;數學金融

1997年10月14日,瑞典皇家科學院將第二十九屆諾貝爾經濟學獎授予美國哈佛大學教授羅伯特·默頓(Robert C.Merton)和邁倫·肖爾斯(Myron S.Scholes)，以鼓勵他們在數學金融學方面的杰出貢獻。因此，引起最近這十幾年來人們對數學金融學關注。金融數學(mathematics of finance)是運用數學理論和方法研究金融經濟運行規律的一門新學科，在國際上稱為數理金融學。

1、數學在金融學的定量研究中起著重要作用

Robert C.Merton所寫名著Continuous-TimeFinance中,Merton自己寫道:“現代金融學中的數學模型包含了概率論和最優化理論的一些最漂亮的應用。科學中漂亮的東西未必一定實用,而科學中實用的東西又并非都是漂亮的，指數學金融學卻兩者俱全，可見對其的評價。

1997年諾貝爾經濟學獎的得主們經過反復研究發現，股票市場價格遵循帶漂移的幾何布朗運動的規律,用較深的數學知識就是隨機過程和隨機微分方程，終于設計出比較科學的、各類期權定價公式。雖然這個公式非常復雜，但是由于電腦和電子計算器聯網，交易商操作起來也非常簡單。現在，期權及其他金融衍生產品的交易已不分國界，全天24小時都在進行交易，每天都有成千上萬的交易者在運用“Black-Sc-holes這個公式”。經過長期使用得出事實是:期權的實際成交價格的確總是在由此公式所得出的理論價格上下作偏差不大的波動，特別是對時間較短、沒有太大波動的期權交易，這一模型的誤差只有1%左右，對于規范國際市場起到了很大的作用。

當記者問及1970年諾貝爾經濟學獎得主保羅·薩繆爾森：“有了這一公式,是不是使交易所變得較為可靠了?”他的回答是：“世界上沒有哪個公式能夠稍稍改變變幻莫測的股市風云,也沒有哪個公式能夠比運用公式的人更好。但是,這一理論使每一位老太太都能夠請專家估計她持有證券的風險,并在適當時候回避風險。”當年這位82歲的經濟學家一方面全面地估價這個被他稱之為“完美、天才的公式”,另一方面也肯定了這個公式確已經受了20多年國際金融市場的考驗,是當今期權交易的投資者衡量盈虧和風險的主要計算工具。

期權是期貨合約的買賣權或買賣選擇權,是期權購買者擁有的一種權利,并非一種義務。在期貨交易中無論是遠期交易的購買方,還是在期貨交易中購得和約的持有者,到期時都必須按和約的規定履行成交手續,否則就要承擔違約的懲罰。期權則不同,期權的購買者在支付一定的權利金購得某項期權后,如果他認為現行的市場價格比原來協議中的執行價格更有利,他便可以放棄對期權的執行。

以房產買賣業務為例,假定買方A和賣方B達成協議,買方A愿意支付300萬元給賣方B,贏得一種權利,即在三個月后,A有權以1.2億元購買B的一幢住宅樓,三個月后,無論該大樓的價格升至多高,A都有權以1.2億元購買。如果住宅樓價升至1.3億元,A就從期權交易中獲利700萬元;而如果住宅樓價跌至1.2億元以下,A可以放棄購買權,只損失300萬元的權利金。其實這300萬元也未必真“損失”,如果A當時準備以1.2億元立即購買成交,他當時就要支付1.2億元現金。他以300萬元的代價購買了期權,便可以贏得三個月繼續占有1.2億元資金的權利。這筆資金三個月內可以為他贏得其他利潤。如存入銀行獲得利息,只要年利率為8%以上,便可把300萬元賺回來。當然A購買這種權利是由于他估計房價會上漲,以少量的“權利金”去換取未來可能大量的“價差利潤”。這種期權稱為“看漲期權”或“買入期權”。無論未來的房價是漲還是跌,剛才的分析表明持有這種期權的A是旱澇保收的。

相反如果未來房價的趨勢是下跌,住宅樓的所有者B可能會購買“看跌期權”或“賣出期權”,即付給A一定的權利金,獲得三個月后以1.2億元的價格賣給A的權利,那么三個月后,無論房價跌到什么程度,A必須以1億元購買該住宅樓,而如果三個月后房價不跌反漲,則B有權不以1.2億元賣給A,他可以尋找其他買主以更高的價格出售。期權交易后,主動權掌握在付出了權利金的購買者手里。

2、市場的簡單描述

2.1 債券的模型

設X0(t)為債券在時刻t的價格，設h>0，則X0(t+h)-X0(t)是時間區間[t，t+h]上的回報，因此，=r■=r(1)

為時間區間[t，t+h]上的單位時間里的相對回報率，稱為利率。例如，設t為年初，t+1為年末，債券價格年初為X0(t)=P(本金)，年末價格為X0(t+1)=A(本金加利息)，則式(1)變為

■=r

它是一個(線性)常微分方程,其解為

X0(t)=X0(0)eπ

式(1)亦可寫成

X0(t+h)-X0(t)=rX0(t)h>0

可見X0(t+h)總比X0(t)來得大，即債券價格(市場價值)總隨時間推移而增長，因此，我們說，債券是無風險的。

2.2 股票的模型

股票的模型與債券有很大的差別，設X(t)為某種股票在時刻 t 的價格,類似于債券的討論方式，考慮時間區間[t,t+h]。此時，相應于式(5)的式子呈如下形式:

