《打電話》教學的新體驗

彭文珍

【教學過程】

數學教學研討活動開始了，一位教師選擇了執教人教版五年級下冊的《打電話》。這是一個既輕松又頗具時代氣息的話題，我滿懷期待地走進課堂。整節課的過程大致如下：

一、引入

同學們打過電話嗎？如果老師有個消息要電話通知同學們，打給1個同學要1分鐘，打給兩個同學要幾分鐘？打給全班63位同學呢？揭題：真的要63分鐘嗎？咱們今天就來研究打電話的問題。

二、探究

出示：學校舞蹈隊有15人，現在有個緊急演出，王老師需要盡快通知到每一個隊員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，通知所有人需要幾分鐘呢？

學生討論，集體交流。

1.逐個打

可能受引入的影響，多數學生的答案是15分鐘。根據學生回答，用樹形圖直觀演示兩種表示。方法一，教師分別打給每個同學，方法二，教師打給生1，生1打給生2……傳遞打。）

2.分組打

教師用發作業本的生活經驗啟發學生，引出分組打的方法。

因為學生僅考慮分組并沒有考慮時間變化，畫出的圖中每組人數是平均分的。教師耐心地引導學生發現問題并調整每組人數，逐步得出：分兩組（8+7），用時8分鐘；分三組（6+5+4），用時6分鐘；分五組（5+4+3+2+1），用時5分鐘。

至此整個教學過程耗時近20分鐘。

3.找規律

究竟怎樣打電話最省時呢？教師借華羅庚的名言引導學生：知難而退，退到原點。領學生從第一分鐘開始，一分鐘一分鐘慢慢推想，形成下面的樹形圖。

此后讓學生動筆嘗試。大約5分鐘后，孩子們完成了圖，不過只有個別孩子成功地畫出了樹形圖。教師倉促展示成功的作品，引導學生觀察數據發現倍增的規律。最后進入簡短的口答練習，10分鐘可以通知多少人？通知1023人要多少分鐘？此時下課鈴聲已經響過7分鐘。

【我的反思】

題材要廣：從通知n個人要n分鐘，到通知1023人只要10分鐘，這前后強烈的對比，對孩子來說感受是強烈的。然而這好不容易有的發現，卻只用于打電話這一情境，對孩子來說，可能會有“專法專用”、思考嘎然而止的感覺。這既不利于模型的廣泛應用，也不利于這節課優化、運籌思想的遷移。書中只有打電話這一題材，生活中還有哪些這樣的事例呢？

過程要易：這是一節公開課，可是學生學得并不輕松，很多時候只是教師一個人在講。上網搜查，發現很多的設計，包括書上也是這么安排的。我讓語文教師畫出分組打的樹形圖，教師不是說難就是出現和學生同樣的錯誤。而課的最終逐分打的樹形圖，我是畫得很仔細才成功的。

一個過程、一種方法如果連教師都覺得難，這個知識到底該怎么上呢？如是不教孩子會怎樣研究呢？我將問題拋給了10個孩子，結果有幾人竟然3分鐘內給出了答案。原來不教也可以完成教的任務。一周后我上了我的一節課。

【我的課堂教學】

一、情境引入

師：從畫面上你看到什么了？

生：老師在打電話。

生：學校里插滿了彩旗，學校里可能要搞活動。

師：猜得沒錯，有個歡慶活動。彭老師接到了一個任務，要緊急通知舞蹈隊的15個同學下午參加彩排活動。如果打一個電話需要1分鐘，通知15個同學至少要多少分鐘呢？

生：不連等的時間要15分鐘。

師：15分鐘怎么打？

生：你一個一個地打。

生：你先打給生1，生1再打給生2，生2再給生3，一個傳一個地打。

師：好方法，彭老師省電話費了，不過相對于金錢，時間可能更重要。有沒有辦法讓打電話的時間少點？

生：你可以找人幫你打。你先打給生1讓生1幫你打7個，你再打給生2讓生2幫你打6個。

師：兩組同時打，15分鐘就變成8分鐘了。（板書15 8）

師：這個時間是最少的嗎？仔細想想他這個方案中還有什么沒想到的？

生：老師，你在休息，你也可以繼續打電話。

生：每組里知道消息的人也在休息，他們也可以幫助打電話。

師：讓每一個知道消息的人每分鐘都不閑著，能幫忙的都忙起來。可知道消息的人越來越多？每分鐘到底有幾個？這個問題好像很復雜，當問題很復雜時咱們該怎么思考呢？

生：有序思考。

師：OK，咱們就從第一分鐘開始，一分鐘一分鐘地往后捋。你可以畫圖、你可以列表、你可以推想寫算式，隨你用什么方法，不過要注意讓每一個知道消息的人都不閑著，看看通知15個同學要幾分鐘？再挑戰一下通知100人要幾分鐘？