X(t+h)-X(t)=X(t)[bh+ση(t,h)]

此處，b稱為平均回報率，σ稱為價格波動性(volatility)，而η(t，h)是一個規一化的噪聲。它可正可負，由此可見，不能保證X(t+h)總大于X(t)。因此，股票是有風險的。η(t，h)通常是大量投資者相互獨立的投資行為造成的。所以，人們認為η(t，h)是服從正態分布N(0,h)的隨機變量(均值為0，均方差為h)。

若記W(t)為到時刻t為止的累積噪聲，則它恰好是所謂的布朗運動,采用此記號，可寫成:

X0(t+h)-X(t)=X(t){bh+σ[W(t+h)-W(t)]}

令 h→0，可得

dX(t)=bX(t)dt+σX(t)dW(t)，

t∈[0，T]

這稱為一個隨機微分方程，它的解為

X(t)=xebt+σW(t)，t∈[0，T]

2.3 一般情形

假設有n+1種資產在市場中連續地交易著，將它們從0到n 編號。設第0種是債券，后n種為股票。設第i種資產在時刻t的價格(過程)為Xi(·)。類似于上述的討論，有:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdXi（t）-bi（t）Xi（t）dt+Xi（0）-Xi，0≤t≤nXi（t）■σij（t） dWj（t）

2.3 一般情形

假設有n+1種資產在市場中連續地交易著，將它們從0到n 編號。設第0種是債券，后n種為股票。設第i種資產在時刻t的價格(過程)為Xi(·)。類似于上述的討論，有:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdXi（t）-bi（t）Xi（t）dt+Xi（0）-Xi，0≤t≤nXi（t）■σij（t） dWj（t）

3、期權定價

考慮一個市場，僅有一種債券和一種股票上市，它們的價格滿足下述方程:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdX（t）=X（t）b（t）dt+X（t）σ（t）dW（t）

這里,X0(t),X(t),r(t),b(t)和σ(t)分別為債券價格、股票價格、利率、股票的回報率和價格波動性。現在，我們來考慮所謂的歐式買入期權。這是一個合同，憑此可以在事先設定好的時刻T，以事先設定好的價格q前來購買1股給定的股票。分別稱T和q為執行時刻和執行價格。例如，在1998年9月1日簽約，于1998年12 月31日前以10元/股的價格購買復華實業股票1股，這就是一個買入期權。容易知道，到時刻T，將會有兩種可能:

(1)若在t=T,X(T)>q，則擁有期權的人將前來實施其權益，即以價格q前來購買股票，然后立即以價格X(T)在市場上拋出，實現利潤 X(T)- q。

(2)若X(T)

（X（T）·q）+≡max｛X（T）·q，0｝

X（T）-q，X（T）＞q0，X（T）≤q

假設在t=0時刻該期權的價格為y，由于期權的出售者在t=T時刻的損失為(X(T)-q)+，不得不將出售期權所得的y在市場上投資以獲取足夠的回報來彌補損失。當在t=0時刻投資y于市場后，總資產將隨時間推移而變化，記為Y(t)。因此，Y(0)=y，希望在時刻T達到以下目的:

Y(T)≥(P(T)-q)+

假如他在時刻t將Y(t)分成兩部分：π（t）Y（t）-π（t）

易知,當π(·)給定時，總資產在債券和股票中的份額完全確定，我們稱π(·)是一個證券組合。通過簡單計算可得Y(·)滿足的方程如下:dY（t）=（r（t）Y（t）+（b（t）-r（t）））Y（0）=y

此處，已設σ(t)≠0并定義

Z(t)=σ(t)π(t)

當 y越大，相同投資方式下Y(T)也越大。從而,公平的價格y將使得下述關:

Y(T)=(P(T)-q)+

于是，得到下面的隨機微分方程:

dX(t)=X(t)b(t)dt+X(t)σ(t)dW

(t)dY(t)={r(t)Y(t)+[b(t)-r(t)]σ(t)-1

X(0)=x,Y(T)=(X(T)-q)+

找到滿足上式的適應過程(X(·)，Y(·)，Z(·))即可。

我們希望找到滿足式(14)的適應過程(X(·)，Y(·),Z(·))。然后,期權的公平價格為y=Y(0)。

我們注意到式(14)中關于X(·)的方程是一個初值問題，故是前向的。而關于Y(·)的方程是終值問題，故是倒向的。由于這個原因，我們稱式(14)為一個正倒向隨機微分方程(簡稱FBSDE)。不過，式(14)是一個解耦的FBSDE。

參考文獻：

[1] 王獻東.Brown運動首達時在金融數學中的應用[J]. 常州工學院學報.

[2] 孫國紅.數學金融學中的期權定價問題[J]. 天津商學院學報. 2003(03)

[3] 嚴加安.金融數學:歷史與現狀[J]. 中國青年科技. 2001(03)

[4] 雍炯敏.數學金融學研討會在滬舉行[J]. 應用概率統計. 1999(01)