學生動筆研究，交流反饋。

師：知道通知100人要多長時間嗎？

生：7分鐘。

師：答案也是7分鐘的舉手。

80%的小手舉起來了。

師：能告訴我你是怎么研究的，你發現了什么？

生：我是列表的。

第一分鐘老師打給生1，第二分鐘老師和生1分別打給生2、生3，第三分鐘老師、生1、生2、生3分別打給生4、生5、生6、生7，一個通知一個，每一分鐘后知道消息的人數都是上一分鐘的2倍，依次類推5分鐘就有32人，6分鐘就有64人，7分鐘就有128人，減去老師就是127人。通知100人只要7分鐘。

生：我和他的答案一樣，不過我沒有畫圖也沒有列表，我是直接推想依次寫的，第一分鐘老師通知1人，這時有兩個人知道了；第二分鐘兩個人通知2人，就有4個人知道了；第三分鐘4個人通知4個人；就有8個人知道了；第四分鐘8個人通知8個人，就有16個人知道了。16人減去老師，15個同學都知道了，2、4、8、16、32、64、128，依次乘2，7分鐘就有128人知道了。

生：我發現這和細菌繁殖問題一樣，1分鐘后一個細胞會分裂成2個。開始有一個，第一分鐘后就變成2個，第二分鐘后就變成4個，第三分鐘后就變成8個，第四分鐘后就變成16個。n分鐘就有2n個。減去原來開始的那個就是后來增加的。

師：除了細胞繁殖問題還有什么問題也是這樣倍增的。（教師做折紙的動作）

生：折紙問題。

生：拉面問題。

師：原來很多事情是相通的呀。無論列表，還是直接推想列舉，彭老師都一下子看出了翻倍增長依次乘2的規律。還有不同的方法嗎？

生：我是畫圖做得。（和書上一樣的樹形圖，比較亂，不太容易看出時間和倍增的關系）

師：咱們一起來調整調整看，看一步步用圖表示能不能一下子看出規律。

經調整，畫圖如下，教師是0，第一分,0打給1，第二分鐘0和1分別打給2和3，第三分鐘0、2、1、3分別打給4、5、6、7。

調整后的圖在第三分鐘時就占用著比表格更大的空間，擴張的力量更強，倍增的關系更明顯，相對書上的圖不僅可以清楚地看出時間，還能看出每分鐘的人數。

也許是因為圖的視覺沖擊力太強，一個孩子竟然想到了棋盤上的麥粒問題。在復述這個故事后，我們就細胞分裂問題研究了，如果一個細胞每分鐘分裂成3個、3分鐘后會有多少個細胞？如果每分鐘分裂成4個、5個呢？最后在螞蟻拖昆蟲中結束該課。一只螞蟻發現了一只大青蟲，它拖不動，于是回去喊來10只螞蟻，11只螞蟻拖不動于是每只螞蟻又回去喊了10只螞蟻……

【我的再次反思】

折紙、拉面、細胞繁殖等問題是孩子腦中已有的問題，是孩子腦中相對獨立的問題。當它們和打電話問題擱置在一起時，孩子從相似中找到了共性。腦中的趣題因結構性地打通，厚變成了薄，多變成了少。

打電話問題的數學思想是優化思想，優化的核心是不讓每一個知道消息的人閑著。分組是孩子經驗中有的，分組的目的是讓孩子從經驗中進一步發現問題的關鍵。至于研究有多少種分法，窮盡每種分法并非本課要達到的教學目標。理解這一點后我用“仔細想想他這個方案中還有什么沒想到的？”一下子讓孩子抓住了問題的核心，退出了這一糾纏，進入下一環節。

只要意圖是清晰的，要點是明確的，單一的方法只會是束縛，退出單一暗示課堂才會是思維活躍的舞臺。無論是畫圖、列舉還是直接推想，孩子都擁有了比書上更好的方法，享受了過程，感受了規律。